Асимптотическое представление поля

В волновой зоне kp I, kr z) применением метода стационарной фазы получаем асимптотическое представление поля в виде сферической волны [c.176]

Используя уравнения для Пп и граничные условия на 5е и асимптотическое представление поля и на больших расстояниях, легко показать, что мнимая часть собственного значения должна быть положительна, т. е. вновь должно выполняться (4.6). Действительно, согласно условиям излучения, вдали от тела п должно иметь вид, аналогичный (2.20), но с заменой кп на к [c.37]

Чтобы улучшить точность асимптотического представления поля, функцию можно разложить в асимптотический ряд, в котором главный член совпадает с правой частью выражения (2.2.11). Члены высшего порядка можно найти, используя (2.2.9). При этом мы получим следующее разложение [c.64]

Излучение, рассеявшееся один раз на каком-либо препятствии, может еше раз рассеяться на каком-либо другом препятствии. Если два рассеивателя находятся друг от друга на расстоянии, сравнимом с длиной волны излучения, то их нужно рассматривать как один составной рассеиватель. Однако если расстояние между рассеивателями велико по сравнению как с длиной волны, так и с их собственными размерами, то они находятся в волновой зоне друг друга и поток на второй рассеиватель можно вычислить с помощью амплитуды рассеяния на первом, используя асимптотическое представление полей в виде (1.49). [c.31]

Как следует из асимптотических представлений (4.1) — (4.6), коэффициенты интенсивности напряжений / i, Кп, Кш полностью описывают поле упругих смещений и напряжений у края трещины. [c.43]

Так как момент Т был выбран произвольно, это означает, что величина тождественно равна нулю. Следовательно, и = О и поля скоростей V и V совпадают. При соответствующих предположениях относительно асимптотического поведения течения при г—> схэ установленный выще результат может быть перенесен на случай обтекания бесконечным потоком жидкости конечного числа ограниченных тел. В частности, если для V и V справедливы асимптотические представления [c.232]

Обычно для описания распределения амплитуды поля собственных волн по зеркалу используют не угловые волновые функции, а их асимптотическое представление— полиномы Эрмита — Гаусса или полиномы Лагер-ра — Гаусса. В приближении с=2яЫ>2я распределение амплитуды по зеркалу может быть представлено в виде [c.57]

Обратимся поэтому к более строгому представлению поля в виде асимптотического ряда этому вопросу мы и посвятим следующий раздел. [c.62]

Для того чтобы дать полное описание векторного поля, необходимо найти асимптотическое разложение магнитного поля Н. Заметим, что, используя выражение (2.4.1) и векторное соотношение (А.8), можно получить асимптотическое представление векторного произведения [c.80]

Альтернативой численным методам стала очень популярная техника, основанная на асимптотическом вычислении интегралов [1]. Есть несколько причин такого успеха. Это и простота выражений, и высокая степень точности, достигаемая за счет удержания необходимого числа членов асимптотического ряда, и возможность разделения области поля на участки, в которых предсказывается конкретное поведение поля. Но наиболее важна возможность использования более точного представления поля на опорной апертуре. [c.339]

Вблизи каустик или фокуса методы ВКБ, СФ и НС приводят к сингулярным полям. Средством устранения этих сингулярностей являются сравнительные интегралы, из которых наиболее известны функции Эйри, они же — интегралы радуги, получившие свое название при объяснении Эйри образования радуги. Умножая эти интегралы сравнения на асимптотический ряд, можно получить полное представление поля, которое справедливо как вблизи, так и вдали от критических участков. Такой подход, имеющий много общего с методом Лангера (разд. 3.3), называют теорией однородного асимптотического пред-ставления [2—6]. [c.342]

Рассмотрите две диэлектрические среды (скажем, 1 и 2), разделенные цилиндрической поверхностью радиусом а. Пусть коллимированный гауссов пучок освещает поверхность раздела под углом падения (относительно оси пучка), который больше критического. Вычислите в дальней зоне поле, прошедшее во вторую среду в случае р- и з-волн как функцию угла падения. Кроме того, вычислите, какую часть энергии потерял падающий пучок при отражении за счет частичного пропускания. Подсказка. Вычисляя поле на поверхности раздела, используйте коэффициент пропускания Френеля для лучей, направленных по оси пучка. Затем найдите асимптотическое представление дифракционного интеграла Фраунгофера, используя метод наибыстрейшего спуска, чтобы правильно учесть гауссово распределение освещенности. (См книгу [35].) [c.400]

Снеддоном были получены следующие асимптотические представления для компонент напряжений, справедливые только в малой окрестности вершины трещины ( поле в окрестности трещины ) [c.264]

В области значений Х<Т тРо поле температуры зависит от условий на входе и определяется решением уравнения (17-97) при условиях (17-99), (17-100) и (17-101). В этом случае также можно получить-асимптотическое представление для поля температуры, справедливое при больших значениях Ро. Оно имеет вид [c.394]

Нетрудно убедиться, что (14.12) равносильно уравнению (12.80), полученному при асимптотической оценке интегрального представления поля и определяющему i//, в формуле (12.85) для боковой волны. [c.306]

Качественная картина распространения импульса. В 37 было получено выражение для поля нормальной волны точечного излучателя звука частоты (О в произвольной точке жидкого слоя (см. формулу (37.8)). Воспользуемся асимптотическим представлением функции Ханкеля и обозначим как всегда через волновое число каждой нормальной волны, где [c.241]

Выражение (45.14) является асимптотическим (при к- - оо) представлением поля на каустике и вблизи нее до расстояний, удовлетворяюш их условию [c.272]

При изучении дальнего поля излучателя правомерна замена функций Ханкеля в выражениях (2.55) их асимптотическими представлениями для больших значений аргумента. Учитывая такие пред- [c.74]

Рассмотрим дальнее поле излучения йг > 1, йг os а > 1 (заметим, что в точках а = а = О контура Fj последнее неравенство не выполняется, однако всегда можно так деформировать контур, чтобы он не проходил через эти точки). Воспользовавшись асимптотическим представлением функции Ханкеля, запишем [c.156]

Фиг. 2. Поля скоростей в стационарном случае (у = 0) при к = 2 а - в вертикальном сечении (плоскость Т , ф = тг/2) и геометрия математической модели б - в горизонтальном сечении (плоскость Т ф, = 1 в силу симметрии показана область тс/2 < ф < п/2). Сплошными линиями обозначены границы секторов, I - перегретый нагреватель. При Л < Ло асимптотическое представление несправедливо

Для расчета полей скорости и температуры используем нестационарные уравнения Навье - Стокса в приближении Буссинеска для несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических координатах. Вместе с граничными условиями (2.2) получаем краевую задачу. Будем искать асимптотическое представление решения этой нестационарной [c.43]

В реальных условиях, когда источники имеют конечные размеры, автомодельные решепия могут претендовать па асимптотическое представление полей скорости и температуры на расстояниях, больших по сравнению с размерами источников. При этом ключевую роль играют интегралы сохранения импульса и тепла. Если тепловые процессы не сказываются на движении жидкости, как это предполагается при решении тепловой задачи для затопленной струи в гл. 4, то определяющими асимптотическое поведение величинами являются потоки как импульса, так и тепла. В случае естественной конвекции архимедовы силы создают распре-делепный источник импульса. В этих условиях импульс, вытекающий пз особой точки, не сохраняется и единствеаиой величиной, определяющей поведение решения вдали от источника, остается поток тепла. [c.160]

Глава 2 посвящена главным образом асимптотическим методам решения волнового уравнения, причем особое внимание уделено асимптотическому представлению поля в виде ряда Лунебер-га — Клейна (для которого геометрическая оптика является приближением низшего порядка). В частности, с помощью уравнения эйконала исследуются многие оптические системы с различными распределениями показателя преломления. [c.8]

Апланатическая система 299 Аплапатические точки сферы 147 Аподизация 331 Араго пятно 525 Асимметрии фактор 462, 463 Асимптотическое представление поля 359 [c.651]

Данное представление удобно тем, что по форме совпадает с представлением отраженного поля в случае дифракции на отражающей строго периодической структуре. Нахождение поля на поверхности сводится к определению дифракционных коэффициентов Д . Далее будет показано, что в пределе выражения для дифракционных коэффициентов в квазинержоднческом случае совпадают с коэффициентами, вычисленными для строго периодической решетки с параметрами Этот результат является основным для асимптотической оценки поля при дифракщш на квазипериодической структуре. [c.213]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Из выражений (6-80) и (6-82) следует, что если при Х— оо логарифмическая производная от ф по Х имеет конечный предел или стремится к —оо, то температурное поле в потоке жидкости допускает асимптотическое представление в виде произведения функции от У и Z и функции от X. В этом случае происходит стабилизация температурного поля в потоке жидкости, совершенно аналогичная стабилизации (регуляризации) температурного поля твердого тела в процессе нестационарной теплопроводности. При этом прадиент температуры в потоке жидкости на стенке трубы и разность между температурой стенки и средней массовой температурой жидкости становятся пропорциональными одной и той же функции от X, что свидетельствует о стабилизации теплообмена. [c.110]

Г4 = <ц (ж, р1)м х, рг)м (х, рз)м х, р4)>, с помощью которого затем найти величину (х, р)>, полагая в решении Р1 = Рг == Рз = Р4 = Р- Однако решить аналитически это уравнение не представляется возможным, и оно содержит много лишних (для нахождения параметров, в то время как запись величины Р (х, р)> в континуальном виде этих параметров не содерншт. Поэтому такая запись может быть полезна для изучения асимптотических характеристик любых моментов и, следовательно, распределения вероятностей для интенсивности волнового поля (см. следующий параграф). Кроме того, в ряде случаев представление поля в операторном виде позволяет найти соответствующие средние характеристики технически проще по сравнению с изучением соответствующих уравнений. Так, в 4 предыдущей главы при изучении амплитудно-фазовых флуктуаций требовалось вычислить величину <е (у, рх)/ (х, р,) (х > /). Если исходить при этом из уравнения (1.1), то следует составить дифференциальное уравнение для величины е (г/, рх)м (х, ра) и (х, рз) при у <С X, усреднить его, установить граничное условие для величины (гии У при X = у, решить полученное уравнение с соответствующим граничным условием, а уже затем положить рз = р2. В то же время вычисление этой величины с помощью представления I х, Ра) в операторном виде мало чем отличается от вычисления величины рассмотренного выше. Запись решения в виде континуального интеграла удобна и при анализе структуры волнового поля, отраженного от зеркальной поверхности 41]. Используя формулу (8.1.15) и явное выражение для функции Грина (1.19), для поля отраженной волны в точке (О, р) получаем выражение (предполагаем для простоты, что зеркало пространственно однородно, т. е. У (рг, Рх) = У (Рг — Р1)) [c.290]

Чтобы применить полученные выше результаты к исследованию поля точечного исто шика звука, необходимо владеть мгетодами анализа интегральных представлений поля. В этом параграфе мы рассмотрим асимптотические оценки интегралов вида [c.217]

Отраженная волна. Проанализируем звуковое поле в верхней среде иа больших по сравнению с длиной волиы расстояниях / i до мнимого источника S i (см. рис. 12.1). Будем исходить из интегрального представления (12.10). Наще изложение будет следовать в основном работам [38, 41, 43, 88). Воспользуемся асимптотическим представлением функции Ханкеля (см. [240, гл. 9)) [c.244]

Боковая волна (12.85), возбуждаемая сферической падающей волной при отражении от движущегося однородного полупространства, была найдена в п. 12.6 асимптотическим анализом интегрального представления поля. Концепция дифракционных лучей позволяет дать наглядную интер-претацию и этому результату. [c.305]

Весьма важной для исследования боковых волн в неоднородных средах (как твердых, так и жидких) оказывается использование отмеченной в п, 14.1 свази поля боковой волны со значением на границе раздела поля преломленной волны в нижней среде, рассчитанным во втором приближении лучевой теории. Благодаря этой связи можно избежать асимптотической оценки интегрального представления поля и свести расчет боковой волны к хорошо разработанным лучевым алгор ггмам. Такой метод последовательно применяется для анализа боковых волн в различных сейсмических задачах в монографии [326), в которой собран большой фактический материал и приводится обширная библиография исследований боковых волн в слоистых твердых телах. Отметим, что для применимости лучевого метода расчета Р/ необходимо только, чтобы была плоской граница раздела, параллельно которой идет боковой луч. В остальном среда может быть не слоистой, а трехмерной плавно-неоднородной. [c.316]

Местоположение границ областей наблюдения прямой и обратной боковой волн можно легко получить из наглядных физических соображений. Как мы видели в п. 14.3, на границе области наблюдения пересекаются фронты боковой волны и зеркально отраженной компоненты поля. Приравнивая фазы ЛЛ1С05(во 5) и Л/ 1С05(во - в]), для границы области наблюдения прямой боковой волны находим во = О1 + 5)/2, для обратной волны - во = (в1 - 8)12. Тот же результат был получен выше при асимптотическом анализе интегрального представления поля. Теперь мы видим, что он справедлив для любых остронаправленных пучков. Отметим, что во всей области наблюдения обратной боковой волны ее фаза больше, чем фаза р . Для прямой волны это справедливо при 01 <8 при в, > 5 фаза (и, следовательно, время распространения) боковой волны меньше, чем у р, фазы р/ и р равны во всех точках, когда в( = о, т.е. пучок падает под критическим углом полного отражения. [c.320]

Булдырев B. ., ЯворМ.И. Комбинированное представление Поля точечного источника звука в подводном волноводе и асимптотическое суммирование нормальных волн II Математические вопросы теории распространения воли. - Вып. И. -Л. Наука, 1980. - С 66-83. [c.389]

Другое асимптотическое представление дифракционного поля при кг, кг о 1 получено в работе [105]. В ней объединены слагаемые и Gti2- Результаты можно записать в наших обозначениях следующим образом [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...