Канторово множество

Второй период можно назвать периодом динамического хаоса. В эту эпоху удивлялись тому, что простые системы могут вести себя сложно. Исходя из анализа простейших динамических систем с несколькими степенями свободы, были поняты принципиальные ограничения на получение динамического прогноза. Символы эпохи - система Лоренца, логистическое отобра- жения, канторово множество, теория универсальности [12]. [c.29]

Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в О-мерном пространстве при малом е имеем N r) xi л Ve-o (где V — постоянная), откуда видно, что N z) можно рассматривать как число D-мерных кубиков, покрывающих в D-мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность п пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной именно такова она для канторовых множеств ). [c.167]

Внутри окрестности W существует близкое к Г канторово множество, для каждой точки (е, а) из которого отображение /е,а имеет единственную замкнутую инвариантную кривую. Кроме того, точка (е, а) является вершиной двойной воронки (закрашена черным на рис. 22). Для всех значений (е а ) из левой (правой) половины воронки отображение /е. а- имеет притягивающую (отталкивающую) замкнутую инвариантную кривую. [c.55]

Граничные точки канторова множества — это концы смежных интервалов, остальные точки — внутренние. [c.151]

ФРАКТАЛЫ—множества с крайне нерегулярной разветвлённой или изрезанной структурой. Термин Ф. предложен Б. Мандельбротом (В. Mandelbrot) [1 ], хотя подобные объекты изучались в математике с кон. 19 в. Простейшим примером Ф. является канторово множество, к-рое строится следующим образом. Из отрезка [О, 1 ] выбрасывается центр, часть длиной /з- Из полученных двух отрезков [О, 1/3] и [2/3,1] также выбрасываются центр, части, составляющие /з длины отрезков, и т. д. В пределе получается нигде не плотное множество, имеющее мощность континуума и нулевую длину (меру Лебега). Процесс по- [c.371]

В работе [122] рассмотрена простейшая геометрическая модель, основанная на канторовом множестве. Фрактальная размерность множества равна D = 1п2/1п(1/а) < 1, (а < 1/2) размерность поверхности раздела [c.73]

D. Переменный ток встречает активное сопротивление электролита и поверхностную емкость на каждом участке поверхности, соответствующем определенной стадии построения канторова множества. Для расчета входного импеданса системы электролит—электрод предлагается эквивалентная электрическая схема модельной поверхности. Так как для природных объектов фрактальность проявляется в ограниченном диапазоне масштабов, рассматривается электрическая цепь на конечной стадии построения. На низких частотах ReZ(OJ) выходит на плато, высота которого определяется количеством стадий построения эквивалентной схемы, 1т2(ш) (OJ) i, на высоких частотах Z( o) = R ImZ( o) (ш)" . В промежуточной области частот система обладает свойством ЭПФ, при этом Z( o) =Л(/а)) Ч, при А - onst, г = I - D, D = 1п2/1па [122]. Для шероховатой поверхности раздела [c.73]

Подчеркнем, что мера расположенного на прямой канторова множества равна нулю, а емкость отлична от нуля и равна дробному числу. [c.231]

Следующим шагом в этом направлении стало построение математических моделей поверхностей, обладающих фрактальными свойствами, и определение для них стандартных характеристик, которые применимы для расчета поведения поверхностей, в том числе при контактном взаимодействии. Главным образом, моделирование было основано на использовании функции Вейерштрасса-Мандельброта [30] и искусственно созданных рельефах, основанных на идее Канторова множества. В плоском случае та- [c.430]

Множество О может иметь очень сложную геометрическую структуру, в частности, как уже было сказано, оно может быть канторовым дисконтинуумом. Стандартный пример канторова множества строится следующим образом 1) выкинув из отрезка [О, 1] его среднюю треть, т. е. открытый (без крайних точек) интервал (1/3, 2/3), получим множество К из двух отрезков [О, 1/3] и [2/3, 1] 2) выкинув из каждого из двух отрезков множества К его среднюю треть, получим множество /Сг из четырех отрезков . .. п) выкинув из каждого из 2 - отрезков множества Кп- его среднюю треть, получим множество Кп из 2 отрезков, и т. д. Пересечение всех Кп и будет канторовым множеством К. Если каждое число из отрезка [О, 1] записать в троичной системе счисления как [c.128]

В качестве примера образования канторова множества в фазовом пространстве рассмотрим динамическую систему, которая создает за фиксированное время Т отображение П(и) внутренности 1/ двумерного тора на себя так, что П([/) есть внутренность вложенного в 11 тора с одной петлей, показанного на рис. 2.24. Круг 5, являющийся сечением тела и, при этом преобразуется в два кружка П(5) внутри 5. Следующая итерация П2(5) даст по два кружочка внутри кружков П(5) и т. д. Пересечение всех итераций П"(5) дает канторово множество точек в 5, так что пересечение всех итераций U (U) есть канторово множество линий — так называемый одномерный соленоид Вильямса (1970). [c.128]

Канторово множество фрактально, т.е. его хаусдорфова размерность (11гпя/С превышает обычную топологическую размерность (у него равную нулю). При этом ЛтнА определяется через хаусдорфову а-меру множества [c.129]

Доказательство. Во-первых, договоримся о некоторых обозначениях, относящихся к канторовым множествам. Пусть /— некоторый отрезок и tn > О — последовательность чисел, для [c.178]

Это стандартная конструкция канторова множества, за исключением некоторой свободы в выборе длин выбрасываемых интервалов. Меру множества К можно вычислить по формуле [c.179]

Когда же говорят о методах символической динамики, то имеют в виду изучение произвольных динамических систем при помощи символических моделей, в которых последовательности (1.1) соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а —некоторому сдвигу вдоль этих траекторий. В частности, методы символической динамики оказываются применимыми в качественной теории дифференциальных уравнений, где рассматриваются гладкие системы на гладких многообразиях, хотя сама по себе символическая динамика большей частью имеет дело со вполне несвязными нульмерными пространствами, гомеоморфными канторову множеству. [c.196]

Другая версия полулокального анализа включает изучение орбит, которые остаются внутри определенного, обычно открытого, неинвариантного множества. Конечно, может оказаться, что таких орбит вообще не существует, но при определенных условиях их существование может быть гарантировано. Конструкции инвариантного канторова множества в квадратичном семействе и подковы Смейла, обсуждаемые в 2.5, представляют собой простые, но нетривиальные примеры такого анализа. [c.30]

Предложение 1.7.3. Существует такая точка xeS, что в аддитивном представлении ш -предельное множество отображения Е представляет собой стандартное троичное канторово множество К. В частности, множество К является Е -инвариантным и содержит плотную орбиту. [c.54]

Доказательство. Стандартное канторово множество может быть описано как набор всех точек единичного интервала, которые имеют только цифры О и 2 в представлении по основанию три (см. упражнение 1.7.4). Подобно (1.7.2), отображение Е в представлении по основанию три действует просто как сдвиг цифр влево. Отсюда автоматически следует, что [c.54]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Покажите, что стандартное канторово множество состоит из всех точек единичного интервала, имеющих только цифры О и 2 в нх троичной записи. [c.56]

Найдите такую точку x S, что Е (х) S iT, п = 0, 1,.,и замыкание орбиты точки X состоит из самой орбиты и стандартного канторова множества К (другими словами, точки орбиты изолированы в ее замыкании, однако сходятся к совершенному множеству К). [c.56]

Эта метрика особенно удобна в случае большого А, скажем, когда А = = ЮЛГ, потому что в ней всякий симметричный цилиндр С " ранга 2п+ + 1 является шаром. Так как 0, является совершенным вполне несвязным компактным пространством, оно гомеоморфно канторову множеству. [c.61]

Замечание. Отображение тг Щ- К, тг(и , w,,...) = 0, /3(wo)/3(w,)... где К —стандартное канторово множество, /3(0)= О, /3(1) = 2, является гомеоморфизмом, и, очевидно, -п о = Е о тт. Таким образом, предложение 1.7.3 влечет топологическую транзитивность сдвига Это простейший пример ситуации, когда ограничение гладкой системы на инвариантное множество выглядит как некоторый сдвиг. Соответственно отображение h, описанное в доказательстве предложения 1.7.3, является самым простым примером кодирования. Мы подробно обсудим эту тему в 2.4 и 2.5. [c.63]

Рассмотрим естественный гомеоморфизм Я К, К — канторово множество [c.69]

Очевидно, для растягивающих отображений все многообразие является гиперболическим отталкивающим множеством. Инвариантные множества Л квадратичных отображений, описанных в п. 2.5 б, представляют собой примеры канторовых множеств, являющихся гиперболическими отталкивающими множествами. Мы встретимся с другими примерами гиперболических отталкивающих множеств в 16.1, 16.2 и 17.8. Сейчас же вернемся к обратимым отображениям. [c.270]

Последнее предложение показывает, что структура орбит отображения с иррациональным числом вращения принципиально отлична от структуры орбит отображения с рациональным числом вращения. В то время как в случае рационального числа вращения все орбиты либо периодические, либо асимптотически стремятся к периодическим, для отображений с иррациональным числом вращения имеются две возможности либо все орбиты плотны, либо любая орбита или плотна в канторовом множестве или [c.400]

Орбита, плотная в некото-ром канторовом множестве. [c.403]

Орбита, гомоклиническая к некоторому канторовому множеству. [c.403]

В настоящей главе мы расширим оба аспекта этого анализа таким образом, чтобы включить в него орбиты с иррациональными числами вращения. При этом будет интенсивно использоваться структурная теория гомеоморфизмов окружности, разработанная в гл. 11. В 13.2 мы сконцентрируем внимание на изучении свойства сохранения порядка, а в 13.3-13.4 — на вариационном описании. Наиболее впечатляющий результат, который мы получим, состоит в том, что в то время как для гомеоморфизмов окружности орбиты типа Данжуа, замыкания которых — минимальные нигде ни плотные множества, появляются только для отображений низкой регулярности (теорема 12.1.1), для закручивающих отображений подобные орбиты, замыкания которых (множества Обри — Мазера) проектируются в нигде не плотные канторовы множества на окружности, для произвольно гладких систем являются скорее правилом, чем исключением. Обоснованием этого замечания служат, в частности, результаты 13.5. [c.426]

Доказательство. Следствие 13.1.3 дает нам такую функцию, определенную на проекции А на 5". Продолжение этой функции по линейности на дыры в данном канторовом множестве дает функцию с той же константой Липшица. [c.429]

Пока наш список примеров минимальных множеств для потоков на поверхностях весьма ограничен. Конечно, неподвижные точки и периодические орбиты появляются у потоков на любой компактной поверхности. Кроме того, иррациональный линейный поток на торе минимален. Наконец, мы упоминали о том, что минимальные канторовы множества возникают у специального потока над примером Данжуа. Последнее возможно для гладкости С , но невозможно для потоков без неподвижных точек гладкости на торе. Оказывается, что, как мы сейчас покажем, для -потоков на любой поверхности множество всех возможных видов компактных минимальных множеств исчерпывается первыми тремя примерами. Это обобщение теоремы Данжуа, и доказательство вновь использует оценку ограниченности искажения. [c.463]

Как видно из факта существования потоков типа Данжуа на Т , предположение о принадлежности классу существенно. Мы используем его следующим образом. Минимальное множество А не содержит никаких собственных замкнутых инвариантных подмножеств, так что дА=А или дА = 0. Таким образом, если АфМ, то множество А нигде не плотно. Итак, мы должны только исключить возможность появления канторовых множеств, что будет сделано с помощью рассуждений, аналогичных применяемым в доказательстве теоремы Данжуа 12.1.1, которые используют предположение о принадлежности классу С . [c.463]

Назовем область притяжения притягивающей точки Г = д ш(д) = р хвостом и ее дополнение Л = Г Г—множеством Черри. Чтобы показать, что С =ЛП( 0 X 5 ) — канторово множество, возьмем максимальный отрезок К аК -а положим К = Р(Ко). Тогда и К П К - = 0, поскольку в противном случае имелось бы включение по максимальности и, таким образом, по лемме 15.1.2 существовала бы периодическая точка, что невозможно, так как r( ) Q. Но тогда 1(К ) = 0 н внутренность множества К пуста. Далее, объединение попарно непересекающихся интервалов / =/ ""((о, 6)) плотно в 0 х 5 , и их концы принадлежат различным компонентам множества И = И (з) з , так что каждая из этих компонент плотна в Л и а х)=А для хе . Это показывает, что множество К совершенно, следовательно, является канторовым. [c.468]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...