Минимальное множество

После ввода исходной информации соответствующий блок ПП производит обработку уравнений, входящих в определения т-элементов, с целью их разрешения относительно различных вхождений несобственных переменных, что заключается в извлечении из исходных уравнений соответствующих операторов присваивания. При этом разрешенные уравнения приводятся к стандартному виду, что позволяет отождествить эквивалентные операторы присваивания с целью создания их минимального множества. [c.64]

В дальнейшем нам понадобится понятие минимального множества. [c.14]

Состояние равновесия и траектория периодического движения являются, очевидно, минимальными множествами. [c.14]

Наибольший интерес представляют ограниченные минимальные множества. Относительно существования таких множеств можно высказать следующую теорему. [c.14]

Теорема 1.3. Ограниченное замкнутое инвариантное множество содержит минимальное множество. [c.14]

Доказательство. Пусть М — инвариантное замкнутое и ограниченное множество точек фазового пространства. Если оно не имеет правильной части, обладающей теми же свойствами, то М — минимальное множество, и теорема доказана. Предположим, что существует множество Л1,с Ж, [c.14]

Ф М и замкнуто и инвариантно. Если Ж, не содержит в качестве правильной части замкнутого инвариантного множества, то оно минимально. Пусть существует замкнутое инвариантное множество Жз с Ж, и М2Ф и т. д. Продолжим этот процесс если на конечном шаге не появится минимального множества, то существует последовательность замкнутых инвариантных множеств [c.14]

По теореме Бэра (см., например, [4]) существует такое Трансфинитное число р второго класса, что Жр = Жр ,, т. е. множество Жр не имеет замкнутого и инвариантного истинного подмножества. Следовательно, Ж — минимальное множество. [c.15]

Следствие 1.1. Если полутраектория устойчива в смысле Лагранжа, то множество ее предельных точек содержит минимальное множество. [c.15]

Оказывается, что минимальные множества целиком построены из рекуррентных траекторий. Имеет место [c.16]

Доказательство. Пусть р — точка ограниченного минимального множества Е. Допустим, вопреки утверждению теоремы, что движение Ф(/>, t) не является рекуррентным. Это означает, что существуют число а и последовательность неограниченно возрастающих промежутков времени [ , — Г,, iv v Г,-> + оо, таких, что каждая из дуг Ф(/7, [c.16]

Во-вторых, определим минимальное множество А а 0.1 как непустое замкнутое инвариантное (т. е. состоящее только из целых траекторий) множество фазовых точек, не имеющее обладающих такими же свойствами подмножеств. В-третьих, минимальные множества А неблуждающих точек, имеющие окрестности, в которых [c.21]

Если бы совокупность Е не была минимальной, то она содержала бы собственное подмножество Е подобного же рода, к которому пс принадлежала бы какая-то точка Q совокупности Е. Но когда точка Р приблизится достаточно близко к какой-нибудь точке совокупности Е, то она останется в течение сколь угодно большого интервала времени вблизи от этой замкнутой, связной, состоящей из кривых дви кения совокупности, и, таким образом, не может приближаться в этом интервале времени к точке Q. Таким образом, требуемое условие не будет выполнено точечной группой, порождаемой Р(. Следовательно, Е есть минимальное множество, и наше движение рекуррентно. [c.204]

Совокупность состоит из одной или нескольких связных частей, каждая из которых содержит по меньшей мере одно минимальное множество рекуррентных движений. [c.206]

Всякое центральное движение, а- или ( -предельные точки которого не заполняют целиком какой-нибудь связной части множества Мг, мы будем называть специальным центральным движением . Согласно этому определению рекуррентное движение будет специальным, если только соответствующее минимальное множество не является само той связной частью множества М , к которой наше рекуррентное движение принадлежит. В частности для классической динамики специальными являются такие движения, которые не проходят сколь угодно близко от всех возможных состояний движения либо при возрастании, либо же при убывании времени. [c.206]

В случае классической динамики Мг = М) специальные центральные движения оказываются, таким образом, всюду плотными на М, за исключением того случая, когда само М является минимальным множеством рекуррентных движений. [c.206]

Если коэффициент вращения вдоль соответствующей инвариантной кривой на поверхности 8 несоизмерим с 2тг, то поверхность тора может представлять собой одно минимальное множество рекуррентных движений. В этом случае координаты и время могут быть представлены при помощи непрерывных функций, периодических по двум аргументам. [c.226]

Может существовать еще одна возможность. Минимальное множество кривых движения может соответствовать совершенному, нигде не плотному множеству точек па инвариантной кривой все другие дви- кения будут тогда асимптотически приближаться к этому минимальному множеству рекуррентных движений при бесконечном возрастании или убывании времени . [c.226]

Если а[ф) несоизмеримо с 2тг, то вся кривая соответствует одному минимальному множеству рекуррентных движений непрерывного типа. [c.253]

Марковские разбиения и минимальные множества 93 [c.93]

Гипотеза. Всякое минимальное множество потока, удовлетворяющего аксиоме А, или одномерно, или состоит из одной точки ). [c.93]

Теорема. Все минимальные множества потока ф одномерны. [c.107]

Теорема. Непериодические рекуррентные траектории плотны в X. в частности, поток ф< М- М, удовлетворяющий аксиоме А, всегда имеет минимальное множество, не сво-дящееся к периодической траектории, если только О(ф ) не состоит из конечного числа неподвижных точек и замкнутых орбит. [c.107]

Теорема 1.5. Если движение Ф(р, t) рекуррентно, то тмыкание его траектории Ф(р, /о) представляет ФОбоЛ ограниченное минимальное множество. [c.17]

Кроме простейшего случая, когда Е состоит из единственной замкнутой кривой, во всех остальных случаях минимальное множество Е содержит неисчислимое совершенное множество кривых движения( ). В самом деле, представим себе, что Е содержит изолированную кривую движения. Точка на этой кривой имеет точки этой кривой в качестве своих а- или ( -предельных точек. Слсдоватсльно, эта кривая должна быть замкнута и составлять минимальную совокупность. [c.203]

Тем же самым рассу кдением mojkho показать, что любое движение, лежащее в Е , имеет в качестве своей а- или w-предельной совокупности само множество Е . Иначе говоря, Е,. представляет собою требуемое минимальное множество. [c.205]

Доказательство очевидно. Выберем малую окрестность данного минимального множества рекуррентных движений. Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что будет существовать движение, входящее в некоторой точке Р в эту окрестность и остающееся в ней после этого при безграничном возрастании Ь. Если при сколь угодно малом е в совокупности -предельных точек этого движения будут другие минимальные множества, кроме данного, то высказанное выше утверждение справедливо. В противном случае движение, проходящее через Р, будет положительно полуасимптотичным к данному рекуррентному движению, тоже в согласии с высказанным утверждением. [c.209]

Всякое такое замкнутое семейство движений вблизи данного устойчивого периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, характеризуется коэффициентом вращения. Если этот коэффициент несоизмерим с 2тт, то либо семейство состоит из единственного минимального множества рекуррентных движений непрерывного типа, или же оно содержит совершенное, нигде не плотное минимальное множество рекуррентных движений разрывного типа, к которому все остальные движения семейства стремятся асилттотически при безграничном возрастании или убывании i. Если это число соизмеримо с 2тг, то в семействе существует одно или несколько замкнутых периодических движений, тогда как остальные движения семейства образуют аналитические ветви, асимптотические к этим периодическим движениям. [c.227]

Если 7 соизмеримо с 2тг, скажем 7 = 2тгр/д, то всякая точка инвариантной кривой соответствует полигональному периодическому движению, имеющему на эллипсе 2(/ вершин и р раз колеблющемуся по направлению малой оси. Если 7 не соизмеримо с 2тг, то кривая соответствует единственному минимальному множеству рекуррентного типа. [c.253]

Так как попятис совершенного множества кривых движения не определено, то фраза эта не имеет смысла. По-видимому, Биркгоф хочет сказать, что в случае, когда минимальное множество X не состоит из одной замкнутой кривой движения (которая в частности может вырождаться в точку), это множество содержит неисчислимое множество кривых движения, причем в окрестности любой точки любой из этих кривых содержатся точки, принадлежащие другим кривым. Докажем это свойство минимального множества I]. [c.397]

Рюэль [15] доказал, что в случае разделяющего Т бэровское множество функций ф имеет единственное равновесное состояние. Гудмен [9] привел Пример сдвига на минимальном множестве в пространстве последовательностей, для которого функция ф ог О имвет более одного равновесного состояния. Я думаю, что специалисты по математической физике [c.56]

МАРКОВСКИЕ РАЗБИЕНИЯ И МИНИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ДЛЯ ДИШШЕОМОРШИЗМОВ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ АКСИОМЕ А ) [c.92]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

Основной результат настоящей статьи состоит в том, что п сохраняет свойство минимальности и что все минимальные подмножества / нульмерны. Это, в частности, дает ответ на следующий вопрос Смейла [10] может ли гиперболический автоморфизм тора иметь одномерные минимальные множества Хирш [2] показал, что в этом примере пе может быть минимальных множеств коразмерности один. [c.92]

Следствие П. Если Г- М-> М — диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А, то все его минимальные множества нульмерны. [c.103]

Отображение р сохраняет различные свойства возвращаемости траекторий. Мы покажем, что точка 2еЛ(а,/) является периодической, всюду плотной, устойчивой по Пуассону илн рекуррентной (относительно тогда и только тогда, когда точка р(г ) обладает соответствующим свойством относительно ф Х- -Х. Отметим, что точка г = р 8,1) с обладает одним из этих свойств возвращаемости тогда и только тогда, когда им обладает последовательность 5 (относительно сдвига а), Именно по этой причине в название статьи входят слова символическая динамика . В этом разделе мы опишем минимальные множества потока ф< Х- -Х и покажем, что они одномерны. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...