Решение автомодельное рядах

Прежде всего заметим, что для течений, мало отличающихся от автомодельного, выше было найдено приближенное решение в рядах (4.45), коэффициенты которых определяются до третьего члена системами уравнений (4.46 .60). Расчеты проведены для некоторых частных случаев. Принималось, что число Прандтля а — и — — 1. Для течений при отсутствии вдува (/ = 0) получены результаты для двух значений 7, равных 7/5 и 5/3 [c.148]

Перейдем теперь к анализу конкретных автомодельных задач, решение которых позволяет изучить ряд важных свойств движения среды с учетом переноса тепла, обусловленного нелинейной теплопроводностью. Начнем с формулировки и решения автомодельных задач для уравнений теплопроводности без учета движения среды. [c.35]

При решении целого ряда прикладных задач важное значение имеет уменьшение числа независимых переменных. Примером таких решений являются автомодельные движения, когда вместо четырех переменных х, у, г и I можно ввести только три [c.98]

Пусть отличие течения от автомодельного характеризуется малым параметром е. Будем искать решение уравнения (1.1) при краевых условиях (1.2)-(1.5) в виде ряда [c.109]

Очень широкое распространение в механике и физике получили так называемые автомодельные решения, характеризующиеся существованием некоторых комбинаций независимых переменных (автомодельных переменных), которые соответствуют опре деленным свойствам подобия или инвариантности рассматриваемых классов физи ческих решений. Методы анализа размерностей физических величин, определяющих задачу, позволили [8] осуществить понижение размерности для весьма широкого круга физических и механических задач. Особенно эффективным в конструктивном плане оказалось в ряде ситуаций сведение сложной исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой в качестве независимой переменной высту пает автомодельная переменная. Это позволило получать классы точных решений в замкнутой форме, например, знаменитое решение газодинамической задачи о точечном взрыве [8], и осуществить качественный и детальный количественный анализ важных задач в неинтегрируемых случаях. [c.17]

В работе [1] был решен ряд задач о течениях политропного газа, возникающих когда стенки бесконечного двугранного угла (плоскости Pi и Р2), внутри которого в начальный момент времени газ покоился, начинают выдвигаться из газа с постоянными скоростями Vi и V2. Плоскости Pi и Р2 играют при этом роль поршней, движущихся параллельно самим себе. Было показано, что если скорости выдвижения плоскостей достаточно велики (по сравнению со скоростью звука со в покоящемся газе), то у ребра двугранного угла (линии пересечения поршней) может образоваться зона вакуума. Решение задач строилось из областей автомодельных потенциальных простых и двойных волн и областей постоянного движения. Предметом рассмотрения в [1] был в основном лишь случай, когда образуется область вакуума, случай же, когда зоны вакуума не образуется и осуществляется безотрывное течение, не был исследован. [c.124]

Поставлена и решена задача о безударном холодном сжатии одномерных (плоского, цилиндрического и сферического) слоев баротропного газа, требующем для достижения заданной степени сжатия минимальной внешней энергии. Начальное состояние газа предполагается однородным. В плоском случае получено точное решение задачи (построены законы оптимального управления движением поршня) с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина, в цилиндрическом и сферическом — приближенное с использованием метода характеристических рядов. В плоском случае найдена величина энергетического выигрыша по сравнению с традиционным автомодельным способом сжатия, оказавшаяся достаточно заметной и зависящей от вида уравнения состояния. Приведены результаты численных расчетов для изученного более подробно цилиндрического случая, которые проведены на основе построенного аналитически закона оптимального управления движением поршня с одной точкой переключения управления. Часть результатов в кратком изложении содержится в [Г. [c.403]

К классу (1) принадлежит ряд течений с обязательной автомодельностью, когда характерный размер отсутствует, а движение задается величинами, имеющими размерность кинематической вязкости (м /с). Таковыми могут служить, например, циркуляция Гр, обильность Q линейного или плоского источника или стока. Сюда же относится задача об осесимметричной струе, характеризуемая импульсом /, поскольку У//р как раз имеет размерность вязкости. Для подобных движений справедливо утверждение [117] если решение существует, то оно автомодельно в смысле представления (1). После подстановки представления (1) в уравнения Навье — Стокса, записанные в сферической системе координат, получим (см., например, [37]) [c.85]

В связи с этим, как будет показано далее, автомодельного решения полных уравнений Буссинеска, когда особая точка является источником как импульса, так и тепла, не существует. В противовес этому в приближении пограничного слоя иногда строятся решения, когда даны оба интеграла сохранения [234]. Задача о конвекции вблизи точечного источника тепла ( факел ) рассматривалась рядом исследователей [257, 175, 208]. Условие сохранения потока тенла приводит к обратно пропорциональной зависимости температуры от расстояния до источника. Скорость на оси факела в приближении пограничного слоя ие зависит от расстояния. Задача, когда струя порождается точечным источником импульса и имеет температуру, отличную от температуры окружающей среды, не имеет автомодельного решения и в приближении пограничного слоя. Приближенное решение находят методом возмущений, когда эффекты плавучести считаются малыми [234]. [c.160]

Исследованию течений газа с ударными волнами посвящены многочисленные работы, относящиеся главным образом к течениям, зависящим от двух переменных (одномерные неустановившиеся движения, плоские и осесимметричные сверхзвуковые установившиеся течения). Основным средством расчета таких течений при наличии ударных волн умеренной и большой интенсивности является метод характеристик и его упрощенные модификации, связанные часто с трудно контролируемыми допущениями. Поэтому при оценке точности приближенных методов особая роль принадлежит задачам об автомодельных движениях, решение которых в случае двух независимых переменных удается получить с желаемой степенью точности путем интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В ряде работ изучены неустановившиеся автомодельные движения, которые возникают при расширении в газе плоского, цилиндрического и сферического поршня с постоянной скоростью [1, 2] и со скоростью, меняющейся со временем по степенному закону, но при нулевом начальном давлении газа [3], течения, образующиеся нри точечном взрыве в среде с нулевым начальным давлением [4, 5], и некоторые другие. При установившемся обтекании сверхзвуковым потоком изучены автомодельные течения, возникающие при обтекании клина и круглого конуса [6, 7. [c.261]

В настоящем параграфе устанавливается условие существования автомодельности течения в гиперзвуковом невзаимодействующем пограничном слое N1 = 0) и исследуются особенности поведения автомодельного решения в зависимости от определяющих параметров задачи. Полученные автомодельные решения позволяют установить условия применимости и точность приближенного решения задачи в виде ряда по малому параметру. [c.209]

Здесь индексом о обозначены члены разложений, соответствующие автомодельному решению для скользящей пластины бесконечного размаха, и предполагается, что О < а < < +1. Если рассматриваемая задача может решаться с необходимой точностью на конечном (достаточно большом) интервале значений Л, и функции fi на этом интервале ограничены, то при 1 1 каждый последующий член разложения можно считать меньшим по порядку величины предыдущего в этом случае, предполагая, что остатком ряда можно пренебречь при i 1, для нулевых членов разложения будем иметь [c.222]

Другим предельным случаем является течение при числе Маха Моо->оо. При сколь угодно большом, но фиксированном числе Re оо параметр % также неограниченно возрастает и эффекты взаимодействия становятся наибольшими. Это — случай так называемого сильного взаимодействия, когда толщина пограничного слоя сравнима или превосходит толщину обтекаемого тела. Малым параметром, по которому обычно строится асимптотическое разложение для этого случая, является 1//, причем исходным должно служить предельное решение, полученное при М оо —ь оо на основе совместного рассмотрения течения в пограничном слое и внешнем потоке. В ряде случаев это решение оказывается автомодельным. К их числу относится задача обтекания полубесконечной пластины, а также задача обтекания тонкого тела вращения степенной формы г рассмотренная в работе В. В. Лунева (1960). В условиях силь- [c.531]

На основе модели С. С. Григоряна был решен ряд других задач динамики грунтов (одномерные автомодельные и квазистатические движения — [c.224]

Седов Леонид Иванович (1907-1999) — видный советский ученый в области механики и прикладной математики. Окончил Московский университет (1931 г.). С 1937 г. — профессор Московского университета, работал (с 1945 г.) в Математическом институте АН СССР. Основные работы по гидроаэромеханике, механике сплошной среды, теории подобия, аэроупругости. Обобщил теорему Жуковского для произвольного движения крыла построил теорию тонкого крыла, исследовал потенциальное обтекание газом профилей и решеток, развил нестационарную теорию решеток. В теории подобия решил ряд важных задач, в частности задачу о сильном взрыве, построил теорию автомодельных движений газа. Установил закон пульсаций в изотропной турбулентности. Разработал модели сплошной среды с учетом электродинамических явлений н метод решения задач на основе сформулированного им вариационного принципа. Автор ряда фундаментальных монографий по вопросам механики сплошной среды. [c.479]

Для построения решения системы уравнений (9.10) и (9.11) при граничных условиях (9.12), учтем, что искомое решение мало отличается от автомодельного (зависящего от одной переменной X) и представим искомые функции в виде рядов по степеням [c.639]

Изучение автомодельных движений представляет большой интерес. Возможность сведения системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для новых функций — представителей, чрезвычайно упрош ает задачу с математической точки зрения и в ряде случаев позволяет находить точные аналитические решения. [c.616]

Указанные выше особенности решений Римана служат главной основой для конструирования решения ряда задач с использованием решений Римана. В частности, с помощью решений Римана легко построить решение автомодельной задачи о движении газа за поршнем, выдвигаемым при > О с постоянной скоростью из цилиндрической трубы, заполненной совершенным газом, в предположении, что при С О поршень и газ покоились, а при 1 0 движение газа адиабатично или вообще баротропно. [c.228]

Ряд смешанных задач о колебаниях анизотропной полуплоскости был исследован в работах В. А. Свекло [21, 22] на основе обобщения метода функционально-инвариантных решений. Изучению свойств решения для ортотропной полуплоскости посвящены работы В. С. Будаева [6, 7]. Значительный вклад в развитие методов решения динамических задач для анизотропных сред внесли Р.Барридж и Дж.Виллис [25, 26], причем метод Виллиса решения автомодельных задач анизотропной теории упругости позволил получить решение ряда важных контактных задач, например, задачи о внедрении клиновидного штампа в анизотропную полуплоскость. В то же время отметим, что в случае установившихся колебаний исследования подобных задач оказывается значительно более сложным. [c.303]

Обтекание тонкого клина с затупленной передней кромкой. В качестве простейшего примера обтекания потоком с большой сверхзвуковой скоростью профиля с тупой передней кромкой рассмот-зим обтекание тонкого затупленного клина. Для этого случая в эквивалентной задаче о неустановившемся движении газа с плоскими волнами Е ф и = V iga = onst ф а - полуугол раствора клина). Это движение не автомодельно даже тогда, когда начальным давлением газа можно пренебречь по сравнению с давлением за ударной волной. Приближенное решение можно получить при помощи метода зазложения решения в ряды по степеням (7 — 1)/(7 + 1), изложенного в [15]. Однако, учитывая, что и он является довольно трудоемким, мы произведем дальнейшее его упрощение, позволяющее получать решение элементарным путем с сохранением удовлетворительной точности. [c.299]

В дальнейшем был рассмотрен целый ряд точных решений задач, предста ляющих обобщения основной, только что вкратце освещенной задачи о вращении диска. Так Шлихтинг и Труккенбродт ) поставили задачу о вращении диска в набегающем на него нормально к плоскости вращения диска потоке, причем поле скоростей в этом наложенном Потоке принято таким, какое было бы при его набегании на неподвижный диск. Кстати говоря, определение этого дополнительного потока само по себе также требует решения автомодельной задачи ). [c.541]

Далее приводятся результаты численного решения для ряда начально-краевых задач для уравнений (8.4), для которых упомянутые выше автомодельные решения могут представлять асимптотики при I оо. Уравнения (8.4) были переписаны в виде неявных нелинейных разностных уравнений, к которым сначала применен метод Ньютона, а затем метод матричной прогонки. Расчет проводился в области на плоскости х, Ь, ограниченной некоторым отрезком оси х, который двигался с подходящим образом подобранной скоростью. Шаг вычислений по оси х выбран таким образом, чтобы вязкость расчетной схемы и другие погрешности счета оставались пренебрежимо малыми по сравнению с вязкими членами уравнений. [c.337]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов. 1 азовая лина.мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, фуик-ционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Различными авторами получен ряд автомодельных решений уравнения (3) или (5) и более общих уравнений для различных задач фильтрации А. М. Пирвердяном, Н. Н. Веригиным, В. М. Ентовым, Т. А. Дадашевой и др. (см. [1]). М. Д. Розенберг показал что общая система дифференциальных уравнений в частных производных, частными случаями которой я]вляю ся уравнения движения газированйой нефти и трехфазной смеси [c.208]

Решение задачи о вытекании воды в грунт или стенании из грунта в канал для простейших условий сводится к ртцсканию автомодельных решений нелннейного уравнения Буссинеска. Для ряда случаев движения воды, в фти и газа автомодельные решения были найдены Г. И. Баренблаттом. В случае вытекания воды в сухой грунт им. ла обнаружена конечность ско- [c.236]

М. и. (иногда наз. также подобием или автомодельностью по аналогии с теорией фазовых переходов 2-го рода и гидродинамикой) обладает ряд ур-ний физ. теорий. Это происходит в тех случаях, когда в решение ур-ний не входят массы или другие размерные параметры, не меняющиеся при масштабном преобразовании. В класеич. физике важным примером являются Максвелла уравнения, К-рые обладают М. и. для любых расстояний и промежутков времени. Клейна — Гордона уравнение и Дирака уравнение масштабно инвариантны для расстояний, малых по сравнению с ком.-птоновской длиной волны соответствующих частиц, и промежутков времени, малых по сравнению с этой длиной, делённой на скорость света. Для расстояний, сравнимых с комптоновской длиной волны (и соответствующих промежутков времени), М. и. нарушается из-за наличия масс частиц. О такой ситуации говорят как о нарушенной М. и. [c.61]

Как уже отмечалось выше, автомодельные решения могут иметь место при определенном распределении скорости внешнего потока по границе пограничного слоя и ряде ограничений на числа Рг, Lej, и т. д. В общем случае ироизвольного распределения давления по профилю и при произвольных граничных условиях приходится решать задачу приближенно. [c.97]

Первые члены рядов при й == О дают известное решение, соответствующее автомодельному случаю /(ft) =/о = onst [3] [c.109]

Использовались два аналитических подхода. Первый — применение такого мощного инструмента для исследования, как бегущие волны различных рангов, примыкающих друг к другу вдоль характеристических многообразий. На этом пути обнаружены явление частичного коллапса, когда в точку сжимается часть исходной массы, сильная неоднородность течений в финальной части и образование быстрых кумулятивных струй для легко сжимаемых газов (эффект сверхкумуляции). В случаях автомодельного неограниченного безударного сжатия ряда конструкций получены точные аналитические решения. [c.10]

Установлено, что при обычных краевых условиях (без дополнительного условия, задаваемого на конце тела), кроме хорошо известного автомодельного решения, полученного Лизом и Стю-артсоном [48], существуют два однопараметрических семейства неавтомодельных решений уравнений пограничного слоя. В окрестности передней кромки пластины эти решения могут быть представлены в виде рядов [c.258]

Аналогичные эффекты возникают еще в ряде задач, физическая интерпретация которых более затруднительна. Отметим, что> выявление физического смысла автомодельных решений непростая проблема. Здесь дается новая интерпретация известных и получаемых автомодельных реыгений на основе детального анализа их свойств. Голубинский и Сычев [31] рассмотрели течение, вызываемое источниками, равномерно распределенными на полуоси 2 > О,, в присутствии стенки 2 = 0. Пиже будет показано, что их решение можно истолковать как предельное для случая, когда источники бьют из конуса малого угла раствора, причем так, что трение на. конусе обращается в пуль. В такой задаче предельная струя развивается, когда число Рейнольдса, построенное по обильности источников, стремится к нулю ( ). Впрочем, эта постановка допускает более естественную интерпретацию, которая будет дана пиже. [c.83]

Рассмотренные автомодельные решения уравнений Буссинеска описывают ряд нетривиальных свойств термогравитационпоп конвекции. Хотя все три задачи сводятся к системе обыкновенных уравнений, они сохраняют черты, присущие нелинейным уравне- [c.187]

Это означает, что при отходе от автомодельных граничных условий при г = К течение все равно стремится к автомодельному в ядре потока, а детали распределения скоростей при г = к забываются в некоторой переходной пеавтомодельной зоне. Такое поведение вообще характерно для диссипативных систем и пе является невозможным для рассматриваемой задачи при условии устойчивости соответствующих автомодельных режимов. В данном случае пространство всевозможных краевых условий разбивается на ряд подпространств, которые стягиваются к соответствующим автомодельным решениям. Если это так, то неединственность автомодельных решений будет соответствовать действительной неоднозначности предельных режимов течения в области небольших г. При этом роль краевых условий при г = Н сведется к переключению режимов. Эксперимент, по-видимому, подтверждает это. Как уже упоминалось, в разных экспериментальных установках при одинаковых числах Рейнольдса наблюдались разные автомодельные режимы течения. [c.252]

Сохранение только первого слагаемого в этом ряде соответствует решению задачи об автомодельном движении нри сильном взрыве, сохраненпе двух слагаемых соответствует решению задачи о взрыве с учетом иротиводавленпя в начальной стадии расиространения удар- [c.271]

Формулы (4.51) позволяют сделать определенные выводы о поведении решения. Прежде всего, большие значения показателя степени Ь приводят к тому, что на передней части тела распределение давления и других функций течения мало отличается от определяемого автомодельным решением, но затем изменение происходит очень быстро. Это обстоятельство объясняет, почему во многих случаях при использовании приближенных методов, основанных на применении интегральных уравнений пограничного слоя, приходится вводить понятие о докритическом и закритиче-ском поведении пограничного слоя. Эти представления впервые введены в работе Сгоссо Ь., 1955]. Теперь становится ясно, что при интегральном описании профилей распределения параметров в пограничном слое роль дозвукового пристеночного слоя учитывалась неточно, хотя в ряде случаев такой подход может привести к удовлетворительным результатам. Стоит заметить, что не всегда значения показателя степени Ь и переход от области слабого влияния к области сильного влияния будет быстрым. Например, расчеты для течений с вдувом (/ < 0) показали, что при возрастании вдува величина Ь уменьшается (6 = 1,16 при = —10). В работе [Козлова И.Г., Михайлов В.В., 1970] показано, что величина Ь быстро уменьшается для течений около пластинки, обтекаемой со скольжением, при увеличении угла скольжения. Другой пример течений с малыми собственными значениями рассмотрен ниже в 4.4. [c.149]

Следует иметь в виду, что любую точку по ж = х можно считать задним концом тела и получить распределение параметров на теле из приведенных результатов, используя группы преобразований (4.42). Для этого надо, чтобы в преобразованных переменных ж = 1, отсюда А = /ж - Построенные в зависимости от физической переменной х результаты (см. 4.1 и 4.2) позволяют сделать ряд практически интересных выводов. Во-первых, сравнение результатов, полученных при 7 = 7/5 и 7 = 5/3 показывает, что области значительного отклонения в распределении давления и трения от их вида в автомодельных решениях возрастает почти в два раза с ростом 7. Это обстоятельство легко понять, если преобразовать (4.48) при с = сг = ад = 1к более простому виду, как это сделано в приложении 2. При этом в уравнении для /1 образуется неоднород- [c.150]

Тщательное исследование уравнения Буссинеска в строгой постановке для случая внезапного подъема уровня на краю полубесконечного горизонтального массива грунта было предпринято с помощью разложений в ряды П. Я. Полубариновой-Кочиной (1948 и сл.), которая изучила также задачу о распространении языка грунтовых вод по сухому водоупору (1952). Г. И. Баренблатт построил и подробно проанализировал ряд других автомодельных решений для одномерного (линейного и осесимметричного) течения грунтовых вод (см. п. 4.2). Впоследствии были построены и некоторые двумерные (плановые) автомодельные течения грунтовых вод В. Ф. Баклановская и А. Н, Гаипова, 1966). [c.618]

Чтобы еще более подчеркнуть изложенные соображения, заметим, что та же задача о продольном обтекании полубесконечной пластины при малых и средних числах Рейнольдса уже не будет автомодельной, и ее решение представляет значительные трудности ). Ряд авторов рассматривал решение этой задачи путем построения следующих после прандтлевского приближений ). [c.575]

Условия автомодельности решений уравнений плоского стационарного пограничного слоя выполняются лишь в единичных случаях, большинство которых в предыдущих двух параграфах уже изложено. На практике приходится иметь дело, конечно, с более общими, неавтомодельными движениями, требующими использования уравнений в частных производных. В этих случаях можно указать три реальных пути решения задач 1) аналитические методы и, главным образом, разложения в ряды 2) численные расчеты на ЭВЦМ и 3) применение приближенных методов. Первый путь достаточно громоздок и все реже и реже используется в практических расчетах. Что касается второго пути, то, как уже ранее упоминалось, и настоящее время в вычислительных центрах нашей страны уже разработаны стандартные программы числового решения конкретных задач пограничного слоя на большинстве применяемых у нас машин. Это отнюдь не должно явиться препятствием к развитию эффективных приближенных методов решения задач теории пограничного слоя. Современное состояние развития этого третьего пути будет изложено в следующих двух параграфах. [c.610]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...