Решения периодические 2-го рода

Важность этих решений для теории была отмечена еш,е в начале теку-ш,его столетия Пуанкаре, который говорил, что периодические решения представляют собой единственную брешь, через которую можно надеяться проникнуть в неизведанную и загадочную область множества решений задачи трех тел, составляющих ее общий интеграл. С другой стороны, решения этого рода издавна использовались в небесной механике или для приближенного представления движений небесных тел или в качестве промежуточных их движений, рассматриваемых как первое приближение, уточняемое затем при помощи метода вариации произвольных постоянных или при помощи какого-либо другого процесса последовательных приближений. [c.356]

Особенно важным случаем задачи, в которой существуют периодические решения второго рода, является тот, когда предложенные дифференциальные уравнения имеют каноническую форму с функцией Гамильтона, обладающей некоторыми характерными свойствами. [c.174]

Поэтому при высказанном условии уравнения (3.72) заведомо будут иметь периодическое решение второго рода с периодом Т. [c.178]

АГ-периодические решения системы (10.1.01) Пуанкаре называет решениями второго рода. В Новых методах [2] он дает исчерпывающий анализ проблемы существования и конкретного построения периодических решений второго рода. [c.794]

Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как п для периодических решений второго рода, характерным является то, что они при д, = О (когда массы двух планет гП] — а]Ц, гпч — гМ- обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических решениях в проблеме трех тел им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида. [c.794]

ЛР1 говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний, Затягивание и т.д. получили теперь твердую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например, резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д. были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории [189]. [c.344]

Решение (76) 99 в форме бесконечного ряда, относящееся к случаю произвольной периодической силы, не всегда удобно, так как ряд Фурье для возмущающей силы Q[t) может сходиться медленно. Например, если функция Q t) имеет разрывы первого рода, то коэффициенты ее ряда Фурье а , Ьп убывают не быстрее чем при наличии разрывов первого рода у производной <5(/) сходимость ряда будет порядка п . Хотя сходи- [c.538]

Выражения, устанавливающие связь между а,( ) и а,( >( ) и Я, при которых имеют место периодические решения, называются собственными значениями функций Матье первого рода. Наибольшую ценность в полученных приближенных решениях представляют собственные значения которые разбивают плоскость пара- [c.222]

В настоящей главе будет рассмотрено лишь несколько наиболее важных задач, относящихся к процессам, в которых тело стремится к тепловому равновесию. Цель такого рассмотрения заключается в том, чтобы показать общие физические особенности такого рода процессов, познакомиться с методом решения задачи нестационарной теплопроводности и получить математические соотношения для практических расчетов. Для более широкого ознакомления с решениями большого круга задач нестационарной теплопроводности как в случае стремления температуры тела к состоянию равновесия, так и ее периодического изменения следует обратиться к монографии А. В. Лыкова [Л. 111] и другой специальной литературе [Л. 67, 132, 204]. [c.75]

Параметр — величина, сохраняющая постоянное значение лишь в условиях данной задачи, в других же случаях могущая иметь различные значения. В число таких параметров непременно входят характерные размеры тела, его коэффициент температуропроводности и значения температур в начальный момент времени и на границах тела. При задании граничных условий третьего рода параметрами искомой функции являются также коэффициент теплоотдачи и коэффициент теплопроводности. Наконец, если процесс имеет периодический характер, то параметром решения должно служить еще некоторое характерное время, например длительность одного периода. [c.45]

Исследование повторяющихся ошибок оператора и проблем, связанных с отказами по вине человека во время проведения испытаний. Такого рода исследования аналогичны описанным выше периодическим осмотрам, но они направлены на решение специфических проблем. [c.122]

Студентам, привыкшим только к численному анализу, п. 6 вначале кажется трудным. Но после приобретения некоторого опыта эта часть решения растет как качественно, так и количественно, особенно если студента по-ош,рять за хорошо написанное обсуждение. Очевидная слабость описательных способностей студента технического вуза объясняется главным образом недостатком практики. От студента редко требуют письменного обсуждения задачи, полученных решений и графиков. Письменное обсуждение, однако, эмоционально окрашивает все развитие анализа, а также служит стимулом для самостоятельного подхода к задаче, исследования других методов решения и обращения к периодической литературе за подходящим материалом. В результате появится масса работы, но вознаграждение за такого рода опыт решения задач окажется громадным, особенно при работе над большими нерешенными проблемами, где есть много возможностей для выбора и инициативы. Подобный письменный анализ способствует глубокому пониманию предмета, которого едва ли можно достигнуть с помощью проработки теории и численных примеров лишь для сдачи экзамена. Результаты же подлинного анализа часто переходят в отчеты, диссертации и, надо надеяться, в инженерную практику. [c.10]

Единого определения и единых обозначений для М. ф. не существует. Обычно под М. ф. 1-го рода) понимают периодические (с периодом 2л) решения ур-ния (1), удовлетворяющие граничным условиям [c.75]

В работах [25, 235] исходная задача сведена путем обращения части оператора, соответствующей задаче дифракции на отдельном круговом цилиндре, к бесконечной системе линейных уравнений второго рода. Показано, что при произвольных значениях параметров задачи решение этой системы можно получить методом усечений, обладающим в данном случае экспоненциальной сходимостью. При малом отношении радиуса цилиндров к периоду решение найдено методом последовательных приближений, что дало возможность уточнить известные ранее приближенные формулы. Проведен большой систематический анализ свойств рассеянных полей в резонансном диапазоне длин волн. В недавно появившейся работе [147] приводятся наиболее полные данные результатов экспериментального исследования периодических структур из круглых металлических брусьев. Ряд сведений о свойствах этих решеток можно найти также в работах [6, 18, 22, 74, 236, 237]. [c.64]

К настоящему времени существует довольно большой набор аналитических методов решения собственно смешанных задач для тел конечных размеров канонической формы. Подробный обзор таких методов можно найти в [13, 312]. Назовем только некоторые из них метод сечения [111], метод парных рядов [17, 19, 40, 58, 59, 187-189, 291-294, 310, 311, 315, 337], метод интегральных уравнений первого рода с периодическими ядрами [13, 54, 201], метод [c.10]

Предлагаемая схема опирается на работы [80, 81]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны соответствующим задачам для сектора кольца с одним или несколькими штампами с известными условиями на торцах и могут быть сведены к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [305, 319] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации решения задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого задано. Исследована зависимость величин контактных напряжении, сил и моментов для каждого штампа в зависимости от параметров задачи. Периодические контактные задачи для кольца рассматривались в работах [66, 98, 187, 280] и др. [c.131]

В последних двух параграфах I гл. ( 7, 8) изучаются системы с конвергенцией. Под этим понимаются системы с одним устойчивым в целом периодическим решением. При изучении систем с конвергенцией периодическое решение обычно бывает неизвестно, поэтому естественно рассмотреть вопрос о сближении всех вообще решений. В связи с этим в 7 вводятся функции, зависящие от двух точек пространства и обращающиеся в нуль при совпадении этих точек. В терминах существования такого рода функций даются условия. необходимые и достаточные для наличия конвергенции. В дальнейшем эти условия используются для установления наличия конвергенции у некоторых конкретных многомерных и двумерных систем. [c.6]

Второе уравнение представляет собой дифференциальное уравнение Бесселя-, его решением являются цилиндрические функции нулевого порядка первого рода —/о(в ) и второго рода —7/о (ег), представляемые бесконечными рядами. Обе функции — периодические, с убывающей амплитудой, причем /о (ег) — функция четная, а Но (ег) — функция нечетная. Отбрасывая нечетную функцию, как непригодную по своим свойствам для рассматриваемой задачи, находим частное решение уравнения (57,1) [c.208]

Первое уравнение Бесселя —с нулевым параметром его решением является периодическая функция Бесселя первого рода, нулевого порядка [c.265]

Из формулы (3.15) вытекает, в частности, трансверсальность пересечения сепаратрис А+, А и, как следствие, наличие стохастического слоя вблизи А+ и А . Б. В. Чириков [186] еще раньше установил наличие этого слоя с помощью численных расчетов и его увеличение с возрастанием е. При дальнейшем увеличении е этот слой сливается с другими стохастическими слоями такого же происхождения. Однако, основной результат В. Ф. Лазуткина заключается в получении асимптотической формулы (3.15), пока единственной в задачах подобного рода. Она получена с помощью продолжения отображения (3.13) в комплексную плоскость изменения переменных х, у. Было бы полезным перенести технику В. Ф. Лазуткина на аналитические гамильтоновы системы, у которых при нулевом значении возмущающего параметра отсутствуют гиперболические периодические решения (системы такого вида обсуждались в гл. IV). [c.276]

Преодоление этих затруднений мешает построению единой аналитической теории и вынуждает ограничиваться пока или построением кусковой теории или нахождением известного рода периодических решений, описывающих путешествие с облетом Луны и возвращением на Землю. Однако такие периодические орбиты оказываются энергетически и по времени полета практически непригодными и непосредственно использовать их затруднительно. [c.362]

Решение поставленной задачи приводит, как мы сейчас увидим, к примечательному результату при малых колебаниях тела в покоящейся жидкости вокруг него под действием трения в пограничном слое возникают своеобразные вторичные течения, приводящие всю жидкость в стационарное движение, хотя движение самого тела в жидкости имеет чисто периодический характер. Между прочим, эффектом подобного рода объясняется образование пылевых фигур Кундта. [c.396]

При решении системы уравнений (15.33), определяюш их1 функции U2 (х, у, t), 2 (xj у, t) и 2 (xj у, t), в обш ем случае получается периодическая составляюш ая с двойной частотой и, кроме того, не зависяш ая от времени стационарная составляюш ая, которая изменяет основное течение и может быть истолкована как вторичное течение такого же рода, как и в п. 1 настояш его параграфа. [c.404]

Свой путь в решении методических задач мы нашли в направлении использования методов периодического изменения температуры (так называемого регулярного теплового режима третьего рода). Основное преимущество применения таких процессов мы видим в богатстве информации, получаемой в эксперименте, в разнообразии источников информации (поля средних температур, поля амплитуд колебаний температуры и поля фаз этих колебаний, сведения о частотной вариации двух последних полей). Большой объем информации — ключ к созданию методов комплексного характера — методов, обеспечивающих получение в одном эксперименте совокупности основных тепловых характеристик теплопроводности, температуропроводности, теплоемкости. [c.52]

Они принадлежат к тому же типу, что прежние, но имеют точку обобщенного равновесия в начале координат при всех малых значениях параметра с. Решение в формальных рядах такой системы дифференциальных уравнений, разумеется, содержит параметр с. Именно такого рода формальные ряды оказываются часто полезными в приложениях при этом равенство нулю параметров, аналогичных с, может соответствовать специальному интегрируемому случаю динамической проблемы, когда периодическое движение, из которого мы исходим, может быть выражено в явном виде. [c.151]

Козлов, Валерий Васильевич (род. 1.01.1950) — русский математик и механик, академик РАН (с 2000 г). В цикле работ, объединенных в монографии Методы качественного анализа в динамике твердого тела (МГУ, 1980), доказал несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера-Пуассона, а также указал динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений — расщепление сепаратрис, рождение большого числа невырожденных периодических решений. Эти исследования закрыли проблему Пуанкаре, поставленную им в Новых методах небесной механики (т. 1), а также открыли новую эпоху в динамике твердого тела, в которой на первый план вышли методы качественного исследования, а не поиск частных решений заданной алгебраической структуры. [c.26]

Рассмотрим гауссовский пучок как моду лазерного резонатора, который образован двумя сферическими зеркалами (с радиусами кривизны Лд и Лв). находящимися на расстоянии d друг от друга. Предположим, что резонатор обладает бесконечной апертурой, поэтому дифракционными эффектами на зеркалах можно пренебречь. Мода является самосогласованной конфигурацией поля, и если мы хотим представить ее в виде иучка, распространяющегося в прямом и обратном направлении виут] резонатора, то это требует, чтобы параметры пучка оставались неизменными после замкнутого цикла проходов. Удобный и наглядный метод для решения такого рода задач — это <-разверпуть>> резонатор, заменив его (с точки зрения вычислений) последовательностью линз (см. гл. 5, 5). Фокусные длины линз определяются радиусами кривизны заменяемых нми зеркал, а их расположение — расстоянием между зеркалами. После этого можно свести проблему к изучению распрострапення пучка через периодическую последовательность линз. [c.172]

Периодические и полупериодические решения уравнения Матье, имеющие важное значение для различных приложений, получили название функций Матье первого рода. [c.56]

Как видно из вышеизложенного, в случае нестационарной теплопередачи возможно получить аналитические решения лишь для простейших случаев, неспособных удовлетворить запросы практики. Гораздо больше возможностей для расчета представляют случаи правильно повторяющихся (периодических) тепловых воздействий. На практике с такими воздействиями нередко приходится иметь дело таково меняющееся в течение суток солнечное облучение зданий, меняющаяся теплоподача местных печей или центрального отопления при перерывах в топке, неравномерная в течение суток эксплуатация помещений и т. д. Предполагается, что изменения повторяются периодически (например, ежесуточно), многократно, и тепловые явления, таким образом, приобрели установившийся характер. Здесь существует некоторая аналогия со стационарным тепловым состоянием, и потому рассматриваемые явления иногда называют квазистационарными (как бы стационарными). Сопротивление, оказываемое материалом или ограждением переходу тепла такого рода, называется теплоустойчивостью материала или ограждения. [c.142]

Весовые функции gj(T, t) получаются из решения системы уравнений [U]-Такого рода преобразования используют при определении параметров импульсиых сигналов, при выделении периодических составляющих и тренда, а также при определении коэффициентов разложения отрезка реализации в ряд по выбранной системе функций. [c.92]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Для проведения работ по внедрению решений ALS необходимо подготовить план управления работами по проекту, нацеленный на внедрение инноваций в заданное время и при установленных затратах. В нем должны отражаться организация проекта, индивидуальные функции и ответственность з астников работ, а также процессы, связанные с уточнением проектных требований и планов, с контролем за ходом работ, порядком внесения изменений в планы и графики работ по проекту. Опыт внедрения ALS-технологий показывает, что план должен быть поэтапным, изменения должны вноситься порциями. Следует избегать шапкозакидательства . В плане необходимо выделить приоритетные задачи, которые могут дать быструю и очевидную отдачу в бизнесе при минимальных затратах, например, проведение относительно простой модификации процессов, внедрение своего рода показательных систем. План не должен быть статическим — его следует своевременно корректировать, инициативно управлять им, периодически обновлять по мере того, как выполняются его пункты и при возникновении проблем. План может корректироваться по мере накопления опыта и с з етом обратной связи по результатам внедрения. Следует быть прагматичными и соразмерять темп работ с темпом разработки стандартов, технологии и прочих обстоятельств, связанных с конкретным бизнесом, цепочкой логистики, снабжения и обеспечения. [c.54]

Каждому целому п соответствует 2п + I значений р, при которых уравнение (592) имеет периодическое решение. Обозначим это решение — функцию Ляме первого рода степени п и типа р — через Х р ( ) (связь с Pi дана формулами (580). Другое линейнонезависимое с этим решение уравнения (592) — функцию Ляме второго рода степени п — можно получить известной квадратурой [c.179]

Всякого рода соображения о взаимностных связях между полями, создаваемыми различными источниками, широко используются в электродинамике. Важную роль они играют при анализе свойств матриц рассеяния волн на периодических структурах при этом соотношения взаимности не определяют связь между значениями поля в некоторых точках пространства, а воплощаются в виде определенных связей между коэффициентами матриц преобразования различных волн друг в друга. Соотношения взаимности уже сами по себе содержат как следствия ряд основополагающих физических результатов. Укажем, например, на важный в теоретическом и прикладном плане закон инвариантности коэффициента отражения на нулевой гармонике по отношению к знаку угла падения волны на решетку. Во многих задачах соотношения взаимности совместно с законом сохранения энергии дают возможность еще до решения соответствующих граничных задач рассмотреть ряд конкретных ситуаций и априори проанализировать зависимость коэффициентов отражения и прохождения от основных геометрических параметров. [c.26]

Рассмотрена также обобшенно-периодическая контактная задача Qj для кольца, когда на ее внешней поверхности периодически расположено несколько штампов и при этом один из штампов перемешается в направлении радиуса к центру кольца, а другие неподвижны. Для решения такой задачи используется подход М. Л. Бурышкина. Согласно этому подходу задача сводится к ряду периодических задач типа Qe, которые решаются методом сведения парного ряда-уравнения к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Подробно исследован случай четырех штампов. Произведен под каждым штампом расчет контактных напряжений, вектора и момента контактных напряжений. [c.16]

Еругин [7] указал способы отыскания такого рода периодических решений и в работе [9] доказал, что линейная система второго порядка, коэффициенты которой не выро- [c.24]

В работе А. И. Златина [12], посвященной периодической задаче о дискообразных трещинах в цилиндре, рассмотрены сумматорные уравнения по однородным решениям, оставляющим цилиндрическую поверхность свободной от напряжений. Особенность проблемы заключается в том, что к парным уравнениям, отвечающим за смешанные граничные условия на торце, добавляется еще дополнительное сумматорное уравнение, выражающее условие отсутствия на торце цилиндра касательных напряжений кроме того, сами однородные решения не являются ортогональными. С помощью схемы доопределения и при использовании соотношения обобщенной ортогональности однородных решений сумматорные уравнения удалось свести к одному регулярному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Формальные выкладки, характерные для метода парных уравнений, обосновываются, опираясь на соответствующие теоремы разложения по однородным решениям для цилиндра (см. работу автора [13]). [c.117]

В случае периодической характеристики / (q) периодическое возбуждение может вызвать убегающее движение (в случае маятника — вращение). Здесь важное значение опять-таки приобретает проблема построения областей притяжения режимов того или иного рода в фазовом пространстве системы. Поскольку фазовое пространство в данном случае трехмерно, то решение задачи резко усложняется, и в этом направлении сделаны лишь первые шаги отметим, в частности, работы Ю. С. Саясова и В. К. Мельникова (1958—1963). [c.96]

Пуассона при к = 1.5, с = 1 и следующих параметрах тела I = diag(1.5 1.2), г = (0.5, О, 0). Видно удвоение периода орбиты, родившейся из перманентных вращений вблизи точек (тг, 0) и (2тг, 0) на рис. 5, а также расщепление сепаратрис к периодическим решениям, родившихся из перманентных вращений в точках ( , 0) 3 [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...