Теорема Безу обобщенная

Теорема (без доказательства). Решение вариационного неравенства (5.372), если оно существует и обладает вторыми производными (хотя бы обобщенными), удовлетворяет всем уравнениям и условиям задачи в дифференциальной постановке. [c.293]

Доказательство этого варианта теоремы ГЛЦ можно без труда получить из доказательства более общего варианта этой теоремы, приведенного в работе [181. Сильная форма предположения В, которой мы воспользовались, избавляет от необходимости при формулировке теоремы вводить обобщенные запаздывающие функции, хотя они все же удобны при ее доказательстве. Можно доказать, что при сделанных предположениях эти функции существуют и обладают надлежащими свойствами. [c.27]

Третья и обобщенная теоремы Карно. У систем с идеальными обратимыми связями кинетическая энергия за обе фазы удара, как правило, уменьшается исключением является случай только абсолютно упругого удара, когда она остается без изменений. В этом состоит так называемая третья теорема Карно. Мы не останавливаемся на ее доказательстве в общем случае. Отметим только, что в частном случае соударения двух абсолютно гладких тел эта теорема была получена ранее в п. 203. [c.450]

Без ограничения общности будем считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты qi равны нулю. Для доказательства теоремы возьмем функцию F, совпадающую с полной механической энергией системы Е = Т + П. По условию теоремы она будет определенно-положительной в окрестности начала координат 2п-мерного пространства состояний qi (i = 1, 2,..., n). Из условия теоремы следует, что [c.536]

Однако бывают случаи, когда силы зависят не только от положения, но еще и от скорости и времени или зависят только от скорости или от времени. Например, в электродвигателях (кроме синхронных машин переменного тока) развиваемый ими движущий момент зависит, как правило, от угловой скорости их ротора точно так же в центробежных насосах и вентиляторах потребляемый момент изменяется в квадратичной зависимости от угловой скорости (о механических характеристиках машин см. п. 27). В этих случаях теорема об изменении кинетической энергии не может свести задачу i интегрируемым дифференциальным уравнениям (так как работа сил не может быть определена без знания самого закона движения), поэтому задача определения движения машины должна в таких случаях строиться на решении дифференциального уравнения движения системы в обобщенных координатах, соответствующего обобщенным силам или обобщенным моментам, т. е. так называемого дифференциального уравнения Лагранжа 2-го рода. Для установления этого уравнения воспользуемся зависимостью (48). Из нее для бесконечно малого промежутка времени получим [c.251]

Теперь посмотрим, удовлетворяет ли функция v начальному условию (2). Для этой цели нужно использовать обобщение теоремы Абеля (см. F. S., 73, I). В самом деле, мы доказали только то, что ряд для V равномерно сходится при i > О, и без дальнейшего исследования не можем утверждать, что ра- [c.31]

Обобщим рассмотренные ранее задачи на условия, когда тело находится в среде, температура (или другой потенциал среды) которой есть функция времени. Для этого обобщения можно воспользоваться теоремой Дюамеля, которая позволяет нам, исходя из решений для постоянного потенциала среды (в частности, температуры), найти решения для условий, когда потенциал среды является заданной функцией времени, При этом теорема требует от этой функции выполнения определенных условий — она и ее производная должны быть кусочно-непрерывны при Fo>0. Следует также обратить внимание на известное различие, существующее между обобщением решений дифференциальных уравнений связанного и несвязанного переноса. Если в последнем случае не возникает необходимости в доработке первоначально полученного решения, то при решении систем взаимосвязанных уравнений без такой работы нельзя обойтись. Для уяснения метода рассмотрим сперва несвязанный перенос, при этом более детально остановимся на решении для неограниченной пластины. [c.325]

Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить модулем проекции вектора на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием, но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ы ( ) некоторой степенью функции V (Н) так, чтобы оператор был вполне непрерывен (см. 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6. [c.159]

Аксиомы статики. Все теоремы, и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике. [c.18]

Под общими законами динамики понимаются законы изменения количества движения, момента количества движения и кинетической энергии, а также различные условия, при выполнении которых из этих законов могут быть получены интегралы движения. Несмотря на значительные успехи аналитической механики, общие законы динамики и получающиеся из них интегралы движения играют до настоящего времени очень важную роль. Н. Е. Жуковский в своих исследованиях широко использовал общие законы динамики. В 1893 г. была решена сложная задача о движении без скольжения по горизонтальной плоскости полого шара с гироскопом внутри. В 1897 г. С. А. Чаплыгин указал на ряд новых условий, при выполнении которых имеют место интегралы движения, представляющие собою обобщение известных интегралов сохранения количества движения и момента количества движения. Одновременно он проиллюстрировал их применение на ряде систем, состоящих из нескольких катающихся и скользящих друг по другу твердых шаров. В 1903 г., опираясь на найденное им обобщение закона сохранения момента количества движения (теоремы площадей), С. А. Чаплыгин дал блестящее решение общей задачи о катании симметричного шара по горизонтальной плоскости. [c.48]

Здесь г — компоненты вектора скорости Ф< — компоненты обобщенных активных сил — компоненты обобщенной реакции связей. При уменьшении числа обобщенных скоростей и сохранения без изменений компонент активных сил, согласно условию теоремы, число N уравнений вида (3.20) уменьшается, т. е. Ы <М, а число соотношений вида (3.21) увеличивается, [c.69]

Эту теорему мы называем обобщенной теоремой Ляпунова — Таубера, имея в виду указанную выше аналогию. Очевидно, доказательство ее без ограничения общности можно вести в предположении (0 = 0. [c.186]

Теорема 31.3 утверждает корректность обобщенной постановки краевых задач в пространствах Ну. Большую важность имеет корректность постановки этих задач, но в более сильных пространствах, позволяющих, например, давать равномерную оценку изменения напряжений. Без доказательства приведем один результат такого рода. [c.287]

Решение этого дифференциального уравнения для непрерывной функции (г) представляет собой несравненно более сложную математическую задачу, нежели решение матричных уравнений (8.11) или (9.1) для амплитуд в узлах П1. Даже в случае упорядоченного кристалла, когда применение теоремы Блоха ( 1.1) чрезвычайно сильно упрощает рассмотрение, проблема зонной структуры породила обширную литературу, посвященную разработке специфических математических методов, исследованию физических аспектов проблемы и сложным расчетам. Но хотя трудность обобщения этих методов применительно к системам без трансляционной симметрии очевидна, это не должно останавливать нас, ибо неупорядоченные металлы — в виде сплавов или в жидком состоянии — представляют собой слишком важный объект современного мира, чтобы теоретическая физика могла позволить себе их игнорировать [c.453]

С другой стороны, приближения уравнения (5) к правильной величине распределения давления у основания системы могут считаться в действительности достаточно близкими, чтобы показать отсутствие случайности в применении более точной формулы для величины расхода (уравнение 7), тогда как в теории Дюпюи-Форхгеймера случайность имеет место без всякого сомнения. На основании наблюдения, что применение указанной приближенной теории при выводе уравнений (3) и (7) для величины расхода при линейном и радиальном гравитационных течениях является по существу тождественным обобщенной теореме,, выведенной в гл. IV, п. 5 для расхода при плоском радиальном течении с произвольно выбранным распределением давления на круговых контурах, можно предложить более простой и все же удовлетворительный с физической стороны метод для вывода уравнений (3) и (7). [c.316]

Обсуждаются различные обобщения теоремы диагностирования вопросы применимости полученных алгоритмов диагностики при использовании вектора диагностирования меньшей чем вектор состояния размерности и в случае непрерывной экс-пресс-диагностики без применения поверхности контроля, задача о выборе минимального времени диагностирования, задача диагностирования неисправностей, происшедших в окрестностях опорных невырожденных неисправностей и не предусмотренных априорным списком, рассмотрены другие функционалы, решающие задачу диагностирования. [c.18]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Если бы мы подставили в предыдущих теоремах вместо анергии любую другую фазовую функцию, теоремы mulatis mutandis остались бы верными. В данном виде теоремы заслуживают особого внимания в силу особой важности знергии, как фазовой функции. В том случае, когда другие фазовые функции обладают существенными свойствами в отношении статистического равновесия, как описано, например, в главе IV ), могут оказаться полезными следующие три теоремы, являющиеся обобщениями предыдущих. Достаточно будет привести их без доказательства, так как лежащие в их основе принципы ничем не отличаются от предыдущих. [c.135]

Большую роль в теории О. играет так наз. теорема Лапласа О. п-го порядка равен сумме произведений из всех различных миноров, заключающихся вш горизонталях или вертикалях (m n), на алгебраические дополнения этих миноров (мы не приводим этой теоремы в другой обобщенной редакции Коши). Имеется аналогия меледу теоремой Безу и теоремой Лапласа если разлолсение по первой теореме сводит вычисление О. п-го [c.53]

Напомним, что теоремой Вариньона (без добавления слова обобщенная ) называют это же утиерлздение для пучка с Пучок векторов с. RфQ [c.355]

Доказанная теорема о качении аксоидов представляет собой обобщение ранее выведенной в главе о плоском движении теоремы о качении без скольжения подвижной центроиды по неподвижной. Собственно говоря, и в случае плоского движения приходится иметь дело с качением аксоидов, но аксопдов цилиндрических. Сводя задачу к плоской, естественно вместо аксоидов брать следы их пересечения с плоскостью движения — центроиды. [c.276]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

При доказательстве теоремы о равновесии на наклонной плоскости Стевин исходит из верного хштуитивного принципа — невозможности вечного движения, возникновения движения из ничего. Мах называл этот еще неак-сиоматизированный оныт инстинктивным познанием — определение вряд ли удачно, поскольку здесь налицо некое первичное обобщение повседневного практического опыта, презумпция здравого смысла, лежащая в основе деятельности каждого ремесленника. В этом смысле весьма показательны более ранние высказывания Леонардо да Винчи, проникнутые презрением к искателям вечного движения, а также взгляд Кардано, согласно которому для того, чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигавшиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положение, а это невозможно без наличия перевеса, как невозможно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама. [c.121]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

Телеграфные уравнения обобщенной регулярной МСПЛ могут быть получены разными путями (краткая историческая справка по данному вопросу приведена в работе М. X. Захар-Иткина [27]). Они выводятся из уравнений Максвелла [28— 30, 107], записываются как следствие теоремы взаимности электротехнических цепей [27] или получаются из законов Кирхгофа предельным переходом от уравнений цепи с сосредоточенными параметрами к уравнениям для структуры с распределенными параметрами. Подробный вывод телеграфных уравнений для двухпроводных СПЛ без учета потерь дан в работах [2, 75]. [c.14]

Определив так обобщенные значения коэффициентов влияния , мы без труда сможем по-новому интерпретировать уравнение (17), т. е. теорему взаимности, и выражение для U — полной упругой энергии в форме (19). Так, если Р представляет собой приложенный момент, то в теореме Кастилиаио ( 16) первое из равенств (20) устанавливает, что частная производная U по этому моменту дает соответствующий поворот. В частности, если P является моментом, возникающим в связи, препятствующей повороту, то мы будем иметь [c.41]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Далее, по теореме Аванцини ( 21, теорема 1) действие тяготения состоит просто в том, что к системе инерциальных сил без учета силы тяжести добавляется постоянная гидростатическая подъемная сила. Поэтому достаточно рассматривать случай I — Т нулевой потенциальной энергии, что соответствует = 0. Этим определяется лагранжева система ), в которой обобщенные силы Q, удовлетворяют уравнениям [c.199]

Например, уравнения Эйлера движения тверого тела имеют своим аналогом в гидродинамике уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Теореме Эйлера об устойчивости вращений вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции отвечает в гидродинамике слегка обобщенная теорема Релея об устойчивости течений без точек перегиба профиля скоростей и т. д. [c.283]

Пока наш список примеров минимальных множеств для потоков на поверхностях весьма ограничен. Конечно, неподвижные точки и периодические орбиты появляются у потоков на любой компактной поверхности. Кроме того, иррациональный линейный поток на торе минимален. Наконец, мы упоминали о том, что минимальные канторовы множества возникают у специального потока над примером Данжуа. Последнее возможно для гладкости С , но невозможно для потоков без неподвижных точек гладкости на торе. Оказывается, что, как мы сейчас покажем, для -потоков на любой поверхности множество всех возможных видов компактных минимальных множеств исчерпывается первыми тремя примерами. Это обобщение теоремы Данжуа, и доказательство вновь использует оценку ограниченности искажения. [c.463]

Приближенное решение смешанной задачи для анизотропного тела. Теорема существования, полученная в предыдущем параграфе для смешанной задачи анизотропного тела, позволяет найти приближенные значения этого решения в произвольной внутренней точке тела. Это можно сделать как способом канонических уравнений, так и способом разложения в обобщенные ряды Фурье. При этом схема доказательства остается без всяких изменений по сравнению с аналогичным доказательством для изотропного случая, что было подробно изложено в 35. Поэтому здесь мы приведем лишь окончательный результат в любой точке внутри тела к точному значению решения можно приблизиться, в смысле метрит С, с произвольн ой точностью при помощи частичных сумм [c.461]

Воспользуемся теперь найденным результатом для раскрытия выражения в правой части обобщенной оптической теоремы (13.32) и сравним получающуюся формулу с формулой двойного дисперсионного соотношения без вычитаннй (13.30а). Опуская интеграл по t, получаем для плотности р (s, t) [c.384]

На языке дифференциальной алгебры теория алгебраических уравнений (3) без подвижных критических точек, изложена в [100]. Доказательство теоремы Мальмквиста и ее обобщений мюжно найти в [26], где приведен обширный список литературы. [c.121]

Ниже приведен ряд полезных следствий этой теоремы. ([12], [152], [282]). Размерность локальной алгебры по-луквазиоднородного отображения дается обобщенной формулой Безу [c.41]

Существуют многочисленные обобщения эргодических теорем Неймана и Биркгофа—Хинчина — например, на измеримые преобразования без инвариантной тлеры или с бесконечной инвариантной мерой, на общие группы преобразований, на функции со значениями в банаховых пространствах и т. п. Мы не будем сейчас останавливаться на этих результатах (см. 3 гл. 4, а также [87]). Отметим, что в простейшем случае (Для одного преобразования с конечной инвариантно й мерой, потока или полупотока, а также для функций из Ьг(М, Ж, ц)), как правило, эти обобщения дают то же, что и сами теоремы Биркгофа—Хинчина или Неймана. [c.19]

Ло появления статьи [131] обобщения теоремы Като—Розенблюма, необходимые для применения в теории дифференциальных операторов, получались без введения вспомогательного отождествления J. При этом использовалась стационарная техника, разработанная М.Ш.Бирманом и С.Б.Энтиной [49 [c.406]

При нанисании монографии мы отдавали себе отчет в том, что современное видение механики разрушения не будет полным без указания на место законов сохранения для нелинейно упругого сингулярного ноля в ряду других физических теорий ноля. Компактное математическое представление поля осуществляется с помощью функционала действия, из которого могут быть выведены как уравнения ноля, так и естественные граничные условия. Поэтому в книгу и был включен раздел, в котором, в частности, приводится вывод пнварпант-ных интегралов (и их далеко идущих обобщений) нелинейной упругости путем иримепепия теоремы Петер [ ] к функционалу действия. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...