Дополнительной энергии функция

В теории упругости большинство задач сводится к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Их решение часто связано с большими математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые вариационные методы. Вместо того, чтобы решать основные дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача об определении искомых функций Ui, Zij, ац, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих некоторый функционал Ф(щ, гц. оц). например полную потенциальную энергию П или дополнительную энергию П. [c.127]

Решение задачи теории упругости часто связано со значительными математическими трудностями. В этих случаях прибегают к принципам минимумов потенциальной или дополнительной энергии. Применение этих принципов заключается в отыскании функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи, и минимизации потенциальной энергии П или дополнительной энергии R. [c.215]

Здесь G (a) - общая потенциальная энергия напряжений. Вторая переменная Л ст представляет собой заданные объемные силы в J2, а функция F (-A a) совпадает с индикаторной функцией множества К, т.е. она равна нулю для а К и + > для остальных тензоров а [14]. Поэтому двойственная вариационная задача принимает вид sup [—(7 (а)]. Эта задача соответствует принципу максимума дополнительной энергии. В [14] указаны условия существования и единственности решения исходной задачи ы и существования решения двойственной задачи а. Для этих решений справедливо равенство функционалов J (ы, Л ) =/ (Л а, а), а также экстремальное соотношение [c.144]

Расширение приложений являлось одной из главных целей подготовки нового издания. Приложения А — N посвящены четырнадцати различным темам. Среди новых тем, включенных в приложения, отметим Вариационные принципы в динамике системы материальных точек (приложение В), О функциях энергии деформации и дополнительной энергии (приложение D), О различных видах тензоров напряжений в теории конечных перемещений (приложение Е) и О методе граничных элементов (приложение N). [c.8]

Будем называть В функцией дополнительной энергии ). Очевидно, функция энергии д рмации Л, определенная уравнением (2.2), равна функции дополнительной энергии (2.20), и поскольку первая положительно определена, то же самое можно сказать и о второй. [c.52]

Когда таким образом установлено существование функции дополнительной энергии, принцип дополнительной виртуальной работы переписывается в виде [c.53]

Заметим, что эти вариационные принципы можно применить к упругому телу, состоящему из нескольких различных материалов, если соотношения напряжения — деформации каждого материала обеспечивают существование функции энергии деформации или функции дополнительной энергии. Например, если тело состоит [c.59]

Далее рассмотрим принцип минимума дополнительной энергии применительно к двумерной задаче 1.7. Заметим, что напряжения, выраженные соотношениями (1.61), образуют систему допустимых функций. Подставим их в функционал [c.61]

Сначала используем принцип минимума дополнительной энергии для вывода формулы для нижней границы. Пусть и Пе обозначают функцию напряжений и полную дополнительную [c.170]

Заметим, что принцип минимума дополнительной энергии для задачи о нагружении балки можно непосредственно получить из принципа (2.23), предполагая, что компонента определяется уравнением (7.35), а все остальные компоненты тензора напряжений дают пренебрежимо малый вклад в функцию дополнительной энергии (см. приложение Н). [c.190]

Функция энергии деформации А и функция дополнительной энергии В могут быть записаны так [c.343]

С другой стороны, допустимые функции в принципе минимума дополнительной энергии (13.33) должны удовлетворять не только уравнениям (13.1) и условиям (13.5), но и граничным условиям в напряжениях на границах между элементами [c.350]

И назовем каждое из них функцией напряжений. Совокупность этих функций напряжений может быть выбрана в качестве класса допустимых функций в принципе минимума дополнительной энергии, если они удовлетворяют следующим требованиям [c.356]

Следовательно, если функции напряжений выбраны так, что выполняются требования (i)—(iii), то в принципе минимума дополнительной энергии функционал дается формулой (ср. с (13.33)) [c.357]

Видно, что (14.52) — это функционал принципа стационарности дополнительной энергии в задаче нелинейной теории упругости, причем варьируемыми функциями являются дц, удовлетворяющие дополнительным условиям (14.45) и (14.47), линейным относительно 5 . К сожалению, в общем случае такое обращение весьма затруднительно ). Следовательно, для практического применения МКЭ скорее всего не стоит пытаться выполнять обращение для получения принципа стационарности дополнительной энергии, а целесообразно ограничиться функционалом выбирая в качестве независимых варьируемых величин dij и ац, на которые наложены дополнительные условия (14.45) и (14.47). [c.370]

Напомним, что в задаче изгиба тонких пластин соотношения напряжения — деформации даются уравнением (8.2), а функции энергии деформации А и дополнительной энергии В соответственно равны [c.395]

О ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ [c.469]

С другой стороны, функция дополнительной энергии определяется следующим образом [c.470]

Следовательно, если гарантируется существование функции энергии деформации, то существование функции дополнительной энергии следует автоматически. [c.471]

Выражения для функций энергии деформации и дополнительной энергии при этих соотношениях напряжения—деформации имеют вид [c.489]

Если известно напряженное состояние, вызванное силами Р, то напряжения, а следовательно, и дополнительная энергия деформации и будут известными функциями Р. Тогда можно записать [c.42]

Одним из наиболее эффективных вариационных методов является метод Рэлея — Ритца. По этому методу решение представляется в виде выражения, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неизвестные коэффициенты h, где k= ,2, 3, 4,. .. Затем вычисляется значение потенциальной или дополнительной энергии. Полученные таким образом выражения будут функциями коэффи- [c.215]

Для всего объема тела, или для всей системы потенциальная энергия обозначается символом (Jy, F (свободная энергия) W (потенциал, с точностью до знака совпадающий с так называемой удельной дополнительной энергией — 1У = W), для всего объема тела или для всей системы дополнительная энергия обозначается символом 4/ G (погенциал, в некотором смысле аналогичный функции Гиббса в термодинамике. Известно, что функция Гиббса выражается формулой G = F-fpV, где р и F —давление и объем). [c.465]

Существенно, что преобразование осуществляется с исполь-зова нием дополнительной энергии, затрачиваемой на транспортировку сигнала и на выполнение функций управления. Поэтому возрастание дистанционности может быть всегда компенсировано увеличением расхода дополнительной энергии, что является важной особенностью рассматриваемых приводов. [c.183]

Аберсон и др. [26, 27] сделали одну из ранних попыток применения сингулярного элемента для описания движущейся трещины. Они воспользовались сингулярным элементом, приведенным на рис. 3(a), который включал в себя первые 13 членов собственных функций Уилльямса [28], определенных для стационарной трещины, находящейся в линейно-упругом теле. Собственные функции, использованные в [26,27], учитывают движения тела как твердого целого. Внутри сингулярного элемента вершина трещины перемещается между узлами А и В, как показано на рис. 3(a). После того как вершина доходит до узла В, происходит резкая смена схемы сетки, как это видно из рисунка. Для соблюдения условий совместности по перемещениям на границах между сингулярным и обычными треугольными элементами применяется модифицированный принцип минимума дополнительной энергии. Однако, как сообщается в [62], применение описанного подхода не привело к получению осмысленных результатов. [c.284]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

С Другой стороны, принцип дополнительной виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения — деформации таковы, что существует функция дополнительной энергии и предполагается, что при вариации напряжений граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип минимума дополнительной энергии с помощью введения множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера, принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода к формулированию вариационных принципов являются взаимными и эквивалентными друг другу. [c.19]

Для доказательства обозначим компоненты действительных и произвольно выбранных возможных напряжений через а, Оу,. ... .., Тху и а х, Оу,. .., т ху соответственно и положим = Ох -j-+ Ьоу, al = Оу + Ьоу,. .., Тху Тху + Ьтху. Рассуждая так же, как и в предыдущем параграфе, получим, что первая вариация полной дополнительной энергии для действительного решения равна нулю, и поскольку В — положительно определенная квадратичная функция, то вторая вариация полной дополнительной энергии неотрицательна. Это и доказывает справедливость принципа минимума дополнительной энергии ). [c.53]

Далее рассмотрим применение метода Релея — Ритца к принципу стационарности дополнительной энергии. Иногда эту процедуру называют модифицированным методом Релея — Ритца [13], и суть ее заключается в следующем выбираем гг , как и в (2.86), где базисные функции w, (х) подобраны так, чтобы удовлетворялись (2.81). Подставим (2.86) в (2.84) и выполним интегрирование с граничным условием (2.85) [c.70]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Важнейшим обобщением теории Кастильяно мы обязаны ф. Энгессеру ). Хотя Кастильяно во всех случаях требовал, чтобы перемещения были линейными функциями внешних сил, имеются примеры, когда такое требование не выполняется и когда, следовательно, его теорема оказывается неприменимой. Энгессер вводит для такого случая понятие дополнительной энергии и показывает, что производные от дополнительной энергии по независимым силам всегда являются перемещениями (зависимости между силами и перемещениями могут быть и нелинейными). Поясним это простым примером двух одинаковых стержней, соединенных шарнирами между собой и с неподвижными опорами АВ (рис. 148, о). Будучи не- [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...