Уравнения равновесия на поверхност в напряжениях

Перейдём к составлению дифференциальных уравнений равновесия упругого тела в напряжениях, предполагая отсутствие объёмных и поверхностных сил и считая известным распределение температуры по объёму тела. По условию, имеют место уравнения статики сплошной среды в объёме и на поверхности [c.67]

Напряжения а должны также удовлетворять и уравнениям равновесия, поэтому эти уравнения добавлены в (2.41). Граничными условиями являются условия равновесия на поверхности (2.8). Заметим, что в (2.41) произведение матрицы В на вектор (Са) надо [c.45]

Основные уравнения обобщенного плоского напряженного состояния. Дифференциальные уравнения равновесия и условия равновесия на поверхности— те же, что и в случае плоской деформации, т. е. (9.87) и (9.88). Из шести соотношений Коши сохраним лишь интересующие нас три уравнения (9.89). Три других нас не интересуют, так как величины е , Уг/г и у х не рассматриваются. [c.661]

Уравнения (7) и (9) являются уравнениями равновесия внутри тела, уравнения (5) —на поверхности тела. Соотношения (5) можно трактовать и как граничные условия в напряжениях. [c.800]

Для использования принципа Кастильяно в этой задаче прежде всего необходимо задаться системой напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия (I) и условиям на поверхности это напряженное состояние легко получить, пользуясь функцией напряжений Прандтля и (х, у) [формула (8.16)] [c.342]

Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний располагаем двумя уравнениями равновесия (3.50) в декартовых координатах или (3.51) в полярных координатах и условием пластичности (5.10) или (5.12). В этих трех уравнениях содержится три неизвестных. Таким образом, число уравнений соответствует числу неизвестных. Тем не менее для системы уравнений этой задачи существуют точные замкнутые решения тоже лишь для частных случаев при касательных напряжениях на контактной поверхности, равных нулю или не зависящих от одной из двух координат, входящих в уравнения равновесия. [c.177]

Назовем статически возможным состоянием тела такое состояние, для которого удовлетворены условия на поверхности для напряжений и уравнения равновесия в каждой точке тела, а точки, изобра жающие напряженное состояние в пространстве,напряжений о,/ддя различных точек тела, лежат или внутри поверхности начала пластичности. или на ней. Обозначим эти точки Л4, а соответствующие им тензоры напряжений о / (рис. 10.1). Таким.образом, эти напряженные состояния удовлетворяют условию [c.208]

Для тех задач, в которых на всей граничной поверхности известны поверхностные силы (2.88), с помощью дифференциальных уравнений равновесия (2.85) и закона Гука (6.4) уравнения совместности деформаций выразим через напряжения [c.118]

Величину A называют дополнительной работой внешних сил, а П — дополнительной энергией. Уравнение (6.48) выражает принцип дополнительной энергии по сравнению с различными системами напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия внутри тела и на той части граничной поверхности, где заданы внешние силы, истинное напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям совместности, отличается тем, что для него дополнительная энергия П имеет стационарное значение. В условиях устойчивого равновесия величина П минимальна. [c.125]

Что касается внешних сил, приложенных непосредственно к поверхности тела (которые и являются обычно источником деформации), то они входят в граничные условия к уравнениям равновесия. Пусть Р есть внешняя сила, действующая на единицу площади поверхности тела, так что на элемент поверхности df действует сила Р df. В равновесии она должна компенсироваться силой —действующей на тот же элемент поверхности со стороны внутренних напряжений. Таким образом, должно быть [c.17]

Проварьируем функционал по напряжениям, относящимся к моменту времени t, принимая в качестве вариаций напряжений статически возможные поля напряжений. Под Этими полями понимаются такие распределения напряжений, которые удовлетворяют однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям на части поверхности тела Sp (вариации массовых сил и поверхностных нагрузок считаются равными нулю). Тогда [c.357]

Равенство (8.22) позволяет сформулировать следующую теорему дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. [c.215]

При равновесии деформируемого тела в каждой его точке шесть независимых компонент симметричного тензора напряжений Oij должны удовлетворять трем дифференциальным уравнениям в частных производных (2.27), а на поверхности тела — граничным условиям, например (2.29). [c.37]

В принципе минимума дополнительной работы рассматривается функционал, зависящий от компонент тензора напряжений, которые должны быть статически возможными, т. е. должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме V и граничным условиям на части Se поверхности тела о заданными поверхностными силами. [c.105]

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Теорема о верхней оценке несущей способности. Пусть I — произвольное кинематически допустимое поле скоростей и скоростей деформации, т. е. такое поле, которое удовлетворяет граничным условиям ui = V на части поверхности Sv. По заданным скоростям деформации Бу определяются напряжения сгу единственным образом, если поверхность напряжения строго выпукла. Напряжения о у вообще не удовлетворяют уравнениям равновесия. Выпишем уравнения равновесия в форме Лагранжа, принимая за поле виртуальных скоростей [c.492]

При выводе уравнений колебаний оболочек полагают, что состояние напряжения внутри оболочки во время колебания имеет характер, определяемый уравнениями равновесия, и средняя поверхность оболочки во время колебаний деформируется по тому же закону, что и в состоянии равновесия . На основании изложенного, уравнения колебаний оболочек можно получить, согласно принципу Д Аламбера, заменяя внешние силы X, Y, Z, которые входят в уравнения равновесия, соответственно выражениями сил инерции [c.184]

Так- же, жак уравнения равновесия, преобразуем условия на поверхности (4.2), заменив в них напряжения через перемещения. Для этого, в первое уравнение,(4.2) подставим выражения напряжений через деформации (4.6). Получим . ......... [c.44]

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации дифференциальные уравнения равновесия (5.2), условия на поверхности (5.3), формулы Коши (5.4) и уравнение сплошности (5.5) сохранят такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) примут следующий вид [c.54]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

Другим примером использования условия пластичности для замыкания системы уравнений в напряжениях может служить случай плоского деформированного состояния пластического тела, находяш егося в равновесии под действием заданной на его поверхности системы напряжений р . В этом случае по определению плоского деформированного состояния оси координат х, у, z можно выбрать так, чтобы Б33 = = [c.462]

Распределение напряжений должно удовлетворять статическим условиям (уравнение равновесия, условия на поверхностях) что касается условия совместности деформаций, то оно выполняется за счет пластических деформаций, которые (в соответствии с теоремой Мелана) должны были возникнуть на первых этапах нагружения. [c.101]

Теплу, покидающему объем, приписывается отрицательное значение N. как всегда, нормаль вовне объема. Подобно основному соотношению Коши (2.2.3), соотношение (6) отнесено к любой ориентированной площадке в объеме V, в нем определено поле вектора Н теплового потока —скаляр линейно зависящий от N, представйм скалярным произведением N на некоторый другой вектор — напомним (П.1.2). Точно так же по силе tN, линейно зависящей от N. вводилось поле тензора напряжений Т. В. соотношении (6), если относить его к ограничивающей объем поверхности О, следует видеть краевое условие для И подобно этому (2.3.1) —краевое условие (уравнение равновесия на поверхности) для Т. [c.407]

Уравнения (123) должны удовлетворяться во всех точках по объему тела. Напряжения по объему тела меняются, и при достижении поверхности они должны находиться в равновесии с внешними силами, действующими на поверхности тела. Условия равновесия на поверхности получаются из уравнений (108). Взяв тетраэдр OB D (рис. 126) так, чтобы грань B D совпадала с поверхностью тела в данной точке, приведем уравнения (108) к виду [c.246]

Очевидно, что для обращения в нуль объемных интегралов в уравнении (43) требуется, чтобы в пределах каждого слоя удовлетворялись уравнения равновесия и соотношения между напряжениями и перемещениями. Для обращения в нуль поверхностных интегралов по S и S" требуется, чтобы один из сомножителей в каждом из следующих ниже произведений (т, м,, TjMj, т щ) задавался в каждой точке на по-верхногти S, поскольку 5 ц. является произвольным на S и равно нулю на S". Наконец, интегралы по поверхностям Г к = 1, 2,. .. [c.43]

Известная трудность в методе Ритца заключается всегда в построении функций, которые принимали бы на поверхности тела заданные значения. Так обстоит дело во всех тех случаях, когда заданы перемещения. Но если заданы поверхностные напряжения, то эта трудность отпадает, так как в вариационной задаче граничные условия отпадают. Необходимо только прп известных условиях относительно существования производных сделать потенциальную энергию минимальной. Класс допускаемых аппроксимирующих функций не ограничен уже условиями на поверхности если решать диференциальные уравнения равновесия в перемещениях [(2) 13] при заданных напряжениях, то условия равновесия на поверхности [(5) 13] должны быть выражены через производные перемещений. На- [c.161]

Клебш з) заимствовал из теории Геринга-Кирхгофа приближенные выводы относительно напряжений и деформаций в малой части пластинки, ограниченной вертикальными плоскими сечениями, и получил уравнения равновесия пластинки, выраженные в проекциях упругих усилий и моментов. Его уравнения распадаются на две группы одна группа содержит растягивающие и гори, зонтальные перерезывающие упругие усилия, а другая группа — упругие пары и вертикальные упругие усилия. Уравнения второй группы относятся к изгибу пластинки, и их форма такова, что если соотношения, при помощи которых упругие пары выражаются через деформацию срздней поверхности, известны, то можно определить вертикальные перерезывающие силы и получить уравнение для прогиба пластинки. Выражения для упругих пар можно получить из теории Кирхгофа. Клебш нашел решение своего уравнения для случая круглой пластинки, защемленной по краям и нагруженной произвольным образом. Кельвин и Тэт сделали невозможными какие-либо дальнейшие сомнения по поводу теории, относящейся к уравнениям равновесия, выраженным в проекциях упругих усилий и пар. Эти ученые отметили, что в случае чистого изгиба выражения для упругих пар могли бы быть получены из теории изгиба балки Сен-Венана объединение двух граничных условий Пуассона в одном условии Кирхгофа они объяснили с т чки зрения прин ципа упругой равнозначности статически эквивалентных систем нагрузок Позднейшие исследования содействовали устранению последних затруднений, связанных с теорией Кирхгофа - ). Одно из препятствий к дальнейшему прогрессу состояло в отсутствии точных решений задач об изгибе пластинок, аналогичных тем, которые были получены fH-Венаном для балок. Те немногие решения, которые были получены подтверждают основной вывод теории, который не был строго доказан, а именно, вид выражений для упругих пар через кривизну средней поверхности. [c.41]

Общее решение уравнений ра гНОВесия. Методы, применявшиеся в этой главе, позволили получйть наиболее интересные решения, которые можно выразить в сферических фун ц ях. Эти рещения первоначально были получены с помощью более общего метода, который мы кратко изложим теперь ). Начнем с общего решения уравнений равновесия тела, деформиро ванного напряжениями на его поверхности, и применим затем это решение к равновесию сферы. [c.275]

Для решения задачи определения напряжений, возникающих в теле под действием заданных сил, нужно найти функции компонентов напряжений (Ох, Оу, Ог, Хху, Тхг, Туг), удовлвтворяющие дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности (1.3) в любой точке тела. [c.12]

Очень важно довести до сознания учащихся условность самого понятия напряжения смятия . Строго говоря, это не напряжения, так как термин напряжения применяется для выражения интенсивности внутренних сил, а здесь мы имеем дело с силами, внешними по отношению к каждой из деталей соединения. Итак, при соприкосновении деталей под нагрузкой возникают распределенные по поверхности контакта силы взаимодействия, возникает давление одной детали на другую. Условно принимают, что давление равномерно распределено по поверхности контакта и в каждой точке нормально к этой поверхности. Условимся, как это принято, называть это давление напряжением смятия и обозначать сгсм- Значит, в данном случае условно называем поверхностную интенсивность внешних (а не внутренних ) сил напряжением. Заметим, что термин давление употребляется в прямом смысле, т. е. это сила, отнесенная к площади (кстати, выражение удельное давление , встречающееся в учебной литературе, тавтологично). Принятое допущение о характере распределения давлений позволяет обосновать, почему в случае контакта деталей по поверхности полуцилиндра роль площади смятия играет прямоугольник —диаметральная проекция поверхности полуцилиндра. Мы не склонны настаивать на том, чтобы давать этот вывод учащимся. Он элементарен, надо составить уравнение равновесия сил, показанных на рис. 9.1, но [c.96]

Положим Т — Т а, F = F a, здесь Т и — постоянные векторные поля, заданные соответственно на поверхности тела и в его объеме, а — параметр нагружения, возрастающий монотонно. Мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям, положив Oij = оуос. Объемная деформация связана с гидростатической компонентой тензора напряжений [c.542]

Рассмотрим основные уравнения теории напряжений. В теории пластичности, так же как и в теориц упругости, напряженное состояние в каждой точке тела, находящегося под действием объемных сил X, У, Z я поверхностных сил Х , У,, определяются шестью составляющими напряжений а , Оу, а , х у, Ху , х . Эти шесть величин связаны тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), а на поверхности тела должны выполняться три условия (4.2). [c.260]

Это одно из возможных напряженных состояний в двух измерениях, возникающих под действием силы тяжести. Это >ite состояние получается при действии гидростатического давления pgy, причем напряжения обращаются в нуль при y Q. Оно может возникнуть в пластинке или цилиндре произвольной формы при соответствующих граничных условиях для напряжений. Если обратиться к элементу, показанному на рис. 12, то уравнение (13) показывает, что на гранйце должно действовать нормальное давление pgy, а касательное напряжение должно быть пулевым. Если внешние силы действуют на пластинку каким-то иным образом, то мы должны наложить нормальное растяжение на границе pgy и новые внешние силы. Обе системы находятся в равновесии, и определение их влияния сводится к решению задачи для 0Д1Л1Х только усилий на поверхности без объемных сил ). [c.51]

Подобно изложенному выше, можно вывести уравнение динамического равновесия для выделенного отсека внутри трубы, радиус которого г меньше радиуса трубы /"о (штриховая линия на рис. 84), подставив в уравнение равномерного движения (171) вместо напряжения вблизи стенки То напряжение сил сопротивления между соприкасаюш,имися поверхностями жидкости т, действующее на цилиндрическую поверхность радиусом г, т. е, [c.137]

Рассмотрим условия равновесия па поверхности тела. Они могут быть получены из ранее рассмотренной системы уравнений (1.1) для определения составляющих рх, Ру, Рг напряжения на наклонной площадке. Если предположить, что элементарная площадка йР поверхности тела имеет нормаль V с направляющими косинусами I, т, п, а поверхностные силы, "отнесенные к едмице площади поверхности тела, имеют составляющие X, У, 2 то заменяя в уравнении (1.1) Ри Ру, Рх соответственно на X, У, 2, получим следующую систему уравнений [c.25]

В предыдущих главах были рассмотрены статические ус-"яовия (условия равновесия) внутри и на поверхности тела (уравнения (1.16), (1.18)), геометрические уравнения, устанавливающие связь между деформациями и перемещениями (уравнения Коши (1.19)) и между деформациями (условия неразрывности Сен-Венаиа (1.29)), и, наконец, физические уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями в точке тела (обобщенный закон Гука, уравнения (2.8) и (2.10)). Составим сводку основных уравнений теории упругости. [c.51]

Если тело подверг тС тивной деформации поверхностными нагрузками X, У, Z, то для опре т еления напряженно-деформированного состояния тела необходимо отыскать такие функции перемещений и(х, г/, в), и(х, у, в), и (х, у, в), которые бы при заданной диаграмме щ(б() материала удовлетворяли уравнениям равновесия (10.40) и условиям на поверхности (10.41). [c.289]

Заметим, что решение уравнений равновесия (3.5) годится и в случае аналогичной задачи о растяжении (или сжатии) цилиндрического бруса произвольного поперечного сечения распределенными по его торцам А и В силами (3.3), когда его боковая поверхность S ok свободна от напряжений (р" = 0 на Sqok)- Для того чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что решение (3.5) удовлетворяет граничному условию на боковой поверхности такого бруса. На Зоок по условию имеем [c.323]

Дифференциальные уравнения равновесия. В деформированном упругом теле напряжения меняются непрерывно. Выделим из него элементарный параллелепипед (рис. 2.36) с длиной ребер с1х, у, йг. На выделенный элемент, кроме напряжений, приложенных на его поверхности, будут, в общем случае, действовать объемные силы, которые зависят от массы тела (чаще всего силы веса и силы инерции). Если проекции на оси координат объемных сил, приходящихся па единицу массы, обозначать X, У и Z, то на выделенный параллелепипед, плотность которого р, будут дейст- рис. 2,36 К выводу уравнений равно-вовать объемные силы вссия элементарного параллелепипеда. [c.167]

Когда после сварки плоских краев сегмента труба освобождается от всех внешних нагрузок, деформация ее является такой же, как и в состоянии чистого натяжения, но напряжения распределены иначе. Поскольку a z — S3 — Р, условие отсутствия напряжений на концах трубы выполняется, если здесь имеет место равенство Р = S3. В таком случае из уравнения равновесия dPldz = Q следует, что P = Si 0,X) всюду внутри тела, если деформация в действительности остается той же самой. Полученное равенство кажется противоречащим требованию равенства нулю нормального давления на внешней и внутренней поверхностях трубы. Однако из уравнений равновесия [c.336]

В КОМПОЗИТНЫХ моделях возникают некоторые трудности при определении напряжений по результатам поляризационно-оптических измерений вблизи поверхности скрепления разнородных элементов. Во многих случаях именно определение напряжений на поверхности скрепления представляет основной интерес. Для определения напряжений на поверхности контакта используют методы разделения напряжений, основанные на численном интегрировании уравнений равновесия в декартовых или иных координатах [5, 22], а также данные, получаемые с помощью других экспериментальных методо1в сеток, муаровых полос [22, 70, 72], фотоупругих покрытий [5], обычной и голЪграфической интерферометриж[22, 39]. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...