Тензор Коши—Грина

Тензоры и В часто встречаются в литературе. Мы будем называть их соответственно тензорами Фингера и Пиолы. Геометрическая интерпретация тензоров Коши, Грина, Фингера и Пиолы приведена ниже. [c.94]

Компоненты тензора Коши—Грина являются рациональными функциями компонентов G, в то время как компоненты U и V не являются такими функциями. [c.73]

Составляющие тензора Коши-Грина выражаются через перемещения следующими соотношениями [c.180]

Приведенная зависимость совпадает с формулой для линейно-упругого тела. Она распространяется на случай больших деформаций при замене составляющих тензора малых деформаций компонентами тензора Коши-Грина. В соответствии с зависимостью (9.9.7) [c.182]

Переменная с представляет собой левый тензор Коши—Грина и характеризует влияние текущих деформаций на состояние и ориентацию материала напротив, переменная q отражает влияние прошлой предыстории деформирования на состояние и ориентацию материала [c.153]

На основе этих несимметричных тензоров вводятся симметричные тензоры правый тензор Коши-Грина С [c.638]

Гораздо сложнее дело обстоит, когда определяющие соотношения связывают между собой тензоры второго ранга. Ведь даже для изотропного случая тензор напряжений Коши (23) связан с тензором Коши-Грина (7) с помощью упругого потенциала [c.650]

При всех преимуществах тензора Коши—Грина С его нельзя считать единственно возможным вариантом задания деформации. Среди Других допустимых вариантов отметим тензор Генки [50] [c.51]

Введенная характеристика деформации С напоминает о тензоре Коши—Грина ( 3.4). [c.151]

Симметричные тензоры С, А, С, А — тензоры деформации, С — тензор Коши—Грина, А —тензор Альманзи. Из определений [c.24]

Правый и левый тензоры Коши — Грина определяются следующим образом [c.101]

Если МЫ возьмем в качестве отправной величины относительный градиент деформации Р(, определенный соотношением (II. 8-5), и применим к нему теорему о разложении, мы получим относительный поворот Rt, относительные тензоры растяжения Ui и V( и относительные тензоры Коши—Грина С( и В [c.102]

Симметричные тензоры с одинаковыми главными инвариантами называются подобными такие тензоры переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием (см. (5)а). Обратно, если два симметричных тензора переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием, то их главные инварианты совпадают, так что они подобны. Следовательно, левый и правый тензоры Коши — Грина подобны.—Прим. ред. [c.102]

В пояснение обозначения (1) Си например, есть предыстория правого относительного тензора Коши —Грина С< вплоть до момента t. [c.105]

Сравнение уравнений (3-1.24) и (3-1.25), а также (3-1.29) и (3-1.30) дает следующие соотношения между тензорами Коши и Пиолы, а также между тензорами Фингера и Грина [c.96]

Деформированное состояние рассматриваемого тела будет определяться тензором конечной деформации Коши — Грина [c.302]

Часто более удобно использовать правый С и левый В тензоры натяжения Коши —Грина [c.73]

Первый тензор конечной деформации. Замена в выражении первой меры деформации вектор-радиуса R точки V-объема его значением через вектор перемещения и вводит в рассмотрение симметричный тензор второго ранга, называемый первым тензором конечной деформации (Коши — Грина) и обозначаемый далее [c.75]

В линейной теории равновесия сплошной среды отпадает также необходимость в различении тензоров деформации Коши— Грина и Альманзи — Гамеля Ш. Как следует из (3.6.5) и (4.3.5) гл. II, тот и другой тензоры должны быть по (1.1.1) и [c.101]

Тензоры деформаций Коши — Грина и Пиола [c.34]

Тензоры деформаций Коши — Грина С, с и Пиола В, Ь не принадлежат этому семейству. [c.36]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

Получить потенциальную функцию W(Е) с помощью связи тензоров деформаций Коши — Грина и Грина — Лагранжа (1.49) [c.79]

Эта модель гиперупругого материала используется только с TL-формулировкой уравнений. Рассмотрим три независимых инварианта правого тензора деформаций Коши — Грина дС (см. (1.44), (1.45))2 [c.199]

Пользуясь соотношениями (6.23), устанавливаем связь между инвариантами (6.19) правого тензора деформаций Коши — Грина и инвариантами (6.24) тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.201]

Эти формулы можно записать в более компактной форме, если вместо компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа использовать компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина. Пользуясь (6.23), из (6.31) получаем [c.202]

Компоненты Eij тензора деформаций Коши-Грина Е находим по формулам [c.333]

В частном случае движения твердого тела Р Р — I, поскольку йз = йз для любого е, но сам тензор Р все же не является тождественным, как это видно из (2.81). Следовательно, линейное растяжение основных расстояний вокруг точки Р должно описываться так называемым тензором Коши — Грина Р Р. Кроме того, из (2.85) видно, что Р Р должен быть положительно определенным, так что существует симметрический тензор 11, орределяемый формулой [c.32]

Рис. 1.8-1. d/ = dxr dxr d/ = dx dx — элементы длины в отсчётной н деформированной конфигурациях С = — правый тензор Коши—Грина. [c.76]

Упражнение 1Х.4.2. (Грин Ривлин Шилд, Трусделл). Пусть В —левый тензор Коши—Грина для деформации из неискаженной конфигурации изотропного материала в конфигурацию, в которой тензор напряжений равен, скажем. То, так что [c.302]

Слово линейный относится здесь к зависимости напряжений от прошедшей предыстории С — относительной деформа- ции. Природа памяти материала линейна в том смысле, что неупругие напряжения, соответствующие предыстории деформации, приводящей к относительному правому тензору Коши — Грина Сг, представляют собой сумму неупругих напряжений, соответствующих любым двум предысториям деформации, сумма относительных правых тензоров Коши — Грина которых равна С . От текущего тензора деформации (i) напряжения могут зависеть произвольным образом. Колеман и Нолл заметили, что выбор в качестве исходной любой другой из бесконечного, множества приведенных форм для общего определяющего соотношения также приводил бы тем же самым способом к линейному результату, но другому. Поскольку теория, которая линейна при одной мере деформации ), например С<, может быть нелинейной при другой мере, например U<, то получаемые таким образом теории конечных деформаций, вообще говоря, отличаются одна от другой, но, разумеется, все они согласуются друг с другом в смысле аппроксимации (1), т. е. напряжения, соответствующие, согласно этим теориям, семейству предысторий градиента такому, что IIF — F (041-> О, асимптотически равны между собой. [c.389]

Здесь г — радиус-вектор лагранжевых координат, дуль упругости, V — коэффициент Пуассона, 6, — символ Кро некера, Ёу (г) — компоненты тензора вынужденной деформации, Ёц (г) — компоненты тензора конечных деформаций Коши — Грина в базисе начального состояния, (г) — компоненты тензора напряжения Коши в базисе актуального состояния. [c.296]

Тензоры С и с назьгоаются соответственно правым и левым тензорами деформаций Коши — Грина, а В и Ь — правым и левым тензорами деформаций Пиола [63] . Для них справедливы следующие формулы связи [c.35]

Определяющие соотношения гиперупругих материалов при больших деформациях используются в основном для моделирования поведения резиновых тел. Рассмотрим некоторые модели изотропных материалов, описывающие деформации таких тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция W должна зависеть только от главных инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа /г(Е), /2(E), /з(Е) (см. (1.1)). В определяющих соотношениях (2.14) потенциальную функцию W I, I2, /3) прямо использовать нельзя вследствие того, что материал резины предполагается несжимаемым (J = detF = 1), так что справедливы равенства (1.46). Условие несжимаемости формулируем с помощью правого тензора деформаций Коши — Грина С, связанного с тензором деформаций Грина — Лагранжа Е первой формулой (1.49) [c.79]

Таким образом, потенциальную функцию для несжимаемого гиперупругого материала следует формулировать в терминах независимых инвариантов Л (С), /2( ) тензора деформаций Коши — Грина при выполнении условия (2.28). Обозначим эту потенциальную функцию через W. Для несжимаемого гиперупругого материала, Муни — Ривлина [36, 46] потенциальная функция W постулируется в виде [c.79]

Таким образом, t ij — линейная часть приращений компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа tEij, отнесенного к текущей конфигурации, является инкрементальным аналогом производной Коттера — Ривлина от тензора деформаций Альман-си или инкрементальным аналогом тензора скоростей деформаций. Кроме того, приращения компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа, отнесенные к текущей конфигурации, являются инкрементальными аналогами компонент производной Трусделла от тензора напряжений Коши. [c.196]

Для того, чтобы избежать путаницы в обозначениях пргшого тензора деформаций Коши — Грина и матрицы определяющих соотношений, в настоящем параграфе этот тензор деформаций отмечаем чертой сверху. [c.199]

Компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина If ij выражаются через компоненты тензора деформаций Грина — Лагранжа qEjj с помощью первой формулы (1.49). В декартовой системе координат получаем [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...