Функция напряжений Прандтля

Функция напряжений Прандтля [c.176]

При решении задачи о кручении иногда вместо функции кручения Сен-Венана ф удобно ввести другую функцию F, называемую функцией напряжений Прандтля. Она вводится по формулам [c.176]

Составим гармоническую операцию над функцией напряжений Прандтля с учетом (8.18), (8.16). В результате получим [c.176]

Рассмотренную задачу можно решить несколько иначе с помощью функции напряжений Прандтля. Так как на контуре сечения F—0, то можно принять [c.180]

В некоторых случаях рассматриваемую задачу целесообразно решать в напряжениях. Для этого вместо функции ф введем новую функцию F (х, у), называемую функцией напряжений Прандтля, которая аналогична функции напряжений Эри в плоской задаче теории упругости. [c.134]

Часто вместо функции il5(xi, Х2) вводят другую Ф .Гь Хг), называемую функцией напряжений при кручении или функцией напряжений Прандтля. Эта функция определяется формулой [c.177]

Следовательно, функция Ф представляет собой функцию напряжения Прандтля. [c.199]

Возьмем брус прямоугольного сечения со сторонами 2Ь и 2с. Учитывая, что функция напряжений Прандтля Ф на сторонах Xi= Ь и Х2= с должна быть равной нулю и симметричной относительно Xi и Х2, В ее. выражение включим только члены с четными степенями Xi и Х2, т. е. [c.217]

Пусть задача решается в функции напряжения Прандтля [c.95]

Задача упругопластического кручения может быть сформулирована несколькими способами [3], Например, используя функцию напряжений Прандтля F, можно записать основное дифференциальное уравнение в виде [c.69]

Из условий совместности следует, что каждое из напряжений о х и о у удовлетворяет уравнению Лапласа (по х, у). После введения функции напряжений Прандтля Ф соотношениями (а — пока произвольная постоянная) [c.197]

ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРАНДТЛЯ 243 [c.243]

Эта функция Р получила название функции напряжений Прандтля и удовлетворяет уравнению, которое получается, [c.243]

ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРАНДТЛЯ [c.245]

Введение функции напряжений Прандтля позволяет изменить весь ход решения задачи о кручении и найти прежде всего касательные напряжения в сечении (ср. 17 и 36). [c.230]

Таким образом, функция напряжений удовлетворяет дифференциальному уравнению Пуассона (8.67). Можно видеть, что это уравнение представляет собой уравнение совместности деформаций, которое необходимо добавить к уравнениям равновесия, так как введение функции напряжений Прандтля позволяет решать задачу в напряже- [c.230]

Для использования принципа Кастильяно в этой задаче прежде всего необходимо задаться системой напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия (I) и условиям на поверхности это напряженное состояние легко получить, пользуясь функцией напряжений Прандтля и (х, у) [формула (8.16)] [c.342]

Не зависящие от х компоненты тензора напряжений представимы через функцию напряжений Прандтля Ф (х х ) в задаче о кручении стержня [c.71]

Аналогия Прандтля дает возможность наглядно представить и распределение касательных напряжений в поперечном сечении стержня. Рассмотрим линии уровня поверхности, описываемой функцией напряжений z = F (х, у). На этих линиях должно выполняться [c.136]

Ранее были рассмотрены стержни, выполненные из идеально упругопластического материала. Теперь коротко остановимся на особенностях расчета закручиваемых стержней из упрочняющегося материала. Для решения задачи в напряжениях воспользуемся функцией напряжений (функцией Прандтля), через которую касательные напряжения определяются выражениями [c.320]

Итак, значения функции напряжений Ф (> , лг ) при кручении бруса сплошного сечения пропорциональны прогибам мембраны, равномерно натянутой на жесткий контур, повторяющий контур поперечного сечения скручиваемого бруса, и находящейся под действием одностороннего равномерного давления. В этом и заключается мембранная аналогия, установленная в 1903 году Прандтлем (1875—1953).. [c.149]

Соотношения полуэмпирической теории турбулентности. Прандтль предложил более удобную формулу для определения турбулентного касательного напряжения по сравнению с (7.53), где —сложная функция скорости. Прандтлю удалось заменить коэффициент величинами, имеющими более простую зависимость от скорости. Рассмотрим вывод формулы для определения касательного напряжения в турбулентном потоке, предложенный Прандтлем, на примере течения в прямоугольном канале. В этом простом течении выполняются следующие условия для составляющих осредненной скорости (рис. 7.10) [c.132]

Впервые на сходство между дифференциальным уравнением для мембраны и дифференциальным уравнением для функции напряжения в упругом скручиваемом стержне обратил внимание Прандтль в 1903 г. Он же высказал мысль о возможности аналогового моделирования этих задач. [c.81]

Функцию Прандтля ц> по аналогии с функцией Эри называют функцией напряжений остается установить, какому уравнению и какому граничному условию она должна удовлетворять. [c.49]

Заметим, что аналогичные дифференциальное уравнение и краевое условие (29.8) справедливы для прогиба мембраны, натянутой на жестком контуре, под действием равномерного давления. Эта аналогия, подмеченная Прандтлем, позволяет находить экспериментальное решение задачи кручения при помощи мыльной или какой-либо иной пленки в тех случаях, когда математическое решение уравнения Пуассона (29.10) для данного контура затруднительно. Так как функция напряжений содержит ш множителем, то отношения не зависят от (в, следовательно, главные направления в каждой точке фиксированы. [c.122]

А. Сен-Венан и М. Леви, сформулировав основы теории идеальной пластичности, не дали решения каких-либо двумерных задач. Затем последовал почти сорокалетний перерыв в разработке этой проблемы- Возникший вновь в начале XX в. интерес к теории пластичности был поддержан тем, что Л. Прандтль и А. Надаи нашли в начале 20-х годов решения нескольких важных задач, а Г. Генки исследовал свойства линий скольжения при плоской деформации. Надаи рассмотрел задачи кручения жестко-пластических и упруго-пластических стержней. Помимо аналитического решения, он воспользовался интересной физической аналогией. Согласно ей, поверхность, описываемая функцией напряжений, аналогична поверхности кучи песка, насыпанной на сечение скручиваемого стержня, причем угол внутреннего трения песка пропорционален напряжению текучести. Если это сочетать с аналогией с мыльной пленкой для функции напряжений при кручении упругого стержня, принадлежащей Прандтлю, то задача об упруго-пластическом кручении иллюстрируется при помощи модели пленки, раздуваемой под крышей , образуемой поверхностью кучи песка. [c.266]

УП-64), где Аа — сложная, функция скорости. Прандтлю удалось заменить коэффициент Аа величинами, имеющими более простую зависимость от скорости. Рассмотрим вывод формулы для определения касательного напряжения в турбулентном потоке, предложенный Прандтлем, на примере течения в прямоугольном канале. В этом простом течении выполняются следующие условия для составляющих осредненной скорости (рис. 11-9) [c.154]

Кручение призматических стержней. В этом случае компоненты вектора А представляют две отличных от нуля компоненты тензора напряжений (Д = /7,3, 2 / 2з) функция fJ Yy/ — так называемая функция кручения Прандтля, ц уср —функция кручения, введенная Сен-Венаном, где 2ц сдвиговой модуль упругости, у — погонный угол закручивания. Зависимость внешнего (приложенного к бесконечному стержню) крутящего момента М от у определяется из соотношения (А = (У у/х 3 )) [c.180]

Функция Ф предложена Прандтлем и. по аналогии с функцией Эри в плоской задаче, называется функцией напряжений. Важно [c.216]

Для получения приближенных решений задач о кручении можно использовать и различные аналогии в теории кручения. Суш ность этих аналогий заключается в том, что основное уравнение теории кручения (уравнение для функции напряжений гр или уравнение для функции кручения ф) совпадает, с точностью до постоянных коэффициентов, с уравнениями для других задач механики и физики, которые легче решить, полностью или частично применяя эксперимент. Наиболее важной остается аналогия Прандтля (мембранная аналогия). Этими замечаниями мы и ограничимся, сославшись на книгу по кручению Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [4], где вопрос об аналогиях разобран достаточно подробно и где дана литература. [c.287]

Определенную таким образом не зависящую от степени кручения "С вспомогательную функцию называют функцией напряжения в задаче о кручении или функцией Прандтля. [c.245]

I) — функция напряжения Прандтля, являкщаяся решением краевой задачи [c.493]

Одно из первых выражений для функции, связывающей скорость деформации и напряжение, было предложено Р. У. Бэйли Он аппроксимировал экспериментальные данные степенной зависимостью вида s = ас . Прандтль предложил, а Надаи широко применял с той же целью гиперболический синус, что явилось усовершенствованием более ранней гипотезы П. Люд-вика которая состояла в аппроксимации функции ползучести экспонен-272 циальной функцией напряжения и, следовательно, давала ненулевую скорость ползучести при нулевом напряжении. Последнее обстоятельство ограничивало область применимости теории достаточно большими напряжениями. Для снятия этого ограничения, помимо предложения Прандтля, предлагались и иные модификации. Затем в работах Л. М. Качанова и Н. Н. Малинина были предложены усовершенствования теории старения. [c.272]

Рассматривается развитие метода малого параметра применительно к упруго-пластическим задачам теории идеальной пластичности. В настоящее время имеется сравнительно небольшое число точных и приближенных решений упруго-пластических задач теории идеальной пластичности, поскольку возникаюш,ие здесь математические трудности весьма велики. Впервые задачу о распространении пластической области от выреза, вызываюш,его концентрацию напряжений в сечении скручиваемого стержня, решил Треффтц [1]. Он рассматривал уголковый контур и при решении задачи использовал метод конформного отображения. Несколько ранее Надаи [2] была предложена песчаная аналогия, позволившая в соединении с мембранной аналогией Прандтля осуш ествить моделирование задач упруго-пластического кручения стержней. В. В. Соколовский [3] рассмотрел задачу об упруго-пластическом кручении стержня овального сечения ряд решений задач о кручении стержней полигонального сечения был дан Л. А. Галиным [4, 5]. Большая литература посвящена одномерным упруго-пластическим задачам отметим работы [2, 3, 6-8]. Точное решение неодномерной задачи о двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием было дано Л. А. Галиным [9], использовавшим то обстоятельство, что функция напряжений в пластической области является бигармониче-ской. Там же Л. А. Галин рассмотрел случай более общих условий на бесконечности. Впоследствии Г. Н. Савин и О. С. Парасюк [10-12 рассмотрели некоторые другие задачи об образовании пластических областей вокруг круглых отверстий. [c.189]

Здесь -ф х, у) называется функцией кручения Прандтля Если исключить из выражений (7.39) для напряжений функцию депланации Ф(х.у), то прежде всего получим dxzxjdy — [c.158]

Решение для прямоугольника с произвольным отношением сторон (рис. 7.11) в замкнутой форме невозможно (см. п. 7.4.5.4). Для очень узкого прямоугольника с й <С а удается получить очень полезное приближение при допущении хгх < Хгу- Граничное условие фд. = О удовлетворяется, если для функции кручения Прандтля принять ф = —+ Эта формула удовлетворяет также гармоническому уравнению Пуассона (7.53). Тогда касательные напряжения получаются равными Хгх —О, хгу = 20 х, дзлее крутящий момент равен Мг = (16/3)дай ), а депланация выражается в виде [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...