Пространство действительное векторное

Рассмотрим п-мерное евклидово пространство, т. е. действительное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение а-Ь двух произвольных векторов а и Б, так, что удовлетворяются следующие свойства — аксиомы [c.20]

Можно, и не ссылаясь на понятие годографа, установить связь между векторным и координатным способами определения движения точки в пространстве. Действительно, допустим, что задано векторное уравнение движения точки (И.1). Как известно, координаты точки М равны проекциям радиуса-вектора на координатные оси (рис. 16). Следовательно, проектируя радиус-вектор ОМ на координатные оси, имеем три соотношения [c.73]

А. Основные пространства. Обозначим стандартным образом через п-мерное действительное векторное пространство с элементами векторами, точками) х = [х, . .., ж ) — упорядоченными совокупностями и п действительных чисел (ж - Я). На нем для любых двух векторов х, у = (ух,. .., у ) и любого числа а Е Я определены операции сложения вычитания) векторов X у = (ж1 ух,. .., ж уп) и умножения на число ах = (ажх,. .., ах ). Нулевым элементом является [c.356]

Через Х будет обозначаться г-мерное декартово пространство, т. е. действительное векторное пространство упорядоченных наборов вещественных чисел х х1..... Хг), в котором расстояние между [c.9]

Примечание. В силу нашей 2-й аксиомы операторы О, /, АЛ и Л + В однозначно определены. На том же основании мы заключаем, что их сумма дистрибутивна относительно умножения на действительные величины, коммутативна и ассоциативна. Таким образом, вторая аксиома наделяет 9[ структурой действительного векторного пространства. Кроме того, по самому определению суммы и умножения на скаляры элементы множе- [c.56]

Как мы уже знаем, множество 51 наделено структурой действительного векторного пространства, на которую наложена ассоциативная степенная структура. Обе структуры слабо связаны между собой, в частности множество 51 не является алгеброй. Важным шагом на пути к введению на 51 более богатой структуры будет следующее вспомогательное замечание [c.61]

Доказательство. Обозначим через (С) действительное векторное пространство, образованное всеми действительными функциями из (С). Пусть — векторное подпространство [c.217]

Векторное пространство, действительное 56 Векторных пространств прямое произведение 327 [c.416]

Линейное (векторное) п-мерное пространство. Помимо матриц мы будем использовать понятие многомерного алгебраического векторного пространства Лп, сохраняющего некоторые свойства совокупности векторов трехмерного евклидова пространства. Упорядоченную систему п действительных чисел [c.18]

Применение метода В. А. Зиновьева к исследованию механизмов с соприкасающимися рычагами см. [94]. Рассмотренный метод по классификации, приведенной в гл. 22, может быть отнесен к геометрическим методам. Этот метод основан на простом аппарате аналитической геометрии и, в частности, теории замкнутых векторных контуров в трехмерном пространстве, что делает его доступным для широкого практического применения. Вместе с тем векторные уравнения замкнутости в этом методе отображают лишь замкнутые контуры геометрических осей звеньев и их ориентацию в пространстве, не определяя действительных относительных положений соединенных между собой звеньев как пространственных тел. Для полного определения относительных положений реальных звеньев в пространстве необходимо составлять дополнительные уравнения взаимосвязей между параметрами абсолютных движений звеньев. Привязка движений различных звеньев к одной неподвижной системе координат хотя и усложняет уравнения взаимосвязей между звеньями, но дает возможность непосредственного определения параметров абсолютных движений звеньев. [c.89]

Примером линейного (векторного) пространства может служить совокупность всех геометрических векторов на оси, плоскости и в пространстве, для которой сложение векторов и умножение их на действительные числа производятся по обычным правилам, известным из аналитической геометрии. [c.206]

В инженерно-физических приложениях используются конечно- и бесконечномерные действительные или комплексные векторные пространства, соответственно определяемые как линейные (векторные) пространства над полем действительных и комплексных чисел в зависимости от того, допускается ли умножение векторов только на вещественные или на любые комплексные числа. 206 [c.206]

В действительном унитарном векторном пространстве все скалярные произведения (А, В) действительны и скалярное умножение векторов коммутативно,. так что (А, В) = (В, А) (аА, В) =а(А, В). [c.207]

Класс Z,2(0) всех действительных или комплексных квадратично интегрируемых функций, определенных в некоторой области D, образует действительное или комплексное бесконечномерное унитарное векторное пространство, если рассматривать функции 1 ... как обобщенные векторы и определить [c.208]

Эти уравнения 29) и (30) позволяют нам определить Е и Н для произвольного распределения электрических зарядов, имеющих данное движение. Решение зависит от двух потенциалов, скалярного потенциала if и векторного потенциала А, которые оба выражаются интегралами, распространенными на пространство 5, содержащее заряды. Действительно, если Р — точка и — момент времени, для которых мы желаем вычислить и А, то имеем [c.127]

Случайные функции U (/) времени t называют случайными процессами. Область изменения аргумента t, как правило, совпадает с действительной прямой Г = = (—оо, оо). При рассмотрении задач с начальными данными будем в качестве этой области брать полупрямую Т = (О, оо). Случайные функции U (х) координат х = = (Xi.....х ) евклидова пространства называют случайными полями. Случайные функции времени i и координат х называют либо пространственно-временными случайными процессами, либо пространственно-временными случайными полями. Далее будем называть эти функции случайными полями. Совокупность случайных функций Ui (i),. .., U (f) называют п-мерным случайным процессом или векторным случайным процессом в пространстве R". Если в контексте встречаются векторные или тензорные величины, то во избежание недоразумений рекомендуется применять первый термин. Реализации (выборочные значения) случайных функций будем обозна- [c.268]

Пространство размерности к, в котором определен вектор X, называется факторным пространством или пространством контролируемых (независимых) переменных. Это векторное пространство будем обозначать Совокупность точек пространства которые могут быть реализованы экспериментатором, называется областью возможных измерений и обозначаются X. Будем считать, что элементы векторного пространства можно умножать только на вещественные действительные величины, т. е. векторное пространство — вещественное (действительное) пространство. Определим в -мерном векторном вещественном пространстве скалярное произведение (X, X) и норму Х как [c.9]

Совокупность векторов а, компоненты которых пробегают в совокупности область Qm, далее будем считать принадлежащими векторному пространству Ч т. При определении конкретных значений параметров а/ по измерениям aj, =1,. . ., п решают аппроксимационную задачу путем минимизации нормы ll a(A-) — — (X, а) в 2(A) или в дискретном варианте a — Р( )11 в k, где модельный вектор (a) имеет компоненты (Xi, ai,. .., a ,. .., am). Напомним, что последняя норма обычно называется оптической невязкой и обозначается через рфа )- В рассматриваемом случае можно просто писать р(а). В качестве решения обратной задачи выбирается вектор а, минимизирующий эту невязку при условии, конечно, что р(а ) а. Это условие указывает на то, что для измеренного вектора a мы подобрали вполне приемлемую аппроксимацию из параметрического семейства оптических моделей Вт, порождаемых вектором а и соответствующим параметрическим полидисперсным интегралом. С учетом (1.88) можно надеяться, что полученное распределение s(r, а ) будет близким к действительному распределению 5о(г). Характер этой близости требует особого рассмотрения, и к нему мы вернемся несколько позже. Очевидно, нет надобности доказывать, что модельные характеристики (А, а), используемые для аппроксимации измеренной функции a( ), образуют компактное множество. [c.54]

Читатель должен вспомнить, что для того, чтобы преобразование, Q сохраняло скалярное произведение, в некотором векторном пространстве, т. е. для того, чтобы Q(и). Q(v) = U-V V U. V, необходимо и достаточно, чтобы Q было тензором, удовлетворяющим условию (4). Из (4) сразу видно, что det Q = 1. Если det Q = -f-1, то Q представляет собой поворот. Произвольный ортогональный тензор представляет собой либо поворот, либо произведение поворота на центральную инверсию —I, г. е. Q = R, где R —поворот, причем (вещественными) собственными числами Q могут быть лишь 4-1 и —1. Если, как мы везде предполагаем, dim F = 3, то 1 является собственным числом для любо.го R и соответствующее характеристическое пространство для него одномерно, за исключением случая, когда R=l, Последнее утверждение — это знаменитая теорема Эйлера любой отличный от тождественного поворот около некоторой точки является в действительности поворотом вокруг некоторой однозначно определенной прямой. [c.35]

Векторные пространства, базисы. Все векторные пространства, рассматриваемые в этой книге,— это конечномерные, обычно трехмерные, пространства над полем действительных чисел. Их элементы обозначаются прямыми жирными строчными буквами а, Ь,. .., и, у, а действительные коэффициенты при них обозначаются курсивными светлыми буквами а, Ь, А,. [c.499]

Координаты. Декартово (или арифметическое) п-мерное- простран-ство — это -мерное векторное пространство, элементами которого являются упорядоченные наборы из п действительных чисел [c.514]

Неоднородные системы. Выше мы рассматривали случай однородных сверхпроводников. Теория Гинзбурга — Ландау особенно важна для изучения таких систем, где 11 з меняется в пространстве. Решить эту задачу точно очень сложно, что связано с нелинейностью уравнения (5.89). Для малых отклонений от однородности, однако, его можно линеаризовать. Мы будем полагать параметр порядка действительным и затем убедимся, что это предположение согласуется с полученными результатами. Далее мы выбросим векторный потенциал, и поскольку полученные таким образом решения будут отвечать нулевому току, они окажутся самосогласованными и в этом смысле. [c.595]

Заметим в заключение, что Га —это и есть тот производящий оператор, о котором говорится в теореме п. 7.1, а именно, оператор коммутирования с векторным полем /х здесь х —. столбец с компонентами х . .., Х-л. Действительно, борелевская подгруппа 5 действует на пространстве V по правилу [c.77]

Рассмотрим в ге-мерном действительном евклидовом пространстве Нп коэффициентов Впк векторное поле [c.224]

Из теоремы 15 можно вывести ряд полезных следствий. Рассмотрим, например, распространение света в неоднородной изотропной среде. Световые лучи описываются каноническими уравнениями с гамильтонианом Н = у /п х), где и — показатель преломления. Кроме того, на действительных траекториях Н = 1. Рассмотрим систему лучей в = х она порождает векторное поле скоростей световых частиц у х). Этой системе лучей отвечает трехмерное инвариантное многообразие в шестимерном фазовом пространстве Е хЖ = х,у . Соответствующее поле импульсов и х) находится из уравнений [c.89]

Для получения уравнений, описывающих температурные поля и напряжения в деформируемом теле, в дальнейшем рассматриваются малые перемещения и градиенты перемещений. В этом случае вектор перемещения и с компонентами Н рассматривается как некоторое векторное поле, тензор деформаций с компонентами Еу - как тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве [75]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений соотношениями Коши .у=(ди1/дХу+диудх,)/1 (здесь и далее /, / = 1, 2, 3, а также везде в формулах подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индексам). Тогда из уравнения неразрывности (закона сохранения массы) [19] [c.182]

Такое унитарное лу>собразоваиие в гильбертовом иространстве представляет собой обобщение поворота системы координаг в конечномерном действительном векторном пространстве. () к> переводит ортогональный базис (ф. ) в ортогональный же [c.192]

Для непрерывных грунп особое значение имеют бесконечно малые преобразования, близкие к тождественному отображению. Эти преобразования образуют линейное многообразие—векторное пространство с числом измерений, равным числу независимых параметров группы (например, для группы вращений в трёхмерном пространстве—трёхмерное векторное многообразие). Действительно, из Т 0,. .., 0) = / следует [c.169]

Нас интересует векторный потенциал, который конечен во всем пространстве и который можно разложить л ряд Фурье. При этом исключается, например, всюду однородное магнитное иоле, в котором электроны должны описывать круговые орбиты незаиисид/о от того, как бы пи было слабо магнитное поле. Исследование свойства кругового движения электронов в магнитном поле нельзя также провести и с помощью теории возмущений. Диамагнитные свойства газа свободных электронов могут быть объяснены на основе анализа круговых орбит, но эти свойства нас в данном случае не интересуют. Если существу( т конечная длина свободного пробега, препятствующая электронам двигаться по замкнутым круговым орбитам, то можно думать, что рассмотрение методом теории возмущений оправдано действительно, независимо от длины свободного пробега, теория возмущений приводит к обычной формуле Ландау (см. п. 22) . [c.710]

Замечание. Пусть для векторного поля на двумерной поверхности существует контур. Если Qj — положение равновесия, то оно либо седло, либо седло-узел, а если цикл, то — с мультипликатором +1". Если в состав контура входнт более одного положения равновесия или одного цикла, то векторное поле принадлежит множеству коразмерности, не меньшей двух, в пространстве векторных полей. Действительно, если в состав такого контура входит t циклов, i6 0 1 2 , то существует не менее (2—I) сепаратрис, соединяющих соседние седла или седло-узлы. [c.93]

Годографическое преобразование из пространства положений в пространство скоростей для двух неподвижных центров потребует дополнительного использования отражения (или переноса с отражением) и поверхностного увеличения. Усложнение или пересмотр этого, до сих пор еще неизвестного годографического преобразования, необходимые для перехода от задачи двух неподвижных центров к ограниченной задаче трех тел, приведут к появлению вращения. Годографическое преобразование для одного притягивающего центра является конформным в действительности это контактное преобразование [11—14]. Но отражение — это уже не конформное, а изогональное преобразование, в то время как вращение не сохраняет ни угловой меры изогональности, ни угловой меры и направления конформного преобразования. Соответствующее исследование методами теории преобразований должно помочь выяснить многие непонятные свойства траекторий в ограниченной задаче трех тел, после того как будет рассмотрено влияние этих элементов преобразования на траектории в данном векторном пространстве. Предварительное исследование показывает, что годографический анализ после преобразования из необходимого пространства годографических [c.81]

Теория годографов для траекторий относительно одного притягиваюш его центра показывает (см. рис. 7), что годографы скорости и ускорения являются регулярными (т. е. не обладают вырожденностями) даже несмотря на то, что траектории в пространстве векторов положения могут становиться неопределенными из-за наличия особенностей в бесконечности . Это явление может действительно показаться странным, если рассматривать его не с математической, а с физической точки зрения. Дальнейшие размышления о наличии геометрической инверсии [27] в годографическом преобразовании и попытки применения метрических геометрий [28] дают основание предположить, что векторные пространства ньютоновой механики на самом деле являются не евклидовыми, а римановыми. В этой связи по отношению к физическому пространству, в котором мы живем , было сказано следуюш ее [29] Представление о том, что система пространство — время является евкли- [c.82]

При неустановившемся течении можно представить себе трубки тока, но они уже не будут образованы траекториями частиц. Действительно, представим векторное поле скоростей г г, t) частиц в момерт времени t. В этом поле можно мысленно провести линии тока — такие кривые, касательная к которым всюду совпадает по направлению с вектором скорости о. Эти кривые, проходящие через колечко , образуют трубку тока. Ясно, что трубка тока, образованная линиями, проходящими через данное колечко , зависит от времени. Кроме того, следует отметить, что линия тока, вообще говоря, совсем не совпадает с траекторией частицы, потому что, когда частица перейдет в соседнюю точку г + dr, вектор скорости в этой точке за время dt уже изменится на какую-то величину, и т. д. А при построении линий тока принимаются во внимание только скорости в данный момент во всех точках пространства. Линии тока образованы смещениями различных частиц, а траектория — движением одной частицы. [c.348]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Поскольку исходное уравнение (3.15) представлено в форме интеграла Стилтьеса и его решение т(г) принадлежит множеству ограниченных, нигде не убывающих функций Ф , то естественно вычислительный алгоритм строить так же, как это делалось ранее для уравнений (1.105). Роль исходного минимизируемого функционала на векторном пространстве играет, как и ранее, норма 11 Лт—1а1 /2, которую в дальнейшем будем обозначать через р(т). Вольтерровость исходного интегрального оператора А не вызывает каких-либо особых затруднений при использовании аппроксимационного подхода и неявном построении обратного оператора. Действительно, интегральное представление (3.13) можно рассматривать как некоторую аналитическую модель/(/1,т) для измеряемой в эксперименте функции 1о Ь). Напомним, что если модель соответствует данному эксперименту, 1о(Ь) есть а-приближение для точной функции /о(/1) =/(/1, То), и тогда [c.160]

До голосования вектор а может испытывать обратимые изменения в зависимости от того, как меняется обшественное мнение. Задача избирательной кампании по каждому кандидату состоит в увеличении соответствующей компоненты ау вектора а. А в момент выборов каждый избирательный бюллетень должен приобрести вид 0...1...0 , т.е. вид вектора только с одной отличной от нуля компонентой. Можно сказать, что голосование каждого избирателя осуществляет проекцию (коллапс) вектора а на одну из осей "j". Величина а, при этом становится равной единице, а комплексное число aj поворачивается к действительной оси. Результат такого преобразования можно описать некоторым проекционным оператором Pj. Как мы видим, главным действием такого оператора является выбор ячейки с номером ], а "поворот" к ответу "да" является как бы само собой разумеющимся. Поэтому результат голосования (хочется сказать "измерения") по многим избирателям характеризуется просто распределением вероятностей р] = а,р. Это значит, что главной характеристикой процесса превращения "намерения" в "решение" являются модули компонент. А возможные состояния вектора а до принятия решения можно описать суперпозициями вида Ал + ВЬ, где а и Ь возможные намерения. Это значит, что мы имеем дело с линейным векторным пространством. Поскольку векторы вида а должны удовлетворять условию нормировки [c.49]

Длина когерентности. Лондоновская глубина проникновения является фундаментальным параметром, характеризующим сверхпроводник. Другим и не менее важным независимым параметром является длина когерентности Длина когерентности представляет собой расстояние, на протяжении которого в магнитном поле, меняющемся в пространстве, ширина энергетической щели существенно не изменяется. Уравнение Лондонов является локальным уравнением, так как оно связывает плотность тока в точке г с векторным потенциалом в той же точке. Поскольку /(г) есть произведение А г) на постоянное число, то ток с необходимостью повторяет вариации векторного потенциала. Длина когерентности определяет расстояние, на протяжении которого мы должны усреднять А для получения /. В действительности в теории вводятся две длины когерентности, ио мы не будем в это вдаваться. [c.443]

Действительно, (1е1Яр представляется в виде произведения detЯO и определителя D ограничения на множество векторных полей, параллельных y t). Ограничим лагранжиан на двумерное пространство Т аТМ и применим к полученной системе теорему 1. В левой части формулы (5) в этом случае будет стоять определитель D. Таким образом, [c.160]

Третье замечание — понятие ограниченного мнржест-ва играет центральную роль при описании топологических векторных пространств. Множество Б в топологическом векторном пространстве замкнуто, если для любой окрестности N точки О векторного пространства найдется такое действительное число Я > О, что а N. Ограниченные множества в , 25, и 25 можно охарактеризовать так. Множество с ограничено тогда и только тогда, когда все II 1г, являются ограниченными функциями на 8. Множество 8 с. 3) ограничено тогда и только тогда, когда существует фиксированное компактное множество К такое, что ш f 8 следует зирр I аК, и для каждого неотрицательного целого к найдется действительное число Ми такое, что supд ei5 /(з ) I для f 8. Множество 8 с. 8 ограничено, если для каждого / е T(f) ограничено при изменении Т в 8. Такое же утверждение справедливо, если заменить на 25 и — на 25. В дальнейшем нам понадобится лишь следующий результат, относящийся к ограниченным множествам сходящаяся последовательность обобщенных функций е 25 сходится равномерно на ограниченном множестве 25. [c.58]

Предположим сначала, что у матрицы В имеется три попарно различных собственных значения X,-, которым отвечают ортонор-мированные собственные векторы р1. Тогда линейные оболочки множеств /, В, В и p pJ, Р2Р2, ргр1) образуют одно и то же подпространство векторного пространства 5 . Действительно, заметим, что [c.144]

Полунорма II II—это функция, определенная на векторном пространстве Т н принимающая неотрицательные действительные значения, такая, что [c.377]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...