Метод моментных функций

МЕТОД МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ЗОЗ [c.303]

МЕТОД МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [c.303]

Модифицированный метод моментных функций. Применение метода моментных функций усложняется, если параметрические воздействия не являются белыми шумами, например, в случае, когда параметрические воздействия получаются путем пропускания нормальных белых шумов через некоторые линейные фильтры. [c.304]

Предварительные замечания. Используя метод моментных функций и определение устойчивости по совокупности моментных функций, рассмотрим систему с двумя степенями свободы [c.306]

Предварительные замечания. Для параметрических воздействий в виде белых шумов относительно моментных функций удается получить замкнутую систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если случайное воздействие не является белым шумом, то уравнения относительно моментов имеют бесконечный порядок. Применение модифицированного метода моментных функций позволяет замыкать бесконечную систему уравнений относительно моментов на любом уровне / и рассматривать устойчивость в М. [c.308]

Параметрическое возбуждение процессом со скрытой периодичностью. Параметрические резонансы возникают при выполнении определенных соотношений между частотами системы. Если параметрическое воздействие представляет собой случайный процесс со скрытой периодичностью, то можно ожидать, что аналогичные резонансные явления будут наблюдаться и в стохастической системе. Подробное обсуждение этого вопроса с использованием модифицированного метода моментных функций приведено в [15]. [c.309]

Модифицированный метод моментных функций может быть применен также к системам, параметрически возбуждаемым периодически нестационарными воздействиями. Примером такого воздействия может служить стационарный процесс, модулированный периодической функцией. Используя метод моментов, приходим к системе уравнений типа (33) однако матрица Л будет содержать члены, зависящие от времени. Дальнейшее исследование устойчивости может проводиться различными методами, например, методом матриц перехода (см. гл. VII). [c.309]

Если левую и правую части уравнения (3.1) усреднить по множеству реализаций (этот метод называется методом моментных функций) [6], то получится соотношение, которое содержит математическое ожидание процесса (и) и момент третьего порядка [c.79]

Развиты методы редукции статистической краевой задачи теории упругости для структурно — неоднородной композитной среды к решению уравнений в моментных функциях. Различные варианты метода моментных функций рассмотрены в работах [35 — 37]. [c.20]

МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [c.287]

Основы метода. Метод состоит в исследовании детерминистических дифференциальных уравнений относительно моментных функций процесса. Метод позволяет исследовать устойчивость стохастических систем в среднем, в среднем квадратическом и т. п., а также устойчивость по отношению к совокупности моментных функций до некоторого порядка включительно. Применительно к системам, поведение которых является диффузионным марковским процессом, можно указать два основных способа получения этих уравнений. [c.303]

Остановимся кратко на основных методах, которые используются в настоящее время при вероятностном исследовании нелинейных систем. Точное решение нелинейных уравнений статистической динамики принципиально возможно методами теории Марковских процессов. Многомерные распределения, переходные вероятности, моментные функции процессов получают на основании уравнений типа Фоккер — Планка — Колмогорова. Однако применение методов теории Марковских процессов в конкретных инженерных задачах до сих пор ограничено из-за вычислительных [c.78]

Рассмотрим примеры применения метода моментных соотношений. Движение безмассовой системы под действием сил типа белого шума описывается дифференциальным уравнением первого порядка й F (а) = %, t), где F и) — нелинейная функция ) — дельта-коррелированный случайный процесс с интенсивностью S. Прямое уравнение Колмогорова для плотности р и, t) имеет вид [c.26]

Как следует из приведенных примеров, в прикладных исследованиях разработка приближенных методов решения нелинейных задач статистической динамики шла в основном по пути преобразования исходных уравнений с целью приведения их к линейному или квазилинейному виду. Между тем, основная проблема заключается в изучении характера распределений неизвестных функций, в определении хотя бы приближенного вида плотностей вероятности и соответствующих соотношений для старших моментных функций. Эти вопросы для определенного класса задач решаются при помощи приближенных методов, осно- [c.37]

Итак, приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61]

Приближенные решения нелинейных задач статистической динамики могут быть построены, как показано выше, двумя способами. Первый способ основан на непосредственном анализе уравнений относительно моментных функций фазовых переменных. Моментные соотношения выводятся путем интегрирования уравнений типа Колмогорова при этом не используются какие-либо априорные предположения о распределении выходных функций. Для дальнейшего анализа применяется метод редукции с привлечением дополнительных гипотез о свойствах старших моментов [2]. [c.88]

Из условий (6.29) и (6.30) не вытекает аналогичное свойство для спектра нормального прогиба W k) взаимных моментов третьего порядка типа (С k-i) W k ) W k ). Для вывода замкнутых соотношений относительно моментных функций случайных спектров воспользуемся, как и при решении нелинейных задач, вариационным методом. Представим случайное поле w (л) в виде ряда по степеням гауссовской функции Wo (х) [c.179]

Флуктуации коэффициента постели будем по-прежнему полагать случайной стационарной функцией гауссовского типа с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем искать решение уравнения (6.44), удовлетворяющее некоторым условиям закрепления балки при л = 0. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом моментных уравнений, вывод которых в одномерном случае можно осуществить на основе соотношений теории марковских процессов с непрерывным временем t = х. [c.183]

Однако метод моментных соотношений применим только для одномерных объектов при одной независимой переменной t х. Кроме того, спектральные плотности входных функций должны иметь дробно-рациональную структуру, что обеспечивает формулировку задачи, как для расширенной марковской системы. От этих ограничений свободен спектральный метод решения, который [c.185]

В [37] составлена система уравнений для предварительно сконструированных смешанных моментных функций случайных полей свойств и параметров состояния. В работе [38] метод был использован для описания прочностных свойств арболита. На первом этапе рассчитывались характеристики связующего (крупнопористый легкий бетон) при рассмотрении пор как включений с нулевым модулем упругости. На втором этапе — характеристики собственно арболита по параметрам связующего и древесного наполнителя. Авторы работы [38] подчеркивают, что полученные результаты хорошо объясняют взаимосвязь структуры и свойств материала как целого, но не позволяют получить требуемого согласия с экспериментальными данными. [c.20]

Моментные соотношения. Интегрирование (1.1) с двумя дополнительными независимыми переменными г и Q наталкивается на значительные трудности. При анализе электрической конденсации используем приближенный метод моментных соотношений, разработанный для более простого случая, когда / = /( ,К,г) [17]. Введем моменты от функций распределения / = /( , К, г, (5) по формулам [c.681]

Корреляционные методы основаны на использовании связи между корреляционными (или моментными) функциями входных параметров (например, нагрузок) и выходных параметров (прогибов, внутренних усилий, напряжений). Эти связи могут выражаться как при помощи дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, так и — в простейших случаях — при помощи конечных соотношений. Спектральный метод и метод канонических разложений занимают промежуточное место между корреляционными и квазистатическими методами. Область применения корреляционных методов — задачи, в которых [c.516]

Связь между двумя методами описания эволюции остается пока что малоисследованной. Естественно ожидать, что для широкого класса ситуаций моментные функции kpf, дают решение уравнений (10.44) (по крайней мере — в слабом смысле). Здесь можно указать статью [71] и заметку [41], где этот факт доказан для одномерной динамики, построенной, соответственно, в [82] и в [13]. Ряд работ посвящен доказательству этого же факта в случае, когда начальная мера Р абсолютно непрерывна или почти абсолютно непрерывна по отношению к распределению Гиббса с потенциалом U и параметрами г, %ро (см. [111], [112], [118], а также [102]). [c.256]

До последнего времени преимущественное распространение при оценке неизвестных параметров функций распределения имеет метод моментов. В этом методе неизвестные параметры функции распределения выражаются через статистические моменты эмпирического распределения. Такие оценки неизвестных параметров являются состоятельными (т, е. при неограниченном возрастании объема наблюдений оценки сходятся к истинным значениям). Однако моментные оценки некоторых параметров (например, С и s) могут содержать систематическую погрешность за счет краткости прошлых рядов наблюдений. Поэтому в формулы для моментных оценок параметров вносятся поправки для ликвидации смещения (систематической погрешности). [c.92]

Система с двумя случайными параметрическими воздействиями. Применим модифицированный метод моментных функций к задаче об устойчивости уравнения (40), в котором процессы Фу (t) соответствуют зависимым экспоненциальнокоррелированным процессам. Эти процессы получаются, если зависимые белые шумы т)у (t) (42) пропустить через линейные фильтры [c.309]

Метод дифференциальных уравнений относительно моментных функций. Метод отличается от описанного ранее (см. гл. XVIII) тем, что оператор L действует на функции координат х и времени t. Например, уравнения относительно моментных функций второго порядка принимают вид [c.310]

Моментные функции обобщенных координат находятся из уравнений (41) при помощи методов, изложенных в гл. XVIII. Эти функции выражают через моментные функции обобщенных сил ( ), которые можно вычислить, если известны простран-ственно-времепная корреляционная функция нагрузки и формы собственных колебаний системы. [c.316]

Другой метод замыкания редуцированных систем уравнений основан на использовании гипотезы квазигауссовости [19], позволяющей выразить лишние моментные функции высокого порядка через вторые моменты. Предполагается, что моментные функции для исследуемой нелинейной системы подчиняются соотношениям, которые справедливы для гауссовских процессов. Нечетные моменты центрированных нормальных величин равны нулю. Четные моменты произвольного порядка выражаются через вторые моменты по формуле [c.24]

Статистический анализ системы (1.100) выполняют далее при помощи метода импульсных переходных функций в сочетании с операцией осреднения по множеству реализаций. Основная трудность заключается в том, что статистические характеристики случайных функций Uj i) выражаются через моментные функции высокого порядка относительно предыдущих приближений. При этом, начиная с ( ), утрачивается свойство гауссовости распределений вследствие нелинейного характера правых частей системы (1.100). В результате на каждом этапе вычислений уравнения относительно статистических характеристик Uj t) остаются незамкнутыми, что приводит к необходимости дополнительных предположений типа гипотез гауссовости или квазигауссовости. Однако гипотеза гауссовости сразу снимает проблему замыкания, т. е. делает ненужной замену исходного нелинейного уравнения какими-либо эквивалентными соотношениями типа (1.89), (1.100). [c.37]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Фактически область применимости вариационного принципа в стохастических задачах динамики механических систем более широка, так как здесь, как и в статистической физике, не используется марковское свойство рассматриваемых процессов. Для вывода моментных соотношений, помимо уравнений типа Колмогорова, мбгут быть использованы и другие методы. В гл. 4 показано применение спектрального и корреляционного способов составления уравнений относительно моментных функций для нелинейных систем. [c.46]

При второй фазе движения R = = onst, но при этом падает давление на границе пласта, ф (В .) f (t)- В первом случае неизвестна R (t), во втором фТ (.flft) = / (<) Для их определения используется уравнение материального баланса. Принципиальной разницы в различных вариантах метода моментных соотношений нет. Они различаются только формой заданной функции / (Q, г, t). [c.229]

Грубо приближенные методы можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, в которых приближенно заменяют искомую-функцию распределения, ко второй — методы, в которых аппроксимируюг (упрощают) интеграл столкновений, заменяют уравнение Больцмана, модельными уравнениями. К первой группе относятся, прежде всего, моментные методы, когда функцию распределения аппроксимируют той или иной зависимостью от скоростей молекул с некоторым числом неизвестных макроскопических параметров, для которых соответствующее число макроскопических уравнений получают последовательным умножением уравнения Больцмана на весовые функции и интегрированием по скоростям молекул. В качестве весовых функций, как правило, выбираются пять сумматорных инвариантов столкновения молекул и некоторое число дополнительных функций. В соответствии с этим обычно получают систему уравнений более сложную, чем уравнения Навье — Стокса. Поэтому до сих пор решаются главным образом одномерные задачи о структуре ударных волн, течении Куэтта и т. п. (см., например, С. П. Баканов, и Б. В. Деря1 ин, 1961 В. Д. Перминов, 1969). В методе моментов имеется определенный произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе весовых функций. Последний произвол отсутствует в вариационном методе, предложенном И. Г. Таммом (1965) ). Очевидно, что. функционал [c.430]

Метод Лэнфорда основан на том, что моментная функция ke(t)=kpi, дающая решение цепочки уравнений И. Н. Боголюбова (10.44) для допредельной системы, разлагается в ряд теории возмущений, сходящийся при достаточно малых t. При этом главным членом разложения служит слагаемое, отвечающее свободному движению частиц, а в качестве малого возмуще- [c.272]

В монографии [1] выписана и исследована цепочка уравнений, описывающих изменение во времени моментных функций вероятностной меры, эволюционирующей в ходе движения взаимодействующих частиц. На основания глубоких общих соображений развит новый метод вывода кинетических уравнений (Больцмана, Власова и Ландау) из цепочки уравнений для моментных функций. Впервые сформулирован ряд фундаментальных фактов, характеризующих процесс сходимости к равновесному состоянию. В работе [2] представлен первый в литературе вывод гидродинамических уравнений (уравнений Эйлера для сжимаемой идеальной жидкости) из цепочки уравнений для моментных функций, Иден книги [1] и статьи [2] составили основу современных представлений о связи кинетических уравнений с уравнениями, описывающими движение большой системы частиц. [c.279]

Теоретическое решение задачи о теплообмене в промежуточной области возможно также на основе моментного метода, основанного на простейшем представлении функций распределения до и после соударения молекул со стенкой и предположении о диффузном характере отражения молекул. Результаты, полученные этим методом для передачи теплоты через плоский слой разреженного газа Ю. А. Кошмаровым, показаны на рис. 11.5 (линия 2). [c.401]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...