Задача Уравнения в координатах ортогональных криволинейных

Чтобы избавиться от указанных недостатков и облегчить применение ЭЦВМ, выведем уравнения для определения составляющих скорости трехмерного пространственного потока в системе ортогональных криволинейных координат. Для решения задачи считаются заданными угловая скорость вращения насоса o форма проточной части гидротрансформатора в меридиональном сечении геометрия лопастных систем рабочих колес, определяемая радиусами Д, углами Р, 7 и ф (рис. 40) распределение меридиональной составляющей абсолютной скорости за одним из колес режим работы, характеризуемый передаточным отношением напор, создаваемый насосом, и расход в проточной части, определяемые предварительно расчетом по средней линии гидравлические потери в проточной части число лопастей в рабочем колесе. [c.93]

Уравнения газовой динамики в координатах Мизеса. При решении задач газовой динамики, особенно внутренних и струйных, удобными оказываются координаты Мизеса декартова координата х и функция тока if. Введем криволинейную ортогональную систему координат, связанную с кривой y=fa(x), расположенной в плоскости х, у (рис. 2.1). Координаты точки в этой системе определяются длиной дуги s и расстоянием по нормали к этой кривой г. Из геометрических соображений (рис. 2.1) следует, что декартовы координаты х, у связаны с криволинейными координатами 5, г следующими отношениями [c.37]

В большинстве задач гидромеханики для формулировки граничных условий наиболее удобны декартовы координаты. С другой стороны, уравнения в частных производных, описывающие движение, обычно более удобно решать в некоторой другой системе ортогональных криволинейных координат, характерной для данной геометрической конфигурации области, занимаемой жидкостью. Поэтому представляет интерес ряд общих соотношений, которые дают возможность легко переходить от одной системы координат к другой. [c.559]

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

В этой главе кратко суммированы основные понятия, необходимые для изучения книги. Начав с введения о содержании, мы затем привели уравнения Максвелла (1.1) — (1.4), описывающие поведение электрических и магнитных полей. Введена обобщенная криволинейная ортогональная система координат как удобный способ записи уравнений в любых координатах, подходящих для решения поставленной задачи. Уравнение (1.14) [c.21]

При выводе основных уравнений теории деформаций могут быть применены прямолинейные прямоугольные координаты. Однако при решении задач часто более удобно пользоваться криволинейными ортогональными координатами, которые уже встречались ранее. Поэтому следует привести дифференциальные соотношения, связывающие компоненты деформации с компонентами смещения в этих криволинейных ортогональных координатах. Они даются здесь в обычной форме записи, так как в такой форме они будут использованы в дальнейшем. [c.29]

В последние годы широкое распространение получили методы генерирования криволинейных систем координат с помощью решения систем уравнений в частных производных [16]. Если рассмотреть задачу об идеальном обтекании тела, то в двумерном случае задача о нахождении линий тока и функций тока в задаче о внешнем обтекании сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала ф и функции тока 1]) с соответствующими граничными условиями 5 ф/(Зл + (3 ф/5г/ = 0, + = В этом случае функции ф(л , у) и г )(л , у) образуют ортогональную криволинейную систему координат, связанную с поверхностью обтекаемого тела. Функция тока принимает постоянное значение вдоль линии тока. [c.53]

Для численного моделирования определяющая система уравнений записывается в ортогональной криволинейной системе координат т] [4-7]. При решении задачи полностью неявным методом система дифференциальных уравнений замыкалась следующими граничными условиями. [c.135]

Уравнения плановой задачи с учетом касательных турбулентных напряжений в криволинейной системе координат динамической оси руслового потока. Для расчета плановой задачи безотрывных течений в извилистых речных руслах целесообразно использовать систему криволинейных ортогональных координат 8п плана течений, в которой координатные линии 5—8 будут параллельны динамической в общем случае криволинейной оси потока (рис. 19,3, а), а координатные линии п—п будут прямыми, перпендикулярными динамической оси потока. [c.304]

Задача 01) имеет нетривиальные решения лишь для определенных значений Р = Рд (собственных значений), при этом соответствующие собственные функции Хл ортогональны на 5q. Если контур s совпадает с одной из координатных линий какой-либо криволинейной изотермической системы координат, то в (41) переменные хну также разделяются и задача о свободных колебаниях сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.291]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Криволинейные координаты. Во многих случаях является целесообразным заменить декартовы координаты криволинейными например, при наличии осевой и шаровой симметрии цилиндрические и сферические координаты являются наиболее подходящими при решении задач. Чтобы провести наиболее простым образом преобразование основных уравнений, выразим сначала составляющие тензора деформации непосредственно в криволинейных координатах (ограничиваясь случаем ортогональности их) далее, при помощи минимальных принципов сформулируем условия равновесия. [c.56]

Уравнения плоской задачи, в криволинейных ортогональных координатах а , аз могут быть сразу написаны, если воспользоваться формулами 21, гл. V, положив, что в них Ну Н , являются [c.311]

Течение в криволинейных каналах рассмотрено в рамках обратной задачи в работах [21, 27]. Расчет течения проводится с использованием уравнений, записанных в криволинейной ортогональной системе координат [уравнения (1.1 7). .. (1.121)] по разностной схеме, аналогичной схеме, изложенной в разд. 3.1.2. Рассмотрим первоначально результаты расчета радиальных сопел, в которых происходит поворот потока на 90°. [c.158]

Для упрощения преобразований на некоторых этапах решения задач формообразования поверхностей деталей и профилирования режущего инструмента удобно от ортогональной системы декартовых координат перейти к криволинейным координатам в пространстве, а после решения задачи в криволинейных координатах совершить обратный переход к прямоугольным декартовым координатам. Возможность упрощения при этом формы записи уравнений очевидна из следующего простого примера. Если в декартовой [c.186]

Для настоящей модели выберем криволинейные ортогональные координаты [26], адаптированные к форме стенки канала, которые известны до решения основной газодинамической задачи и могут быть разрешены для любого сечения. Упрощенную систему уравнений будем выводить, взяв за основу полные уравнения Навье - Стокса, записанные в этой адаптированной системе координат. [c.63]

Как уже указывалось, векторная форма записи уравнений равновесия или движения стержня инвариантна по отношению к координатным системам, однако при численных методах решения уравнений всегда переходят к скалярной форме записи уравнений, которая зависит от выбранной конкретной системы координат. От удачного выбора координатной системы существенно зависит зфчфективность решения задачи. Основное отличие ортогональных прямолинейных координатных осей с базисом i, от ортогональных криволинейных с базисом е, (рис. П.4) заключается в том, что базисные векторы i не зависят [c.291]

В настоящем параграфе и в 3.7 изложение проводится применительно к декартовой системе координат и ограничивается случаем статического равновесия и отсутствием температурного эффекта. Построение вариационного уравнения Лагранжа применительно к четырехмерной задаче (при наличии термоэффекта) и в ортогональной криволинейной системе координат дано в оригинальной работе А. Е. Крушевского [48], к которой и отсылаем читателя, особенно интересующегося расчетом сложных корпусных деталей машин. [c.71]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

Рассмотрим в криволинейных ортогональных координатах Хи Х2, Хз ограниченное упругое однородное и изотропное тело и введем характерную длину I. Задача состоит в определении вектор-функция u(xi, Х2, Хз, t), удовлепворяющей уравнению [c.8]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

В начале тридцатых годов Н. М. Вернадским (1931, 1933) впервые был предложен теоретический метод решения плановой задачи речной гидравлики. Основным допущением Н. М. Вернадского было предположение о компланарности векторов скорости для точек, лежащих на одной вертикали. Это дало ему возможность построить для установившегося движения план течения в криволинейной ортогональной системе координат, включающей поверхности тока. Два динамических уравнения при этом определяют продольный и поперечный уклоны свободной поверхности для каждой ячейки, образуемой такой криволинейной сеткой. Сам способ расчета оказывается достаточно громоздким — отыскание картины течения приходится производить методом последовательных приближений. [c.750]

После работы [150] появилась работа [151], в которой тот н- е процесс перестройки криволинейных координат рассматривался для произвольных уравнений эллиптического типа второго порядка от двух независимых переменных. Именно, последуюш,ие приближения определяются путем перехода в уравнении к криволинейным координатам, связанным с линиями уровня предыдуш его приближения и ортогональными к ним кривыми с последую-ш,им отбрасыванием дифференцирований вдоль линий уровня. Подчеркнем, что процедура построения приближений, рассмотренная в [150], применима как к дифференцируемым, так и недифференцируемым функционалам. Случай недифференцируемого функционала, вообш е говоря, не охватывается схемой работы [151]. Наконец, отметим, что вариационная постановка задачи дает возмож- [c.140]

В динамике пластин метод степенных рядов применял И. Т. Селезов [2.50] (1960). Он исходил из краевой задачи динамической теории упругости в перемешениях и рассматривал систему рекуррентных соотношений типа (20.9) и (20.10) и уравнения типа (20.11), вытекающие из граничных условий, как общую бесконечную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче (это справедливо при условии равномерной сходимости рядов). В дальнейшем требуется введение каких-либо ограничений, что можно сделать различным путем. Поэтому методом степенных рядов можно получить бесконечное множество аппроксимаций. Цель состояла в построении гиперболических аппроксимаций. Было показано, что при усечении системы до какого-либо порядка получается замкнутая система уравнений, которая может быть приведена к нескольким или одному дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Если при этом сохранить все пространственно-временные дифференциальные операторы до определенного порядка включительно [2.52] (1961), то полученная система уравнений будет гиперболической. Это условие является достаточным для построения гиперболических аппроксимаций. Приведем краткое изложение этих результатов. Рассмотрим упругое поле, характеризуемое пространственными ортогональными координатами Хи Х2, Хз и временной координатой t. Причем ось Охз является прямой, а криволинейные ортогональные координаты Х и Х2 отсчитываются в плоскости Хз = 0. Выделим слой —оо<х1<°о, —оэ<х2<оэ, —к<Хз<к и положим, что изменение поля в зависимости от координат и Х2 характеризуется некоторым параметром I, который значительно больше толщины слоя 2к [c.137]

Уравнения стационарной плановой задачи в естественной системе координат. Метод решения плаиовой задачи, основанной на построении сетки движения, т. е. естественной системы координат, образованных линиями тока плана течения и ортогональными к ним криволинейными координатными линиями п—п (рис. 19.2), был разработан Н. М. Вернадским [235]. Линии тока разделяют план течения на элементарные струи. [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...