Уравнения дифференциальные равновесия координатах

При интегрировании системы (18.2), представляющей собой систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, исходим из того, что механическая система совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Частные решения этих уравнений, предположив, что координаты qi и изменяются по простому гармоническому закону, можно представить в следующем виде [c.83]

Так как в точке 0 угол 6 между касательной к линии скольжения Si и локальной осью абсцисс Xi равняется нулю, то sin 20 = = О, os 20 = 1. Следовательно, в локальной системе координат дифференциальные уравнения пластического равновесия упрощаются и принимают вид [c.265]

Таким образом, получили дифференциальные уравнения пластического равновесия в криволинейных координатах s , Sg сетки линий скольжения (т. е. в естественной координатной сетке данной задачи). [c.265]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Вывод дифференциального уравнения. Предположим, что приложенные к стержню силы направлены вдоль его оси. Обозначим /п (л ) — погонную плотность стержня, —модуль Юнга и S x) — площадь поперечного сечения. Будем характеризовать процесс продольных колебаний функцией (л , t), представляющей в момент времени t смещение частиц стержня, имевших в положении равновесия координату X. Выбранная здесь геометрическая переменная называется переменной Лагранжа. [c.111]

При этих условиях главные оси напряженного состояния можно было считать неизменно совпадающими с определенными тремя направлениями, а именно 1) с направлением ребра гиба, 2) с направлением общей нормали к поверхностям листа, которое условились называть радиальным, 3) с направлением, перпендикулярным первым двум, которое условились называть тангенциальным. Три нормальных напряжения (в направлении ребра гиба) сг —(в направлении радиальном), ае (в направлении тангенциальном) являются главными напряжениями, а их значения зависят только от одной координаты г. Казалось бы на первый взгляд задача кругового гиба листа является простейшей задачей плоской пластической деформации в полярных координатах. Действительно, ее решение сводится к интегрированию простого по написанию обыкновенного дифференциального уравнения (условие равновесия) [c.296]

Выведем дифференциальное уравнение колебаний стержня. С этой целью рассмотрим условие динамического равновесия участка колеблющегося стержня. Сечения аи Ь (рис. 545, б), ограничивающие элементарную длину dx, периодически перемещаются. Перемещение и произвольного сечения с координатой х может быть выражено как и = f (х, t). Это уравнение указывает на наличие в стержне относительных перемещений отдельных его поперечных сечений. [c.569]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Задача 1313. Турбина весом Р установлена на упругом фундаменте испытательного стенда при помощи амортизаторов, общая жесткость которых с. Составить дифференциальные уравнения малых вертикальных колебаний системы, состоящей из турбины и фундамента, если жесткость опор фундамента с , а его вес Q. Обобщенные координаты и 2 отсчитывать от положений равновесия соответствующих тел. [c.471]

Пусть АЁ длина ненапряженной пружины бо — статическое удлинение (рис. 333). Возьмем начало координат в точке О (положение статического равновесия) и направим ось j по вертикали вниз. Тогда в произвольном положении на груз действуют сила тяЖести Я = mg и упругая сила F = с , где в нашем случае удлинение пружины М = бо + -< - Составляя дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось X, получим [c.363]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Общее уравнение динамики для систем, подчиненных голономным, идеальным, неосвобождающим связям, дает полную информацию о движении таких систем, т. е. из него аналогично тому, как из принципа возможных перемещений получались условия равновесия системы, можно получить полную систему дифференциальных уравнений. Для вывода этих уравнений следует использовать понятия обобщенных координат и обобщенных сил. [c.387]

Рассмотрим равновесие малого элемента тела (рис. 7.9). Составляющие объемной силы в радиальном и тангенциальном направлениях обозначим Проецируя действующие силы на радиальное и перпендикулярное ему направления, получим дифференциальные уравнения равновесия элемента тела в полярных координатах [c.150]

Дифференциальное уравнение равновесия элемента трубы в полярных координатах имеет вид [c.287]

Принимая прямую, вдоль которой происходит движение, за ось Ох и помещая начало координат в центр равновесия О, составим основное дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний точки согласно равенству (1) настоящей главы будем иметь [c.64]

Аналогично, спроектировав все силы на оси г/ и 2, получим дифференциальное уравнение равновесия элемента упругого тела в прямоугольных координатах [c.12]

В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа Аналитическая механика , в котором вся механика была изложена строго аналитически на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Дальнейшее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для исследования движения и равновесия несвободных механических систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики. [c.16]

Отсюда мы видим, что введение переменной 2 равносильно переносу начала координат из точки О в положение Ох, которое занимает груз при равновесии. Следовательно, после такой замены переменного дифференциальное уравнение (а) не будет содержать постоянных членов и уравнение движения груза М примет вид [c.535]

Из общего уравнения динамики (2, 123) можно вывести так называемые дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, подобно тому, как из общего уравнения статики (1, 121) были выведены условия равновесия системы в обобщенных координатах (2, 122). [c.788]

Если в качестве координатных осей на плоскости взять линии скольжения а, Р (криволинейную систему координат), то из уравнений равновесия (10.44) после подстановки в них выражений (10.60) получим систему двух дифференциальных уравнений относительно функций Оо и ф [c.327]

Поскольку, согласно определению, условия па боковой поверхности призматического тела не зависят от координаты Хз, граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений или на нескольких контурах, если сечение многосвязное. Таким образом, система дифференциальных уравнений равновесия (6.5) и соотношения (6.3), наряду с контурными условиями, характеризуют более простые задачи статики упругого тела ( 35) при этом здесь также различают три основные двумерные граничные задачи. [c.101]

Умножим обе части системы дифференциальных уравнений равновесия (2.25) на (2Н)-Чхз и проинтегрируем по координате Хз от —ft. до +/г тогда, в силу условий (6.15), [c.104]

Цилиндрические координаты. В цилиндрической системе координат г, 6, 2 дифференциальные уравнения равновесия принимают вид [c.38]

Пренебрегая массовыми силами, дифференциальные уравнения равновесия в криволинейных координатах на основании (6.18) запишем [c.368]

Выведем дифференциальное уравнение колебаний стержня. С этой целью рассмотрим условие динамического равновесия участка колеблющегося стержня. Сечения а п Ь (рис. 567, б), ограничивающие элементарную длину dx, периодически перемещаются. Перемещение и произвольного сечения с координатой х может быть выражено как u=f х, t). Это уравнение указывает на наличие в стержне относительных перемещений отдельных его поперечных сечений. Если сечение а перемещается а и, а Ь — на и- ди/дх) dx, то относительное удлинение в сечении а элемента dx (рис. 567, в) г = ди/дх. Тогда осевая сила в сечении а [c.632]

Точные решения, полученные результате численного интегрирования, удается найти только для круглых симметрично загруженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилиндрических координатах на z и интегрируя по толщине, мы получим следующее дифференциальное уравнение для изгибающих моментов [c.641]

В перемещениях, уравнения упругости в цилиндрических координатах [77, уравнения (3.3б ) и (3.26)], можно написать дифференциальные уравнения дискретного метода и уравнения напряжений для ребра т в конечно-разностной форме по переменным лир и в аналитической по переменной г. Эти уравнения приводим для осесимметричной задачи (полные уравнения даны в работе [Ю]). Уравнения равновесия [c.263]

Из уравнений проекций на координатные оси, аналогично уравнениям (1.1) в декартовой системе координат, получим следующие дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрической системе координат [c.18]

Выведем основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение сплошности, формулы Коши и формулы обобщенного закона Гука. [c.81]

Дифференциальные уравнения равновесия в полярной системе координат получим как частный случай из дифференциальных уравнений равновесия (1.4) в цилиндрической системе координат. Если в уравнениях (1.4) положить = = первое [c.82]

Это и есть общее уравнение гидростатического равновесия, onst = р" (0) - р Ф) определяется из граничных условий конкретной задачи. Кривизна поверхности H(z) — нелинейный дифференциальный оператор второго порядка. В частности, если поверхность в декартовой системе координат определяется как z - f x, у), то [c.90]

Дифференциальные уравнения пластического равновесия в локальной системе координат., образованной сеткой линий скольшния. Пусть в плоскодеформируемом теле выявлена сетка линий скольжения. представленная на рис. 112. Рассмотрим ее элемент abed, образованный линиями скольжения Sji, Sji, 33 и 543 (рис. 113). [c.265]

Заметим, что радиус кривизны A = p os o нормального сечения поверхности и радиус геодезической кривизны p/sinO нити зависят не только от самой поверхности и положения точки Ш, но и от положения нити на поверхности (точнее, от направления касательной т к нити). Поэтому пользоваться этими уравнениями наиболее целесообразно в тех случаях, когда равновесное положение нити на поверхности известно (см. 7.2) или для общих выводов (см. пример 1). В тех л е случаях, когда требуется определить форму (уравнения) кривой равновесия нити на гладкой поверхности, лучше пользоваться дифференциальными уравнениями равновесия нити (1.4). Во многих случаях более полезными оказываются уравнения равновесия нити в обобщенных координатах (1.5.17) (при вычислении обобщенных сил нужно учесть, конечно, реакцию поверхности JV). [c.149]

Второе направление, продолжающее идеи В. Ренкина, пытаете построить строгую теорию предельного равновесия, позволяющув рассматривать различные задачи и находить соответствующие сетю линий скольжения. Оно ведет свое начало от Ф. Кеттера (1903) который, взяв дифференциальные уравнения равновесия и предельно условие в каждой точке, составил систему уравнений предельног равновесия сыпучей среды, а затем преобразовал ее к соответствую щим криволинейным координатам. [c.8]

Решение. Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 267). Если обозначить длину недеформированной пружины через 1 , то ее длина в произвольный момент времени будет /=/о—S+ t+J . а удлинение Х=1 1а=Кт+х— . Тогда действующая на груз сила упругости f= X= ( T+- —I). и составляя дифференциальное уравнение движения груза, будем иметь (так как X T=mg) [c.249]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Математически задача МДТТ формулируется следующим образом для деформируемого тела, занимающего объем V с граничной поверхностью S и отнесенного к декартовой системе координат Хц, необходимо отыскать пятнад-дать функций u,(xa), е,/(х/,), а /(хм), Ui( h)—таких, чтобы они удовлетворяли дифференциальным уравнениям движения (либо равновесия) (2.86) [c.83]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

О линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величпньс Qi, Pi (г—1, 2,. .., п) постоянны. Это решение отвечает положеппю равновесия механической системы, имеющей уравнения движения (1). Так как перепое начала координат является каноническим [c.316]

Требуется 1, Составить дифференциальные уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа 2-го рода и уравнение для определения натяжения S4 нити КЕ. 2. Найти т условий равновесия системы в бобщенных координатах момент М. 3. Для найденного значения М и заданных начальных условий решить полученные уравнения на ЭВМ на интервале времени т. [c.130]

Установим дифференциальные зависимости Коши, дифференциальные уравнения равновесия и уравнения совместности деформаций в рассматриваемой системе крнввлинейных координат. [c.367]

Предположив, что изгиб отсутствует и продольная сила равна нулю, мы получим формулу (9.14.3) для нормальных напряжений, связанных только с кручением. Рассматривая равновесие малого элемента, изображенного на рис. 3.7.3, мы найдем, что нормальные напряжения, меняющиеся с координатой Хз, влекут за собою появление касательных напряжений, и дифференциальное уравнение рановесия элемента будет [c.315]