Матрица констант упругости

Упругие деформации выражаются через напряжения с помощью матрицы констант материала [С] следующим образом [c.79]

Матрица констант может быть выражена через технические характеристики материала модули упругости и 2 вдоль осей х п у, коэффициенты Пуассона ii2, 1121 и модуль сдвига G12 [c.20]

Матрица [D] упругих констант для изотропной оболочки определяется зависимостью (3.105). После подстановки формул 9.36) и (9. 37) в выражение (9.35) и интегрирования по г. левой части уравнения получим условие равновесия тонкой оболочки вращения, соответствующее принципу возможных перемещений, в виде [c.262]

Углерода моноволокно 41, 341 Ударные испытания 28, 269 Удельный модуль 16 Удлинение 73, 282 Упрочнение матрицы 135 Упругие константы боралюминия 453 [c.501]

Константа А учитывает форму и размеры частиц дисперсной фазы и коэффициент Пуассона матрицы. Константа В учитывает отношение модулей упругости наполнителя и матрицы и близка к единице при очень большом отношении М /М1. В общем случае В равно [c.226]

В отечественной литературе величины с/й/г, имеющие размерность напряжения, называются модулями упругости, а величины — константами упругости (в зарубежной литературе 8ц л называют модулями податливости). Модули податливости являются коэффициентами обратной матрицы [c.243]

В таком виде тензор Спт характеризует упругость среды, не нме- ющей элементов симметрии. Наличие таковых уменьшает общее ко- личество отличных от нуля модулей упругости и количество независимых модулей. В табл. 1 приведены матрицы модулей упругости для различных кристаллографических систем. Как видно из этой таблицы, упругие свойства кристаллов, например гексагональной системы, характеризуются уже только пятью независимыми мод -.-лями упругости, для кристаллов же кубической симметрии число независимых модулей уменьшается до трех. При этом следует иметь (В виду, что приведенные таблицы констант упругости относятся вполне определенному положению осей координат относительно кристаллографических осей. В изотропном теле модули упругости, естественно, не могут зависеть от направления координатных осей,. что приводит к условиям [81 [c.21]

В матрице С упругих констант, называемой тензором напряжений, соблюдается соотношение [c.10]

Заключенное в скобки и обозначенное точками выражение представляет собою функцию упругих констант, которая зависит от Vj. Но эта зависимость не должна нас интересовать. Существенно то, что сопротивление раскрытию трещины происходит за счет пластической деформации матрицы, оно уменьшается с уменьшением объемной доли матрицы, т. е. увеличением Vj. При У/ = 1 следует считать G = О, что мы и делали по существу, предположив, что разрыв одного волокна в цепочке приводит к раз- [c.702]

НИИ координатных осей не учитывается. Допущение 3 соответствует идеальной предпосылке приближения Фойгта при расчете модуля упругости материала вдоль волокон. Согласно допущению 4 структурные параметры влияют на поперечную деформацию композиционного материала только через объемный коэффициент армирования, Упаковка волокон в поперечном сечении материала и изменение плотности по сечению при этом не учитываются. Допущение 5 исключает рассмотрение концентрации напряжений в компонентах на границе волокно— матрица при расчете констант. Именно последнее допущение позволяет получить достаточно простые расчетные выражения для упругих характеристик. [c.58]

Выражения для расчета упругих констант слоя с искривленными волокнами приведены в табл. 3.3. Они получены из известных формул пересчета компонент матрицы податливости при повороте главных осей упругой симметрии 13 материала вокруг оси 2 в соответствии с (3.10) и (3.11). [c.63]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

Расчет эффективных упругих констант в плоскости композиционного материала ( ,, Е , 12, <3 2) с учетом компонент матрицы жесткости в случае плоского напряженного состояния несколько проще, чем в случае плоской деформации. Это связано с тем, что компоненты матрицы податливости в плоскости материала при плоском напряженном состоянии находят обращением матрицы жесткости второго порядка, а при плоской деформации после обращения матрицы жесткости необходимо еще учесть добавки к полученным компонентам матрицы [c.73]

В табл. 6.23 приведены значения констант при различных характеристиках упругости матрицы и волокон. Модуль Юнга о с увеличением практически не изменяется (рис. 6.18. а). [c.194]

Движение дислокаций в сплаве, упрочненном когерентными выделениями, определяется [141] полями искажений кристаллической решетки в окрестности когерентных выделений (зон), различием упругих констант и энергией дефектов упаковки выделения и матрицы, увеличением поверхности зоны при срезе частицы, взаимодействием между дислокациями и вакансиями (образование перегибов) и другими факторами. [c.71]

Если и матрица, и волокно упруги, неэффективная длина б есть константа, зависящая от геометрии и свойств материала. Если материал матрицы вязкоупругий, сдвиговое напряжение вдоль границы раздела волокно — матрица релаксирует во времени, вызывая понижение осевого напряжения в волокне около разорванного конца (рис. 18). Имея в виду определение неэффективной длины б, видим, что б — возрастающая функция времени, причем скорость роста б зависит от свойств матрицы. Модель разрушения строится с учетом того, что рост неэффективных длин происходит как рост числа элементов материала, которые считаются разрушенными. Такой подход приводит к статистическому определению времени до разрушения при данной нагрузке. [c.289]

Для материалов со слабой поверхностью раздела большой интерес представляет распределение радиальных напряжений на границе раздела волокно — матрица. Распределения напряжений, представленные на рис. 1а — 1д, взяты из ранее неопубликованной работы [4]. Упругие константы были приняты соответствующими обычному стеклопластику с полиэфирной смолой. На рис. 1а изображен основной элемент для квадратной укладки волокон. Из условий непрерывности границы элемента должны в процессе нагружения оставаться прямолинейными. На рис. 16 дано полярное представление усадочных температурных напряжений при [c.335]

Расчет упругих характеристик. Константы упругости на линейном участке деформирования четырехна-правленного углерод-углеродного материала 40 можно рассчитать ио модели, аддитивно объединяющей компоненты матрицы жесткости ее сетчатой и изотропной составляющих 21]. Задаваясь упругими характеристиками волокна и связующего, получим следующие формулы для трех независимых технических констант материала 40 в главных осях упругой симметрии [c.194]

Рассмотрим слоистый композит, состоящий из отдельных изотропных слоев, расположенных перпендикулярно оси (рис. 7.8) и характеризующихся переменными упругими константами A = A(> i), м = = м(> ,), (Л(> ,) ) - периодические функции). Тогда матрица модулей упругости для каждого слоя имеет вид (в двухиндексных обозначениях) [c.201]

Как следует из вышеприведенной таблицы, волны 5 1 и 5 2 распространяются с разной скоростью, обладаютсвоей собственной поляризацией и фазой вступления. По мере распространения волн в анизотропном теле сдвиг во времени между 5 I и 5 2 будет увеличиваться. Направленность вектора поляризации самой быстрой 5 1-волны указывает на ориентацию элемента (плоскости) симметрии среды. Направленность вектора поляризации более поздней 5 2-волны, как правило, несет информацию об ориентации второго элемента (оси) симметрии среды [12]. Направленность векторов поляризации, как показывают наблюдения, не слишком чувствительна к степени анизотропии (показателю двулучепреломления) и является относительно стабильным фактором. Величина временной задержки между 5 1- и 5 2-волнами зависит от пути и направления распространения луча в анизотропном теле, показателя даулучепреломления вдоль пути распространения, или иначе — от констант упругости, образующих матрицу упругих постоянных [ 1 ]. [c.17]

Упругопьезодиэлектрическая матрица кристаллов класса (4шт) приведена на рис. 10.12. Упругие свойства описываются шестью независимыми константами упругости, тремя пьезоэлектрическими константами и двумя составляющими диэлектрической проницаемости. Температурные коэффи-Щ1енты постоянных упругости имеют как положительные, так и отрицательные знаки, и можно найти такую ориентацию бруска, при которой температурный коэффициент резонансной частоты при —25 °С имел бы нулевое значение. Некоторые из таких ориентаций описаны, например, в работе [313]. Пьезоэлектрические свойства выражены у кристалла Ь12В407 сильнее, чем у кристалла кварца. Так, например, коэффициент электромеха- [c.468]

Кристаллы оксида цинка относятся к дигексагоналъно-пирамидальному классу бтт. Его плотность составляет е = 5676 кг-м , а размеры элементарной ячейки равны ао = 0,32497 нм и со = 0,52060 нм [305]. Как следует из упругопьезодиэлектрической матрицы, приведенной на рис. 10.12, свойства 2пО описываются пятью независимыми константами упругости и двумя независимыми диэлектрическими константами. Эти материальные константы взяты из публикаций [305, 314] и приведены в табл. 10.25— 10.27. [c.470]

Поскольку dw — полный дифференциал, дш/де т — О тге — Стп п-Дифференцируя обе крайние части по е , имеем d dwldem)lden = = Стп. Вследствие того, что левая часть симметрична по m и и, aw — функция только состояния, заключаем, что порядок дифференцирования не имеет значения, т. е. из энергетических соображений накладываются дополнительные ограничения Стп = Спт Smn = =Snm и матрицы упругих констант симметричны, т. е. из 36 остается 21 неодинаковая константа. Вследствие симметрии кристалла число независимых констант уменьшается. [c.23]

В безграничной изотропной матрице. Пусть система ре-лаксировала затем к радиусу Го. Включение будет находиться в состоянии равномерного всестороннего расширения пли слсатия, которое может считаться вызванным соответствуюш[им эквивалентным давлением Р. Сохраняя принятые в 3 обозначения ос> Ц, о для упругих констант матрицы и х, р,, о, для включения и замечая, [c.93]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Некоторое сужение вилки Хилла, определяющей расчетный интервал изменения упругих констант композиционного материала, достигается вариационными методами. При этом изменение ширины вилки, как показано Хиллом, зависит от упругих свойств компонентов материала. Если относительная разность модулей упругости велика, что характерно для материалов на основе полимерной матрицы, то применение вариационных методов не приводит к существенному сужению вилки Хилла. [c.55]

Варианты расчета упругих характеристик. Рассмотренные ранее приближенные методы расчета упругих характеристик слоя нетрудно распространить на вычисление констант трехмер-ноармированного композиционного материала. Реализацию этих методов можно представить в трех вариантах. Первый вариант но существу является модификацией метода усреднения, где расчет двухмериоармирован-ного в ортогональных направлениях волокнистого материала сводится к расчету однонаправленной структуры с более жесткой анизотропной матрицей. Естественно, что введение третьего ортогонального направления не вносит принципиальных трудностей в расчет констант материала. Основным преимуществом указанного подхода является простота вычисления, однако сведение части арматуры в модифицированное ортотропное связующее позволяет лишь с очень большой погрешностью учитывать кинематическую связь между компонентами материала. [c.64]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Принцип размазывания , использованный в работе [21], отличен от процедуры сглаживания слабоизменя-ющихся функций, примененной в теории армированных сред [5, 6]. Он в большей степени подобен методу усреднения дискретно распределенных свойств армированной среды по всему непрерывному спектру направлений, который применялся в работах [43, 44] для определения эффективных констант композиционного материала. В работе [21], так же как н в работе [44], размазанная сеть волокон эквивалентна такой модели среды, в которой через каждую точку пространства проходят все направления волокон. Л1атрица жесткости такой среды отождествляется с матрицей жесткости однородного линейно-упругого материала. Плотность энергии деформации этого материала равна удельной энергии деформирования четырех стержней (волокон), создающих симметрию упругих свойсгв первой составляющей модели материала 4D. [c.80]

Расчетные зависимости для технических констант однонаправленного трансверсально-иэотропкого композиционного материала выраженные через упругие свойства волокон и матрицы ( а Va, с) [c.84]

Матрица податливости aij , 1, ) = = 1, 2,. .., 6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (В ,), компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости [Втпп1] п, к, I = I, 2, 3 их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.33)—(3.36). Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.43). При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя Втпк1 в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 0. Необходимые для расчета компоненты матрицы жесткости 5 , 1,/ = 1, 2,. ... 6, в главных осях 1 23 выражают через упругие постоянные [c.91]

Сведение трехмерноармированной среды к однонаправленно-армированной. Суть третьего подхода заключается в том, что арматура материала, уложенная в двух направлениях, усредняется со связующим в макроскопически однородную анизотропную матрицу, упругие характеристики которой определяют по расчетным зависимостям для ортогонально-армированного материала. Расчет упругих констант последнего подробно изложен в работе [49]. Анизотропная матрица представляется пронизанной волокнами третьего направления. Выражен ния для расчета упругих констант трехмерноармированного композиционного материала, полученные на основе подхода работы [49], приведены в табл. 5.2. Верхние индексы в скобках при упругих постоянных обозначают направление укладки арматуры, нижние — компоненты матрицы податливости. [c.125]

Второй подход предусматривает использование известных свойств структурных компонентов материала и путем усреднения, сглаживания и применения энергетических методов позволяет построить модель среды, в которой все константы выражаются через характеристики компонентов материала. Примером может служить теория Ахенбаха и Херрманна [3, 4], в которой в качестве микроструктурных элементов рассматриваются волокна, заключенные в упругую матрицу. Предполагается, что поведение волокон подчиняется гипотезам, предложенным Тимошенко для балок. В каждой точке такой эквивалентной среды вводятся две кинематические переменные — среднее перемещение в точке и и вектор вращения волокна, не зависящий от вектора и. В результате теория сводится к шести дифференциальным уравнениям движения, которые должны быть удовлетворены в каждой точке. Такой подход позволяет предсказать дисперсию сдвиговых волн. Если нормаль волны направлена вдоль волокон, а движение осуществляется поперек волокон, имеет место следующее соотношение дисперсии [c.292]

Подводя итоги, можно сказать, что мы описали способ определения эффективных коэффициентов jj, Dap. т. е. матрицы жесткостей на растяжение, матрицы совместного влияния и матрицы жесткостей на изгиб соответственно, а также эффективных коэффициентов расширения для анизотропных слоистых композитов или для материалов, в которых упругие константы меняются по одной координате. Постановка задачи является строгой в рамках трехмерной теории упругости неоднородных тел. Не предполагалось локальной симметрии материала, т. е. в каждой точке среды упругие определяющие соотношения могли содержать 21 независимый модуль. [c.59]

Как только были созданы вычислительные программы для расчета перемещений в характерном элементе системы волокно — матрица, стало доступным рассмотреть широкий класс возможных расположений волокон и свойств компонентов. Можно исследовать частные случаи нагружения параллельно направлению укладки волокон, перпендикулярно этому направлению, случаи сдвига параллельно и перпендикулярно волокнам и с.лучаи температурной усадки. Более общие результаты можно получить при суперпозиции этих простых видов нагружения. Таким образом, возможно определить основные константы композита, распределения напряжений и деформаций в матрице, распределение напряжений около границы раздела волокно — матрица, а также на основе различных критериев можно предсказывать разрушение. Справедливость результатов обычно проверяется точностью предсказания упругих констант однонаправленных композитов. Предсказания прочности знаяительно менее надежны. [c.335]

Как и в большинстве теорий прочности композитов, в анализе, использующем критерий тина Хплла, в качестве основной технологической единицы слоистого материала принимается однонаправленный слой. Модули композита, его матрицы жесткости и податливости вычисляются по четырем независимым упругим константам материала слоя при помощи обычных процедур преобразования и интегрирования (см. разд. 4.3). Деформации композита, вызванные любой приложенной нагрузкой, определяются при помощи его упругих свойств. Затем рассчитываются деформации е,/ и напряжения ац каждого слоя, и при помощи критерия прочности Хилла оценивается напряженное состояние каждого слоя [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...