Эйлера материальной частицы

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Пусть теперь известно описание движения по способу Эйлера осуществим переход к переменным Лагранжа. Для этого прежде всего рассмотрим материальную частицу, находящуюся в данный момент времени t в точке пространства Х] эта частица обладает скоростью v x, t) и в момент времени будет иметь коор- [c.5]

При решении задач конечной пластической деформации в применении к анализу производственных процессов обработки материалов давлением задание граничных условий в координатах Эйлера упрощается благодаря тому, что нам заранее известны форма и размеры рабочего инструмента, а также благодаря возможности пренебречь изменением объема материальной частицы при деформации. [c.114]

Для численного интегрирования полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (t = l, 2,. ... .п) пап материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках г = г, (t = l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от переменных ссг, а, w, рг перейдут в 4п обыкновенных дифференциальных уравнения но времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления Pi в точках f = r, в каждый фиксированный момент времени необходимо решать линейную (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6.7.17). [c.85]

В описании Эйлера в качестве независимых переменных принимаются координаты I и время t. В этом описании движение тела представляется векторным полем t) -(Еь 2, Ез. связанным с мгновенным положением материальной частицы. Для вычисления ускорения материальной частицы рассмотрим эту частицу в двух близких положениях. Частица, в момент i занимающая положение перемещается так, что в следующий момент t dt она занимает положение Ег + idi. [c.60]

Поскольку законы механики (второй закон Ньютона, закон количества движения и т. п.) сформулированы применительно к материальным телам, каковыми в механике жидкости и газа являются жидкие частицы и их конечные совокупности, то необходимо уметь, пользуясь методом Эйлера, выражать ускорения а жидких частиц. В соответствии с физическим смыслом оно определяется полной производной вектора скорости по времени [c.29]

ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА. Исследуя процессы, протекающие в сплошной среде, в дальнейшем термином точка будем обозначать фиксированную точку неподвижного пространства наблюдателя. Материальные точки сплошной среды будем называть частицами . [c.91]

Подход Эйлера рассматривает все величины как функцию координат частиц в текущий момент времени — пространственных координат Подход Лагранжа называют также материальным, а подход Эйлера — пространственным. [c.279]

Возможны два способа описания движения частиц сплошной среды. Первый способ, широко распространенный в гидро- и аэродинамике, связан со следующим выбором метода описания движения среды все величины, характеризующие движение сплошной среды, задаются в координатах неподвижного пространства. Такой выбор независимых переменных был применен впервые Эйлером, и поэтому координаты называют эйлеровыми. Возможен и другой метод выбора независимых переменных в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в последующее время эта частица перемещается в пространстве, координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды несколько напоминает метод, используемый в динамике материальной точки, и его связывают с именем Лагранжа, а соответствующие координаты называют лагранжевыми. Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости, а также во многих воп])осах нелинейной акустики в газах, жидкостях и твердых телах. [c.15]

Наибо.лее часто применяется в способе конечных объемов теорема об изменении количества движения (теорема импульсов). Поэтому остановимся на ней несколько подробнее. Эта теорема, как известно, заключается в том, что изменение количества движения какой-либо материальной системы равно импульсу приложенных к ней сил. Так как выделенный в жидкости объем деформируется (разные частицы в нем имеют разные скорости) и, следовательно, конечная форма объема (по истечении промежутка времени й1) не совпадает с начальной, то возникает трудность при вычислении изменения количества двин ения необходимо знать не только начальные и конечные скорости разных частиц, но и конечную форму выделенного объема. Однако, если движение является установившимся, то, как было показано Эйлером, эту трудность можно очень просто обойти. [c.269]

Эйлеров и лагранжев способы описания движения сплошной среды. При изучении движения сплошной среды используют термин точка , который может относиться как к точке пространства, так и к точке сплошной среды. В дальнейшем слово точка будет применяться только для обозначения места в неподвижном пространстве. Для обозначения малого элемента сплошной среды будем использовать слово частица (или слова материальная точка ). Таким образом, точка — место в пространстве, а частица материальная точка) — малая часть материального континуума, т. е. непрерывно заполненного материей пространства. [c.39]

Изучение движения непрерывной жидкой среды можно проводить двумя способами. Оба способа были развиты Л Эйлером, Объектом изучения в первом способе Эйлера является бесконечно малая частица жидкости, рассматриваемая как материальная точка Зная траектории, скорости и ускорения различных частиц жидкости, можно составить представление о движении конечных объемов жидкости. Математически задачу можно поставить следующим образом. Пусть в некоторый момент времени положение материальных точек, непрерывно заполняющих некоторую часть пространства, определяется их декартовыми координатами а, Ь, с. Задание определенных значений а, 6, с выделяет из множества точек какую-либо одну. Текущие декартовы координаты выбранной точки в момент времени будут функциями а, Ь, с н времени т, е. [c.259]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

Учитывая, что в методе Эйлера описание движения отличается от принятого в теоретической механике, существуют некоторые отличия в определении ускорения, которое входит во второй закон Ньютона. В это уравнение входит ускорение материальной точки, которое для сплошной среды определяется, как и в теоретической механике, второй производной пути по времени только при использовании метода Лагранжа. В случае метода Эйлера ускорение, а также другие гидромеханические величины, которые меняются вместе с движением объёма жидкости, выражаются через специальный вид производной, которая определённым образом связана с полем скорости (3.2.2). Вместе с тем эта производная должна быть связана с движением частиц жидкости или газа (субстанции). Такую производную называют полной или субстанциальной. [c.27]

Движение газа будем описывать в переменных Эйлера. Пусть О— произвольная конечная область, в которой изучается движение газа. Материальные точки, занимавшие в момент времени t область Д перемещаются согласно закону (1.1). Если ро, dx — плотность и объем элементарной частицы в момент времени а р, [c.257]

L - лагранжев радиус-вектор с компонентами U - лагранжевыми (материальными) координатами частицы т в начальный t = н момент времени Е - эйлеров радиус-вектор с компонентами Ei - эйлеровыми (пространственными) координатами материальной частицы т, находящейся в произвольный момент времени t в простраиственной точке я радиусы-векторы точек малой окрестности материальной частицы т в начальный fo и произвольный t моменты времени соответственно X - общее обозначение координат (обобщенные координаты) [c.10]

В (5.5) а, у5, 7 углы, определяющие направления главных осей тензоров деформации (например, углы Эйлера). Такая форма записи отражает то обстоятельство, что накапливаемая телом энергия деформации зависит не только от величины деформации (определяемой главными кратностями удлинений Ai, Аг, Аз), но и от направления деформации материальных частиц. Тажую зависимость [c.59]

При использовании второго подхода, который носит имя Эйлера, рассматривают все величины как функцию координат частиц в текущий момент времени — пространственных координат (tZ/, X, X ). Подход Лагранжа называют также материальным, а подход Эйлера — пространственным. Другими словами, при ла-гранжевом описании движения среды следят за движением каждой материальной частицы среды, имеющей в начальный момент времени координаты (С ,С ,С ). При эйлеровом описании следят за происходящим в каждой фиксированной точке пространства (ж ,ж ,ж ), через которую в разные моменты времени проходят различные материальные частицы [59, 82. [c.6]

Противником корпускулярной теории выступил в 1768 г. Леонард Эйлер (1707—1783 гг.), который дал объяснение происхождению цветов на основании волновой теории. Он сравнил цвета с тонами звука и приписал каждому цвету определенное число колебаний. Основное возражение Эйлера против корпускулярной теории заключалось в том, что если бы Солнце действительно испускало материальные частицы, то масса его должна была бы постепенно уменьшаться и, таким образом, оно должно было бы скоро истош,иться. Современные представления о взаимодействии между массой и энергией признают непрерывное уменьшение массы Солнца в процессе излучения, и поэтому не это обстоятельство должно было решить вопрос о том, какой теории следует дать предпочтение. [c.10]

На двумерной и трехмерной сферах сохраняет свою интегрируемость также классическая задача Эйлера о движении материальной частицы в поле двух неподвижных ньютоновских центров. Рассмотрим для простоты случай двумерной сферы 6 , разделение переменных для которого приведено в работе В. В. Козлова, А. О.Харина [240]. Тем более, как показано в [31] при помощи редукции по циклической переменной (интегралу момента) [c.338]

Мы можем следить за какой-либо частицей, если фиксируем величину а. Следовательно, в материальном описании (переменные Лагранжа) материальная производная есть частная производная по времени didt). В пространственном описании (переменные Эйлера) материальная производная обозначается как d/dt или точкой над символом соответствующей величины. [c.18]

Аналитическая форма механики, развитая Эйлером и Ла-гранжем, существенно отличается по своим методам и принципам от механики векторной. Основной закон механики, сформулированный Ньютоном произведение массы на ускорение равно движущей силе ,— непосредственно применим лишь к одной частице. Он был выведен при изучении движения частиц в поле тяготения Земли, а затем применен к движению планет под воздействием Солнца. В обоих случаях движущееся тело могло рассматриваться как материальная точка или частица , т. е. можно было считать массу сосредоточенной в одной точке. Таким образом, задача динамики формулировалась в следующем виде Частица, которая может свободно перемещаться в пространстве, находится под действием заданной силы. Описать движение в любой момент времени . Из закона Ньютона получалось дифференциальное уравнение движения, и решение задачи динамики сводилось к интегрированию этого уравнения Если частица не является свободной, а связана с други ми частицами, как, например, в твердом теле или в жидкости то уравнение Ньютона следует применять осторожно. Не обходимо сначала выделить одну частицу и определить силы которые на нее действуют со стороны остальных, окружа ющих ее частиц. Каждая частица является независимым объектом и подчиняется закону движения свободной частицы Этот анализ сил зачастую является затруднительным Так как природа сил взаимодействия заранее неизвестна приходится вводить дополнительные постулаты. Ньютон полагал, что принцип действие равно противодействию известный как его третий закон движения, будет достаточен для всех проблем динамики. Это, однако, не так. Даже в динамике твердого тела пришлось ввести дополнительное предположение о том, что внутренние силы являются цен- [c.25]

В предыдущем параграфе мы вывели уравнения Эйлера, воспользовавшись формулой (4.203), определяющей связь между производной по времени от вектора в системе координат, неподвижной в пространстве, и производной по времени от того же вектора во вращающейся системе отсчета. В этом параграфе мы применим ту же самую формулу (4.203), но уже к (4.107), а не к (4.112). Специально мы остановимся на движении материальных точек на поверхности Земли. Если на частицу массы m действует силл / , то уравнение движения частицы имеет вид [c.115]

Возможны два способа описания движения сложной среды. Первый способ связан с выбором неподвижной системы координат — координат Эйлера. В этом случае все величины, характеризующие движение среды, задаются в координатах, жестко связанных с поверхностью рассматриваемого тела. Возможен и другой способ описания движения сплошной среды в системе координат Лагранжа. В этом случае в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в пмле-дующие моменты времени эта частица перемещается в пространстве, и координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды напоминает метод, используемый в динамике материальной точки. [c.34]

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента ди дХ и компоненты пространственного градиента ди 1дх1 почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то [c.120]

В предыдущих выводах мы следовали общему ходу рассуждений, аналогичному тому, который принят при выводе двух систем уравнений гидр од ина-мики ). Система Эйлера описывает то, что происходит в определенной геометрической точке, фиксированной в пространстве, во время движения жидкости. Такой системе соответствует способ, которым определялся истинный сдвиг первого рода, поскольку это касалось измерения деформации сдвига. Вторая система, система Лаграно са, более удобна для определения действительных траекторий частиц жидкости, скоростей частиц вдоль их траектории р данные люменты времени п т. п. Этой системе соответствует использование условного сдвига 7, который определяет изменение угла меок ду двумя первоначально перпендикулярными материальными линиями или сечениями в теле. [c.164]

Поле перемещений Ui xx,x2,x3,t) в момент t выражаем через положение хих2,хз), занимаемое частицей в момент t = U. Наряду с описанием Лагранжа применяется другой способ, в кото-ром в качестве независимых переменных принимаются координаты li, относящиеся к положению материальной точки в момент t. Это описание, связанное с именем Эйлера, имеет вид [c.14]

В методе Лагранжа фиксируется внимание на жидкой частице и прослеживается история ее движения. Д.Максвелл называл [177] такой подход историческим. Переменными — материальными, или лаг-ранжевыми — будут начальные координаты частицы х и время /. В методе Эйлера внимание фиксируется на некоторой точке пространства, занятого жидкостью, и наблюдается, что там происходит. Именно поэтому Д.Максвелл трактовал такой подход, как статистический. Переменными — пространственными, или эйлеровыми — выступают координаты точки пространства х и время (. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...