Эйлера деформирование

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

Тензор (2.13) определен для деформированного состояния тела в момент времени t в окрестности точки х и называется тензором напряжений Эйлера. Тензор напряжений (2.13) может быть представлен также в матричной форме в виде вектора-столбца [c.44]

Следовательно, направляющий тензор деформации определяется заданием четырех величин —трех углов Эйлера, определяющих направление главных осей тензора, и угла вида деформированного состояния (фазы) if. [c.72]

Но пространство в деформируемой среде, отнесенное к координатам Лагранжа, связано с евклидовым пространством, отнесенным к координатам Эйлера, формулами точечного преобразования (IV. 79), которые, по предположению, взаимно однозначны. Следовательно, и в деформированной среде можно ввести евклидову метрику, т. е. пространство в деформированной среде является евклидовым. [c.504]

Отдельная глава посвящена расчету элементов конструкций с учетом ползучести расширен по сравнению с другими сборниками задач состав задач по вопросам усталостной прочности включен параграф, посвященный расчету тонкостенных стержней замкнутого профиля на стесненное кручение. В отдельные параграфы выделены вопросы нелинейного деформирования элементов конструкций. В главе Устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней помещены задачи, которые помогут студентам приобрести не только навыки расчетов на устойчивость, но и уяснить понятие критического состояния системы и применяемого в исследовании устойчивости метода Эйлера. Креме того, решение этих задач подготовит студентов к более успешному освоению курса устойчивости сооружений. [c.3]

Изучение свойств цилиндрической оболочки в части V выполняется следующим образом. При помощи тригонометрических рядов и применения метода Эйлера задача построения каждого члена разложения сводится к исследованию некоторого алгебраического уравнения восьмой степени (характеристического уравнения), в коэффициенты которого входит малый параметр и еще один параметр, связанный с номером рассматриваемого члена разложения. Последний может принимать (в известных рамках) как большие, так и малые значения. Поэтому можно поставить вопрос об асимптотической зависимости модулей корней характеристического уравнения от упомянутых параметров. Он решается элементарными приемами, и располагая ответом, мы можем получать оценки любого члена в формулах, определяющих напряженно-деформированное состояние оболочки, а следовательно, и судить [c.332]

Рассмотрим, следуя Эйлеру, смежные формы равновесия в процессе деформирования оболочки. Критическая нагрузка определяется как наименьшая из нагрузок, при достижении которых наряду с исходной формой равновесия становятся возможными смежные формы равновесия, близкие к исходной, но отличные от нее. С практической стороны использование критерия Эйлера сводится к нахождению собственных значений линеаризованных уравнений, полученных из нелинейных дифференциальных уравнений при рассмотрении двух смежных равновесных форм. [c.62]

Исторически первой задачей такого рода бьша возникшая и исследованная в трудах Я. Бернулли, Л. Эйлера, ЖЛ. Лагранжа задача деформирования гибких стержней (задача эластики), являющая пример геометрически нелинейной задачи, (годящейся к краевой задаче для нелинейного дифференциального уравнения [c.7]

Проведенный выше анализ показывает, что на отрезке значений 0 от Ok до ап наряду с продолжением основного процесса монотонного сжатия, который оказывается за точкой а неустойчивым, имеется продолжение, описываемое формулой (7.7) (рис.4). Каждая точка интервала [la, ап] отвечает неединственности решения для приращений и является точкой разветвления или бифуркации процесса деформирования. В дальнейшем такие точки будем называть точками бифуркации первого порядка, или, сокращенно, точками Б1. Здесь индекс 1 отмечает, что в деле замешаны. первые приращения внутренних параметров. Соответственно этому точка, определяемая критерием Эйлера, может быть названа точкой бифуркации нулевого порядка (БО), или точкой бифуркации состояния. Последнее наименование широко распространено, хотя буквальная расшифровка его при учете непрерывности процессов затруднительна. Пользуясь данной терминологией, можно сказать, что если критерий Эйлера — это критерий бифуркации состояния (БО), то использованное в предыдущем параграфе предложение составляет критерий бифуркации процесса (Б1). [c.20]

Мы видели, что Эйлер в своем выводе дифференциального уравнения упругой линии использовал выражение энергии деформации изогнутого бруса (см. стр. 45). Грин, обсуждая вопрос о необходимом числе упругих постоянных, полагает, что энергию деформации можно выразить однородной функцией от компонент деформации (см. стр. 264). Ламе в своей книге по теории упругости ) приводит теорему Клапейрона, констатирующую, что работа, произведенная внешними действующими на упругое твердое тело силами при его деформировании, равна накопленной в этом теле энергии деформации (см. стр. 145). [c.346]

Углы Эйлера для молекулы не в равновесной конфигурации можно найти тем же способом, если определить оси (дс, у, г) как мгновенные оси инерции. Однако для деформированной молекулы лучше выбрать в качестве осей (х, у, г) оси Эккарта, [c.162]

Теперь нам надо найти углы Эйлера для деформированной мо-лекулы воды по уравнениям Эккарта с использованием равновесных координат ядер. Эти равновесные координаты уже известны и приведены выше [см. (7.153)], а для определения углов Эйлера мы воспользуемся уравнениями Эккарта (7.132) — (7.134). Величины [ат] можно вычислить из af в (7.153) и из т/ в (7.167) Ках выражены через углы Эйлера в (7.52). Исполь-зуя эти результаты для [ат] и %ах, из (7.132) получаем [c.163]

Рис. 7.7. Деформированная молекула воды с координатами ( , g) из (7.167). Углы Эйлера равны (30°, 60°, 120°) в соответствии с (7.168) —(7.171) они получены с использованием условий Эккарта

К. Основополагающим соотношением для рассмотренных в этой главе способов определения перемещений балок является полученное на основе гипотезы плоских сечений в 1694 г. Яковом Бернулли соотношение (8.2.6) между кривизной деформированной оси балки и изгибающим моментом. Племянник Я. Бернулли Даниил применил это соотношение к анализу малых поперечных колебаний балки. Он же предложил своему ученику Л. Эйлеру заняться задачей об упругих кривых с помощью разрабатываемого последним аппарата вариационного исчисления. Этой задачей с разных позиций Эйлер занимался всю свою жизнь. Он разработал метод реше- [c.245]

Системы координат Лагранжа и Эйлера. В рассмотрение вводится система материальных координат [74,75]. С этой целью каждой точке сплошной среды в некоторой фиксированной ее конфигурации ставится в соответствие тройка чисел — номер, который для этой точки останется неизменным в процессе деформирования. [c.11]

Представление (1.1.4) будем связывать с некоторой фиксированной, всегда отличной от натуральной начально-деформированной конфигурацией. Именно в этом смысле, для различения представлений (1.1.3) и (1.1.4), за вторым представлением в данной книге закрепляется название представление Эйлера с соответствующими им координатам Эйлера . [c.12]

Формулами (1.1.21) определяется пространственное описание процессов деформирования (Эйлера) в декартовых (пространственных) координатах [74, 75]. [c.14]

В строгом смысле, этот подход обусловливает использование пространственной формы (Эйлера) описания процесса. Однако, как уже отмечалось, в данной книге используется исключительно материальное (Лагранжа) описание процесса, но относительно различных систем координат, определенных в разных конфигурациях. В данном разделе используется система координат, связанная с некоторой фиксированной начально-деформированной [c.29]

Чтобы найти сумму главных кривизн, заметим, что на основании теорем Эйлера и Менье о кривизне поверхности кривизна произвольного сечения, наклоненного под бесконечно малым углом к нормальному главному сечению, будет равна с точностью до бесконечно малых первого порядка кривизне самого главного нормального сечения. Достаточно поэтому в рассматриваемой задаче вычислить кривизны поперечного и осевого сечения цилиндра. Эти сечения представляют собой главные сечения в невозмущенном состоянии, главные же сечения деформированной поверхности образуют с ними бес о-нечно малые углы. Для поперечного сечения будет справедлива формула (6), тогда как для осевого сечения кривизна будет [c.589]

Выведем дифференциальные уравнения Эйлера—Остроградского и граничные условия рассматриваемого принципа. Известно, что всякое вариационное уравнение имеет эквивалентную систему дифференциальных уравнений. Какая же система дифференциальных уравнений эквивалентна принципу возможных изменений напряженного и деформированного состояний [c.90]

Поэтому при решении этих задач становится реально возможным принять за независимые аргументы текущие или окончательные координаты материальных точек (т. е. переменные Эйлера). Эти координаты для напряженного, т. е. уже деформированного, состояния рассматриваемого тела являются прямоугольными координатами (декартовыми). [c.114]

Дело в том, что поскольку в задачах сопротивления материалов пластическому деформированию приходится рассматривать конеч-ные (значительные) деформации, то прежде всего возникает необходимость строгого разграничения понятий об исходных и текущих координатах, т. е. понятий о переменных Лагранжа и Эйлера, принятых в механике сплошных сред (см. гл. III и IV). [c.203]

Переход тела недёформированного в конечное деформированное состояние (рис. 1.8) можно представить себе сначала как поступательное перемещение, характеризуемое вектором 5, поворот как жесткого целого, характеризуемый вектором вращения м, и деформация тела в пространственной системе координат Х[. Положение пространственных координат Xi относительно x i можно определить тремя углами Эйлера углом прецессии il)= [c.29]

Равенства (IV. 79) можно рассматривать как формулы точечного преобразования, позволяющие поставить в соответствие точке N( / ) деформированного пространства, арифметизирован-ного координатами Лагранжа, точку М(х ) пространства, ариф-метизированного координатами Эйлера, Мы будем предполагать, что такое соответствие взаимно однозначно и функции гс непрерывны и дифференцируемы. [c.503]

Приведем еще полезную форму выражения для свободной энергии деформированного тела, получающуюся непосредственно из квадрэтичности F по тензору деформации. Согласно теореме Эйлера имеем [c.24]

Если нагрузка и реакции тонкостенного стержня проходят через линию центров изгиба, то до потери устойчив ости стержень ие испытывает -кручения и депланация отсутствует (В =0). Потеря устойчиеости характеризуется появлением депл.анации сечения, т. е. появлением качественно нового деформированного состояния, новой формы равнов есия, что и характеризует потерю устойчивости 1-го рода (потеря устойчивости по Эйлеру) [48], [c.143]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Изгибающий момент М. (х) при этом определяем по деформированной схеме М (х) = РкрУ (х). Полученная формула Эйлера имеет практический смысл при л = 1. Для других закреплений концов стержня формула Эйлера имеет вид [c.17]

История определения критической силы для сжатого стержня берет начало от работ Г Эйлера. Определенная им критическая сила кр.з была подвергнута экспериментальной проверке, и было сделано заключение, что она дает сильно завышенные результаты. Однако, как выяснилось позже, ее применяли для случая X < Х,пред.э. что было ошибкой. Когда же стали брать гибкости %, не выводящие материал за пределы пропорциональности, то результаты теории, т. е. значения кр. ) = п Е]х/Р, хорошо согласовались с экспериментом. Теперь встал вопрос об определении теоретическим путем критической силы для случая работы материала -la пределом пропорциональности. В конце XIX в. Энгессером было предложено заменить в формуле Эйлера модуль Е касательным модулем Е(. Это дало хорошее совпадение с экспериментом, но такая замена не была обоснована теоретически. При изучении вопроса появилась мысль о двух зонах деформирования Ах и. 42, которая была высказана Ясинским (1894) и затем Карманом (1910). Формула Ясинского — Кармана хотя и приблизила теоретический результат к эксперим( нту, однако давала стабильно завышенный результат. [c.360]

При загрузке результатов расчета будет выдано сообщение о грубой ошибке Fatal error), которая обусловлена плохой сходимостью после прохождения точки нагружения, соответствующей потере устойчивости. При этом результаты, полученные для предыдущих шагов нагружения, будут загружены в базу данных модели. Как следует из списка наборов результатов, два последних шага нагружения, для которых получено решение, соответствуют нагрузке = 0.9 и Р = 0.901563 Р . Деформированное состояние для Р = 0.9 = 3060000 Н, показанное на рис. 11.16, совпадает с формой потери устойчивости, полученной при анализе по Эйлеру (см. рис. 11.15). [c.431]

Метод Эйлера особенно удобен, если допустимо пренебречь перемещениями и деформациями в невозмущенном состоянии, т.е. можно отождествлять невозмущенное состояние системы с недеформированным. Если это условие не вьшолнено, то необходимо варьировать состояния системы в окрестности напряженно-деформированных состояний, нахождение которых может представить самостоятельные трудности. Многие задачи устойчивости тонких упругих оболочек принадлежат этому классу. [c.479]

Найдем поле скоростей перемещений по Эйлеру w = v (х, у, г, t). Из четырех переменных Эйлера в задаче существенны лишь две — х к у. Координата Z выпадает, так как деформированное состояние плоское. Время t выпадает, так как движение установившееся. Тогда v = v (х, у), а у = W. так как не зависит от у вследствие гипотезы плоских сечений. Примем условие несжимаемости. Тогда h Vx = hiUi, откуда [c.99]

Физические представления о структуре кристаллических тел и микромеханизме их деформирования позволяют подойти к построению математической модели неупругого деформирования поликристаллического материала. Как и при анализе осредненных характеристик поликристалла (см. 2.4), рассматриваемый объем материала представим в виде совокупности большого числа хаотически ориентированных кристаллических зерен. Ориентация кристаллографических микроосей зерен k = , 2, 3 относительно макроосей Xi, i = , 2, 3 поликристалла задана угловыми координатами Эйлера 9, oj) и ф (см, рис. 2.5) и для каждого зерна может быть представлена матрицей (2.19) с компонентами определяемыми согласно (2.21). Рассмотрим сравнительно малые неупругие деформации, так что ориентацию зерен в процессе деформирования можно принять неизменной. [c.97]

Уравнения устойчивости и соответствующие краевые условия согласно принципу Треффца получаются как уравнения Остроградского—Эйлера и естественные граничные условия для вариационной задачи о стационарности функционала 6 5. Этот функционал представляет собой вторую специальную вариацию полной энергии деформированной системы. Если внешние силы являются потенциальными, то вариационную задачу можно сформулировать через энергию деформации U [c.210]

Штриховая кривая 1 на жс. 4.6 соответствует интегрированию уравнений продолжения модифицированным методом Эйлера с шагом АХ по параметру X, который на начальном участке деформирования при малых Р соответствовал приращению относительного прогиба w(0)/i = 0,005. Штрихпунктирная кривая 2 совтветствует тому же методу, но с шагом w(0)/R = 0/)( 5. Сплошная кривая 3 получена прт комбинировании двух шагов w 0)fR = 0,005 модифицированного метода Эйлера с одним шагом по неявной схеме дискретного продолжения, описанной в ЗА. Эта кривая практически соответствует точному решению задачи (4.3.2), (4.3.3) (конечно, в пределах принятой дискретизации). Как видно из жс. 4.6, модифицированный метод Эйлера дает накопление ошибки, особенно существенное в тех областях параметра, где решение претерпевает значительные изменения. В то же время расход машинного времени при получении кривых 2 и 3 практически одинаков (даже для кривой 5 он был несколько меньшим). Поэтому для всех дальнейших расчетов бьша использована именно такая комбинация непрерывного и дискретного продолжения. [c.120]

Следующим шагом в развитии науки о прочности было открытие английским ученым Робертом Гуком (1635-1703) линейной зависимости между нагрузкой и деформацией - основного закона деформирования упругих тел. В 1676 году он опубликовал работу О восстановительной способности или об упругости , которая содержала описание ряда опытов с упругими телами. В этой книге закон упругости был сформулирован так Каково удлинение, такова и сила . Современная форма закону Гука была придана Томасом Юнгом (1773-1829). Вместо абсолютных величин (сила и удлинение), он ввел относительные (напряжение и деформация). Тогда оказалось, что коэффициент пропорциональности между напряжениями и относительными удлинениями, т.е. модуль Юнга в законе Гука является постоянной материала, а не конструкции и характеризуемого жесткость. В начале XIX века широкую известность получают работы французского ученого Луи Навье (1785-1836), издавшего в 1830г. первый учебник по механике материалов. Большой вклад в развитие теории изгиба и устойчивости стержней внес академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707-1783). [c.14]

Предполагается, что потенциальная функция W e) имеет непрерывные первые и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производные от своих аргументов. Эта функция параметрически зависит от компонент тензора напряжений Коши и от параметров, содержащих всю историю деформирования. Обоснование необходимости записи определяющих соотношений упругопластического материала в потенциальном виде (2.57) представлено в [19, 23, 25] (следствие принципа макродетерминизма). Таким образом, возможность представления определяющих соотношений упругопластического материала в виде (2.57) дает критерий отбора феноменологических теорий пластичности. Например, определяющие соотношения деформационной теории пластичности, сформулированные относительно скоростей, не допускают записи в виде (2.57). Но если игнорировать условие разгрузки по упругому закону то рассматриваемые далее соотношения деформационной теории пластичности для материала с изотропным упрочнением записываются в виде (2.57). Если функциональные зависимости <т(ё) известны и допускают запись в виде (2.57), то по теореме Эйлера об однородных функциях можно получить явный вид потенциальной функции [c.87]

Из (6.5) следует, что уравнения (6.4) представляют собой дискретные по времени уравнения пошаговой процедуры явной схемы Эйлера (первого порядка точности) интегрирования системы (6.2). Для интегриршания по времени уравнений (6.2) можно использовать другие схемы, более высокого порядка точности, чем схема Эйлера. Однако такие схемы требуют более высокой гладкости решения, не всегда достижимой при решении прикладных задач. В качестве примеров задач, в которых вектор перемещений не обладает непрерывной дифференцируемостью по времени можно привести задачи упругопластического деформирования, задачи с бифуркацией решений и т. д. Поэтому лучше использовать схему Эйлера с уравнениями (6.4) с последующим уточнением решения при помощи некоторой итерационной процедуры. [c.184]

В разделе 5.2 получены алгебраические уравнения в приращениях для решения нелинейных задач вида (6.4) о квазистатиче-ском деформировании тел. При использовании схемы Эйлера для решения уравнений (6.2) в разделе 6.1 установлена эквивалентность уравнений (6.2) и (6.4). Выполнение равенства (7.4) означает, что при решении уравнений (6.4) достигнуто критическое значение параметра деформирования. [c.213]

Отметим, что тензор Эйлера естественным образом введен ДЛЯ деформированного состояния, и компоненты напряжений являются по определению функциями Xi, Рассмотрим теперь, следуя Прагеру [И], еще некоторые тензоры напряжений, связывая их с недеформиро-ванйым состоянием. [c.26]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Лагранж рассматривает деформированное состояние по отношению к систе.ме ориентировки, взятой в недеформированной среде (переменные Лагранжа) Эйлер — по отношению к ориентировке, взятой в деформированной среде (переменные Эйлерд). [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...