Принцип упругой эквивалентности

Это равенство, когда и —мысленное бесконечно малое смещение, можно рассматривать как уравнение принципа возможных перемещений в теории упругости, эквивалентное системе уравнений (5.7). [c.347]

Принцип известен как принцип упругой равнозначности статически эквивалентных систем сил или, короче, как принцип Сен-Венана . Под статически эквивалентными системами подразумевают те системы, которые имеют одну и ту же результирующую. В предшествующем исследовании это были такие системы сил, которые, будучи приложены в А, вызывали передачу заданного результирующего [c.133]

Введение этого различия ясно сформулировано в его принципе упругой равнозначности статически эквивалентных систем нагрузок (гл. III, 92—94). Оно дает возможность упростить точные уравнения Навье с помощью некоторых предположений, которые с математической точки зрения ограничивают область справедливости получившегося решения, но не уменьшают его практической ценности. Наиболее важное из этих предположений заключается в том, что распределение напряжений по поперечному сечению цилиндрического тела, как, например, балки постоянного поперечного сечения, не зависит от расстояния по оси. Мы видели ( 95), что решение, обладающее этим свойством, соответствует минимальному значению упругой энергии, запасенной под действием данного результирующего усилия. [c.418]

Эти исследования реализованы на базе вариационных методов и заключаются в построении и анализе вариационных неравенств, которые в контактных задачах без учета трения выражают принцип возможных перемещений Лагранжа. Установлено, что статические задачи геометрически линейной теории упругости эквивалентны задачам минимизации функционалов полной энергии с ограничениями в форме неравенств, которые, в свою очередь, решаются при помощи методов математического программирования и оптимального проектирования. [c.478]

Определяя напряжения при растяжении, сжатии и при других видах деформаций, в сопротивлении материалов, а также в теории упругости широко пользуются следуюш,им весьма важным положением, носящим название принципа Сен-Вена-на если тело нагружается статически эквивалентными системами сил, т. е. такими, у которых главный вектор и главный момент одинаковы, и при этом размеры области приложения нагрузок невелики по сравнению с размерами тела, то в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения сил, напряжения мало зависят от способа нагружения. [c.87]

Принцип Сен-Венана хотя и не имеет строгого доказательства, но подтверждается опытом решения многочисленных задач. Им пользуются для получения приближенных решений, заменяя заданные условия на поверхности статически эквивалентными, по такими, для которых решение задачи теории упругости упрощается. Это называют иногда смягчением граничных условий но принципу Сен-Венана. [c.48]

Эффективное решение указанных в 34 граничных задач упругого равновесия в общем случае представляет большие трудности. Принцип Сен-Венана в этом отношении занимает особое место в теории упругости. Благодаря этому принципу в настоящее время мы располагаем решениями многочисленных задач теории упругости, ибо принцип Сен-Венана позволяет смягчить граничные условия заданная система сил, приложенная к небольшой части упругого тела, заменяется другой, удобной для упрощения задачи, статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части поверхности тела. [c.89]

Заметим, что непосредственно из анализа решения частных краевых задач теории упругости (например, из решения задачи для полупространства) было обнаружено, что нагрузки, статически эквивалентные нулю, вызывают вне области порядка участка интегрирования напряжения и перемещения, существенно меньшие, чем при неуравновешенности сил. Это обстоятельство (в сочетании со специальными исследованиями) послужило основанием для появления уже общей формулировки принципа Сен-Венана ), который сводится к трем положениям [c.264]

Остановимся на принципе Сен-Венана для динамических задач теории упругости [202], где рассмотрена одна частная задача специального вида. Изучалась кусочно-однородная среда (совокупность полос из одного материала, разделенных полосами из другого материала с существенно меньшими значениями упругих постоянных). К торцам первой группы полуполос была приложена статически эквивалентная нулю динамическая нагрузка. Из анализа точного решения задачи было установлено, что напряжения отличны от нуля не только в области, непосредственно примыкающей к участку нагружения, но также и в определенной (малой по протяженности) зоне, примыкающей к волновому фронту. [c.265]

Определяя напряжения при растяжении, сжатии и при других видах деформаций, в сопротивлении материалов, а также в теории упругости широко пользуются следующим весьма важным положением, носящим название принципа Сен-Венана если- тело нагружается статически эквивалентными системами сил, т. е. такими, у которых главный вектор и главный момент одинаковы, и при этом размеры области приложения нагрузок невелики по сравнению с размерами тела, то в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения сил, напряжения мало зависят от способа нагружения. Общего теоретического доказательства принцип Сен-Венана не имеет, но его справедливость подтверждается многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями. Поясним этот принцип на следующем примере. [c.95]

Пока сохраняется пропорциональность напряжения и деформации, упругое тело остается линейной системой, для которой справедлив принцип суперпозиции или независимости действия напряжений. Тогда (6.16) можно истолковать так. Элементарный куб, во-первых, испытывает всестороннее растяжение (сжатие) с главными напряжениями (ох + а. + Оз)/3. Во-вторых, по направлению х, он испытывает растяжение (ох — а2)/3, а по направлению Хз — сжатие (Ох — а,х)/3, что эквивалентно сдвигу по плоскости, наклоненной на угол 45" к главным площадкам х и п . Такой же смысл имеют компоненты [c.156]

Построение деформационной модели базируется на математическом принципе суперпозиции двух идеализированных ее составляющих упругого армирующего каркаса с приведенной матрицей жесткости и упругопластического изотропного связующего с заданной кривой упрочнения. Допущения, принятые при построении первой составляющей модели, характерны для пространственной стержневой системы в расчете учитывается лишь одноименная с каждым из четырех направлений волокон жесткость. Сеть волокон считается размазанной по всему объему куба, принятого за представительный элемент. Таким образом, при равномерно распределенной плотности энергии деформации находится эквивалентная матрица жесткости однородного материала. Обозначив ее индексом а (армирующие волокна), приведем полную запись для нее в системе главных осей упругой симметрии 123 [c.79]

Мы рассмотрели некоторые из основных принципов микромеханики, уделив особое внимание понятию эффективных упругих модулей и возможности их применения к изучению механического поведения слоистых композитов, армированных волокнами. Были приведены эвристические соображения в пользу эквивалентности различных математических определений эффективных модулей. Если физические измерения производятся на достаточно больших участках поверхности, то физическое и математическое определения также согласуются. [c.35]

Многие задачи вязкоупругости при помощи преобразования Лапласа (или Фурье) определяющих уравнений и граничных условий по истинному или приведенному времени становятся математически эквивалентными аналогичным задачам для упругих тел. Такая аналогия называется принципом соответствия и дает возможность использовать методы теории упругости для получения решений (в изображениях) задач вязкоупругости. Впервые этот принцип был установлен Био [11] для анизотропной среды. [c.140]

Здесь член PdV относится к изменению объема, не превышающему для пластических деформаций металла порядка сотых долей процента. Следовательно, этим членом можно пренебречь. Заметим, что речь идет о внешнем давлении, тогда как внутреннее (локальное) давление в окрестности дефектов структуры, уравновешивающееся по объему кристалла, может достигать огромных величин оно обусловливает деформационное увеличение энтальпии кристалла, эквивалентное росту внутренней энергии. Освобождение этой энергии при постоянном давлении происходит в количестве, эквивалентном выделившемуся при рекристаллизации количеству тепла 6Q = dH, по которому и определяется запас энергии упругих искажений. Если исключить обратимую деформацию тела, то для использования соотношения 6Q = dH в принципе неважно, что послужило причиной увеличения внутренней энергии (при постоянном давлении). Например, если каким-либо способом возбудить глубокие электронные оболочки атомов, то может отсутствовать не только макроскопическая деформация тела, но и локальная (возникающая в окрестности дислокации). При соответствующих условиях эта энергия возбуждения рассеивается в виде фононов, т. е. энтальпия переходит в тепло. [c.27]

Шпр, можно упростить эквивалентную схему, применив к ней принцип Рэлея (рис. 5. 3, б), кроме того удобнее привести все массы и упругие элементы к валу турбинного колеса гидромуфты. [c.150]

Так как точный расчет такого демпфера практически является весьма трудоемким, то попытаемся применить некоторые принципы, которые были использованы в рассмотренном выше примере расчета реального вала. Поставим условие эквивалентный диск с моментом инерции 0 и эквивалентная жесткость вала k должны быть такими, при которых потенциальная и кинетическая энергия вала и эквивалентной системы будут одинаковыми и диск 0 будет иметь тот же угол закручивания, что и сечение вала, на котором укреплен упругий элемент демпфера. Предположим, что этот угол закручивания (амплитуда) равен F. Тогда условие равенства потенциальной энергии удет следующим [c.324]

Принцип наложения температурного и частотного факторов. Если учитывать влияние на демпфирующие свойства материала как частоты колебаний, так и температуры, то наиболее удобным способом представления экспериментальных данных является использование принципа температурно-частотной эквивалентности (приведенной частоты) для линейных вязкоупругих материалов [3.2, 3.3]. Согласно этому способу, по одной оси координат откладываются параметры (7 оро/Тр) и т), а по другой— так называемый параметр приведенной частоты шаг, где (О — действительная частота, ат — функция абсолютной температуры Т, То — фиксированное значение абсолютной температуры. Обычно отношения То/Т и ро/р считаются равными единице для широкого диапазона изменения температур и поэтому во внимание не принимаются. Построение генеральных кривых зависимости модуля упругости Е и коэффициента потерь ц от параметра аат исключительно полезно при экстраполяции результатов экспериментов, получаемых при сильно различающихся условиях. Например, в серии экспериментов можно получить данные для диапазона частот от 100 до 1000 Гц и диапазона температур от О до 100 °С, а требуется определить свойства при 50°С и 2 Гц. Для этого сначала используются имеющиеся результаты для построения системы наиболее достоверных генеральных кривых. Эту процедуру наиболее удобно выполнять эмпирически путем задания значений коэффициента ат на основе смещений, необходимых для построения кривой, описывающей зависимость модуля упругости Е от частоты в логарифмических координатах (см. рис. 3.4) при температуре Ti (i = 1, 2,. ..), с тем чтобы кривая была как можно ближе к кривой для зависимости модуля упругости Е от частоты при температуре То. Тем же способом подбираются кривые для зависимостей коэффициента потерь т) от частоты колебаний при температурах Т и То, причем получаются графики, аналогичные показанным на рис. 3.10. Таким образом удается по крайней мере частично компенсировать ограниченные возможности измерительной техники. Типичные графики зависимости ат от температуры показаны на рис. 3.11. [c.117]

В 2 рассмотрена общая природа полей напряжений и деформаций вблизи вершины трещины в условиях упругого динамического развития трещины. В 3 оценено применение вариационных принципов (или, что эквивалентно, слабой формы [c.268]

Формулируя граничные условия, полезно иметь в виду широко применяемый при решении задач теории упругости принцип смягчения граничных условий Сен-Ве гана. Пусть на части поверхности тела, малой по сравнению со всей поверхностью, действуют распределенные силы (рис. 102, а, б). Для упрощения задачи заменим эти силы статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части поверхности тела (рис. 102, в). Статическая эквивалентность понимается в смысле совпадения главного вектора и главного момента для двух систем сил. Согласно принципу Сен-Венана напряжения и деформации, вызванные этими системами сил, мало отличаются в точках, достаточно удаленных от области приложения сил. Определение же напряженно-де-формированного состояния в области приложения сил составляет так называемые контактные задачи. [c.246]

Если число фаз в гетерогенной композиции больше двух, характеристика ее морфологии и выбор метода расчета упругих и вязкоупругих свойств значительно усложняется. В качестве примера рассмотрена тройная композиция, представляющая собой смесь двух типов гомогенных частиц наполнителя с различными упругими константами матрицы. Расчеты верхнего и нижнего пределов по уравнениям (3.4) и (3.5) можно производить прямым путем, однако при использовании уравнений (3,11) и (3.12) возникает некоторая неопределенность. Эти уравнения, в принципе, можно использовать непосредственно для расчета модулей многокомпонентных систем, однако лучшие результаты дает двухступенчатое применение уравнений [17]—сначала для расчета модуля композиции с одним типом частиц, а затем для расчета модуля композиции в целом на основе полученных данных о модуле матрицы с учетом свойств другого типа частиц дисперсной фазы. По-видимому, не существует теоретического обоснования порядка такого двухступенчатого расчета. Было показано [46], что результаты, полученные для модуля упругости при сдвиге при ступенчатом использовании уравнения (3.14), зависят от порядка чередования типа частиц наполнителя при расчете и не эквивалентны результатам расчета при использовании трехкомпонентной формы уравнения (3.12). Определенную роль при этом играет относительный размер частиц наполнителей разных типов. Кажется естественным, что если размер частиц наполнителя одного типа в среднем значительно больше второго, то меньшие частицы и матрица совместно образуют более эффективную матрицу для более крупных частиц. Экспериментальные данные по [c.168]

Таким образом, речь идет о возможности замены, при оговоренных требованиях статической эквивалентности и малости участка нагружения, одних краевых условий другими. Сознательно или бессознательно та или иная идеализация краевых условий всегда используется при решении (корректно поставленных) задач математической физики. В задачах теории упругости это тем более неизбежно, что детали распределения поверхностных сил чаще всего неизвестны, а возможность замены его другим распределением с теми же интегральными свойствами представляется интуитивно приемлемой. Вместе с тем ясно, что приведенную формулировку принципа Сен-Венана, имеюш.ую лишь качественный характер, следует дополнить возможными количественными оценками. [c.164]

Слагаемое, определяемое главным вектором, имеет порядок FIR = о, тогда как все остальные слагаемые имеют порядок a/Re независимо от того, является ли система статически эквивалентной нулю или нет (то есть будет ли при F = О также тР = О или нет). Это заставляет принять более осторожную формулировку принципа Сен-Венана (п. 2.8 гл. IV), предложенную Мизесом (1945) порядок величин напряжений, создаваемых в упругом теле силами, распределенными по малым участкам его границы, на конечном удалении от этих участков уменьшается, если нагружение каждого из них статически эквивалентно нулю. [c.244]

В данной главе изложены общие вопросы теории преобразования вариационных проблем, которая позволяет выделить общие и частные вариационные принципы и теоремы и установить между ними эквивалентную взаимосвязь. Эта глава служит теоретической основой для исследования вариационных принципов теорий упругости и оболочек в гл. 3 и 4. [c.27]

Из вариационных принципов теории упругости определяющие уравнения вытекают как условия стационарности, и в этом смысле они эквивалентны определяющим уравнениям. Однако вариационные формулировки имеют ряд преимуществ. Во-первых, функционал, который подлежит варьированию, имеет вполне определенный физический смысл и инвариантен относительно преобразования координат. Следовательно, если вариационный принцип сформулирован в одной системе координат, то можно получить определяющие уравнения в другой системе координат, выписав инвариантную величину в новой системе координат, а затем применив варьирование. [c.19]

Для понимания природы приближенных решений, получаемых таким образом, иногда полезно вспомнить принцип Сен-Венана, Он гласит [141 Если силы, действующие на небольшую часть поверхности упругого тела, заменить другой, статически эквивалентной системой сил, действующих на ту же поверхность, то это перераспределение нагрузки приведет к существенным изменениям напряжений локально, но окажет пренебрежимо малое влияние на напряжения на расстояниях, которые велики по сравнению с линейными размерами поверхности, на которой были перераспределены силы . [c.21]

Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части А, приближенный метод решения, основанный на принципе виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной работы, модифицированном принципе виртуальной работы и модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы. [c.358]

Если рассматривать принцип Сен-Венана как некоторое выражение специфики краевых задач статической теории упругости, а именно их эллиптичности, оставляя в стороне вопрос о том, на каком расстоянии и с какой точностью одна система сил эквивалентна другой, то в случае полубесконечного слоя и цилиндра можно сформулировать его динамический аналог. Из проведенного исследования видно, что две системы гармонических во времени сил, приложенных к торцу волновода и производящих одинаковую работу за период, неразличимы на достаточно большом расстоянии от торца. При этом частота воздействия должна быть меньше той, при которой в системе возможно существование двух и более распространяющихся мод. В последнем случае такой принцип уже не справедлив, поскольку распределение энергии между модами зависит от деталей распределения нагрузки на торце. Поскольку эти моды распространяются независимо и без изменений, то распределение напряжений всюду внутри волновода будет зависеть от характера внешней нагрузки. [c.261]

Принцип Сен-Венана. Энергетическое рассмотрение. Принцип упругой эквивалентности статически эквивалентных систем сил был впервые сформулирован в применении к задаче о напряженном состоянии нагруженного по торцам призматического стержня в классическом мемуаре Сен-Венана О кручении призм (1855). Более общую формулировку этого принципа, названного принципом Сен-Венана, дал Буссинек (1885) уточнению рассмотрений Буссинека посвящены работы Мизеса (1945) и Стернберга (1954). [c.163]

По области возникновения огост.в определяем момент Мост. , приложенный по краям зоны возникновения и вызывающий плоский изгиб стержня. Та-кой расчет, как и определение сгосп обосновывается принципом Сен-Венана, известным как принцип упругой равнозначности статически эквивалентных сил . [c.75]

Утверждение, что характер местного распределения силы отражается тальке на местных же возмущениях, заключает в себе принадлежащий Сен-Венану принцип упругой равнозначности статически эквивалентных систем нагрузок, который прнмениется в теории брусьев и пластинок. В этой последней местные возмущения убывают гораздо быстрей прн возрастании расстояния от места действии силы, чем в случае твердого тела, у которого все размеры велики в сравнении с частью, непосредственно подверженной действию силы. Дли примера приведем прямоугольную пластинку, вдоль контура которой действует равномерной интенсивности крутищий момент. Местные возмущения убывают с удалением от краев по экспоненциальному закону ). [c.200]

При решении задач теории упругости часто обращаются к принципу Сен-Венана. Если при решении задачи граничные условия задаются точно согласно истинному распределению сил, то решение может оказаться весьма сложным. В силу принципа Сен-Венана можно, смягчив граничные условия, добиться такого решения, чтобы оно дало для большей части тела поле тензора напряжений, очень близкое к истинному. Определение тензора напряжений в месте приложения нагрузок составляет особые задачи теории упругости, называемые контактными задачами или задачами по исследованию местных напряжений. На рис. 12 показаны две статически эквивалентные системы сил одна в виде сосредоточенной силы Р, перпендикулярной к плоской границе полубесконечной пластинки, а другая — в виде равномерно распределенных на полуцилиндриче- Кой поверхности сил, равнодействующая которых равна силе Р и перпендикулярна к границе пластинки. В достаточно удаленных [c.88]

Изменение распределения нагрузки равносильно наложению системы сил, статически эквивалентной нулевой силе и нулевой паре. Предположение, чтотакая система сил, приложенных к малой части поверхности тела, приведет к появлению одних лишь местных напряжений и деформаций, было высказано Сен-Венаном в 1855 году ) и известно под названием принципа Сен-Венана. Этот принцип подтверждается экспериментами, которые не ограничиваются малыми деформациями в упругих материалах, подчиняющихся закону Гука например, установка небольшого зажима на длинный кусок толстостенной резиновой трубки вызывает заметные деформации лишь в непосредственной близости от места зажима. [c.57]

Принцип размазывания , использованный в работе [21], отличен от процедуры сглаживания слабоизменя-ющихся функций, примененной в теории армированных сред [5, 6]. Он в большей степени подобен методу усреднения дискретно распределенных свойств армированной среды по всему непрерывному спектру направлений, который применялся в работах [43, 44] для определения эффективных констант композиционного материала. В работе [21], так же как н в работе [44], размазанная сеть волокон эквивалентна такой модели среды, в которой через каждую точку пространства проходят все направления волокон. Л1атрица жесткости такой среды отождествляется с матрицей жесткости однородного линейно-упругого материала. Плотность энергии деформации этого материала равна удельной энергии деформирования четырех стержней (волокон), создающих симметрию упругих свойсгв первой составляющей модели материала 4D. [c.80]

Если же речь идет о твердом теле с закрепленной осью, то относительно реакций, возникающих в закрепленных точках оси, основные уравнения равновесия утверждают только то, что их результирующая сила и результирующий момент (относительно данной точки) должны быть равны и прямо противоположны результирующей силе и результирующему моменту активных сил, но не дают возможности определить эти реакции в отдельных закрепленных точках оси. Таким образом, основные уравнения равновесия приводят к заключению, что в статических условиях действие связей можно зайенить какой угодно из систем реакций (эквивалентных между собой), приложенных в закрепленных точках и имеющих результирующую силу и результирующий момент, прямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил. Такое заключение, очевидно, неудовлетворительно, так как с физической точки, зрения бесспорно, что при равновесии реакции всегда определяются однозначно. Мы приходим, таким образом, к новому случаю статической неопределенности, который можно сравнить со случаем, уже встречавшимся в п, 10 гл. IX эта неопределенность происходит от того, что в принципах статики твердого тела не принимаются во внимание деформации, вызываемые силами. Это вполне допустимо в первом приближении, так как деформации вообще бывают незначительными, так что следствия, которые вытекают из этого упрощающего предположения, в достаточной степени соответствуют результатам опыта. Но нельзя претендовать на правильное и детальное отображение всех обстоятельств, связанных с рассматриваемым явлением, если мы намеренно пренебрегаем какими-либо существенными элементами этого явления. Поэтому мы не должны удивляться тому, что относительно реакций Ф мы в состоянии определить лишь свойства, относящиеся к ним в целом (т. е. то, что они имеют результирующую силу и результирующий момент, прямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил F), и не можем указать их распределение в каждой точке. Это достигается в теории упругости, где как раз учитываются указанные выше деформации. [c.114]

С Другой стороны, принцип дополнительной виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения — деформации таковы, что существует функция дополнительной энергии и предполагается, что при вариации напряжений граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип минимума дополнительной энергии с помощью введения множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера, принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода к формулированию вариационных принципов являются взаимными и эквивалентными друг другу. [c.19]

Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения — деформации и суш,ество-вания потенциальных функций. Приближенный метод решения, использующий принцип виртуальной работы, будет называться обобш.енным методом Галеркина ). Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея—Ритца. [c.21]

Принцип возможной (виртуальной) работы может быть выведен из уравнений равновесия и наоборот, что указывает на их взаимозаменяемость. Представим себе, что тело заменяется эквивалентной системой частиц, соединенных невесомыми упругими пружинами. Пусть и, v, w — перемещения характерной частицы в направлении осей х, у, z, а du, dv, dw — изменения этих перемещений. Затем для каждой частицы запишем уравнения равновесия 2 /х = 2 /у = 2 /г = умножим каждое из этих урав-, нений соответственно на перемещения du, dy, dw каждой частицы и сложим все уравнения. В получающемся при этом выражении произведения компонент нагрузок на компоненты перемещений (в направлении нагрузок и в месте их приложения) складывают-, ся в pa6oTyj совершаемую нагрузками когда соответствующие произведения, включающие силы, возникающие из-за действия пружин, складываются с отрицательным по знаку изменением "энергии упрулЬй деформации, их сумма получается равной нулю. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...