Метод моментных соотношений

Метод моментных соотношений [c.22]

Рассмотрим примеры применения метода моментных соотношений. Движение безмассовой системы под действием сил типа белого шума описывается дифференциальным уравнением первого порядка й F (а) = %, t), где F и) — нелинейная функция ) — дельта-коррелированный случайный процесс с интенсивностью S. Прямое уравнение Колмогорова для плотности р и, t) имеет вид [c.26]

Однако метод моментных соотношений применим только для одномерных объектов при одной независимой переменной t х. Кроме того, спектральные плотности входных функций должны иметь дробно-рациональную структуру, что обеспечивает формулировку задачи, как для расширенной марковской системы. От этих ограничений свободен спектральный метод решения, который [c.185]

Решение нелинейных уравнений методами моментных соотношений требует численного нахождения интегралов типа 1 , I. Это вызывает определенные трудности при использовании полученных формул для обратных задач. В связи [c.232]

Моментные соотношения. Интегрирование (1.1) с двумя дополнительными независимыми переменными г и Q наталкивается на значительные трудности. При анализе электрической конденсации используем приближенный метод моментных соотношений, разработанный для более простого случая, когда / = /( ,К,г) [17]. Введем моменты от функций распределения / = /( , К, г, (5) по формулам [c.681]

Параметрическое возбуждение процессом со скрытой периодичностью. Параметрические резонансы возникают при выполнении определенных соотношений между частотами системы. Если параметрическое воздействие представляет собой случайный процесс со скрытой периодичностью, то можно ожидать, что аналогичные резонансные явления будут наблюдаться и в стохастической системе. Подробное обсуждение этого вопроса с использованием модифицированного метода моментных функций приведено в [15]. [c.309]

Если левую и правую части уравнения (3.1) усреднить по множеству реализаций (этот метод называется методом моментных функций) [6], то получится соотношение, которое содержит математическое ожидание процесса (и) и момент третьего порядка [c.79]

Рассмотрим вначале применение метода неопределенных множителей Лагранжа при ограниченном числе моментных соотношений. Для пояснения методики воспользуемся простейшим примером, приводящим к распределению Больцмана. [c.57]

Итак, приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61]

Бимодальный характер распределения обнаруживается в этом примере и при помощи приближенных методов. Рассмотрим моментные соотношения, которые получаются для системы [c.76]

Неоднозначность стохастических решений, связанная с применением приближенных методов (статистической линеаризации. моментных соотношений), в большинстве случаев может быть устранена путем построения безусловного распределения по принципу максимума энтропии. Однако в ряде нелинейных систем неоднозначность распределений обусловлена механическими причинами [10] и является характерной особенностью поведения статистического ансамбля. Это относится к нелинейным системам при случайных воздействиях, содержащих узкополосные компоненты. [c.81]

Приближенные решения нелинейных задач статистической динамики могут быть построены, как показано выше, двумя способами. Первый способ основан на непосредственном анализе уравнений относительно моментных функций фазовых переменных. Моментные соотношения выводятся путем интегрирования уравнений типа Колмогорова при этом не используются какие-либо априорные предположения о распределении выходных функций. Для дальнейшего анализа применяется метод редукции с привлечением дополнительных гипотез о свойствах старших моментов [2]. [c.88]

Моментные соотношения типа (4.9), (4.10), как и в предыдущих примерах, образуют бесконечную систему связанных уравнений, для анализа которых может быть использован метод редукции. [c.90]

Трудности реализации метода редукции хорошо известны. Поэтому, за исключением простейших примеров типа (4.5), для инженерных приложений более целесообразно применение вариационных подходов, основанных на явной аппроксимации распределений. В этом случае отпадает необходимость использования теории марковских процессов. Кроме того, при проведении практических расчетов достаточно ограничиться моментными соотношениями первого и второго порядков, т. е. дополнительными условиями, которые соответствуют выполнению исходных уравнений движения в среднем и в среднем квадратическом. [c.90]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Вывод и анализ моментных соотношений для нелинейных систем при помощи спектрального метода основаны на представлении произведения случайных функций через интегралы типа свертки. Такое представление возможно лишь для рациональных функций, описывающих нелинейные характеристики. Если нелинейные зависимости выражаются через неаналитические функции, то для составления уравнений относительно моментов фазовых переменных может быть использован корреляционный метод в сочетании с подходящей аппроксимацией совместной плотности вероятности исследуемых процессов. Поясним этот подход на примере системы с одной степенью свободы. [c.105]

Очевидно, что интегралы типа (4.85), входящие в моментные соотношения, не всегда могут быть вычислены аналитически. Это зависит от вида нелинейной функции F (и). В сложных случаях необходимые расчеты можно произвести путем численного интегрирования по методу Симпсона с применением ЭВМ. [c.112]

Анализ моментных соотношений по методу редукции [c.137]

Анализ моментных соотношений удобно производить при помощи численных методов, например путем интегрирования по способу Рунге—Кутта при некоторых начальных условиях. На рис. 5.4, а показана эволюция границ области устойчивости [c.146]

Флуктуации коэффициента постели будем по-прежнему полагать случайной стационарной функцией гауссовского типа с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем искать решение уравнения (6.44), удовлетворяющее некоторым условиям закрепления балки при л = 0. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом моментных уравнений, вывод которых в одномерном случае можно осуществить на основе соотношений теории марковских процессов с непрерывным временем t = х. [c.183]

Расчет балки "с помощью метода моментных площадей начинается с тех же самых шагов, что были описаны выше, а именно выбора лишних неизвестных сил и удаления их из конструкции для того, чтобы отождествить ее со статически определимой основной системой. Затем предполагается, что нагрузка действует на основную систему, и строится соответствующая эпюра изгибающих моментов. Точно так же и лишние неизвестные рассматриваются как нагрузки, действующие на основную систему, и снова строятся эпюры вызываемых ими изгибающих моментов. На этом этапе привлекаются теоремы о моментных площадях, что дает дополнительные соотношения в виде уравнений, куда входят площади и статические моменты площадей эпюр М1 Е1). Конкретный вид используемых соотношений зависит, естественно, от типа балки и выбора лишних неизвестных. [c.282]

Выражения для обобщенных параметров НДС оболочки выводятся из геометрических и физических уравнений теории пологих оболочек с помощью процедуры метода Канторовича-Власова, когда соответствующее уравнение моментного состояния умножается на Xi x) и безмоментного состояния - на Х2 х) И интегрируется в пределах оболочки. В этом случае через функции R y) и Г у) можно выразить статические и кинематические параметры оболочки. Для этого необходимо построить 7 производных фундаментальных функций (см. таблицу 7.17) и использовать соотношения (7.154)-(7.156). Получается 8 уравнений. Система 8 уравнений при у=0 в силу свойств фундаментальных функций ФДо), ЖДо) распадается на две системы 4-го порядка [c.495]

Как следует из приведенных примеров, в прикладных исследованиях разработка приближенных методов решения нелинейных задач статистической динамики шла в основном по пути преобразования исходных уравнений с целью приведения их к линейному или квазилинейному виду. Между тем, основная проблема заключается в изучении характера распределений неизвестных функций, в определении хотя бы приближенного вида плотностей вероятности и соответствующих соотношений для старших моментных функций. Эти вопросы для определенного класса задач решаются при помощи приближенных методов, осно- [c.37]

Из условий (6.29) и (6.30) не вытекает аналогичное свойство для спектра нормального прогиба W k) взаимных моментов третьего порядка типа (С k-i) W k ) W k ). Для вывода замкнутых соотношений относительно моментных функций случайных спектров воспользуемся, как и при решении нелинейных задач, вариационным методом. Представим случайное поле w (л) в виде ряда по степеням гауссовской функции Wo (х) [c.179]

В связи с этим представляется перспективным предложенный в работе [18] метод получения априорных асимптотических соотношений между классическими и моментными коэффициентами интенсивности. [c.132]

Па основе сформулированной системы уравнений разработаны приближенные методы расчета ЭГД струйных течений. Они основаны на использовании моментных аналогов уравнения (3.1) со специальной процедурой их замыкания, интегральных соотношений для струйных течений, выделении класса условий, для которого ( Е ) = О, и задании экспериментального распределения какой-либо одной характеристики течения. [c.633]

Итак, на примере одномерной задачи о распространении продольных волн в стержне со случайными характеристиками мы убеждаемся в идентичности результатов, которые получаются при помощи спектрального метода и метода моментных соотношений в квазигауссовском приближении. [c.238]

При второй фазе движения R = = onst, но при этом падает давление на границе пласта, ф (В .) f (t)- В первом случае неизвестна R (t), во втором фТ (.flft) = / (<) Для их определения используется уравнение материального баланса. Принципиальной разницы в различных вариантах метода моментных соотношений нет. Они различаются только формой заданной функции / (Q, г, t). [c.229]

Отметим в заключение развитые приближенные методы решения задач неустановившейся фильтрации в треш,иновато-пористых пластах — метод моментных соотношений и метод коллокаций Следует подчеркнуть, однако, что применение здесь метода моментных соотношений, строго говоря, требует введения двух характерных зон изменения давления (см. стр. 205 — 208). [c.246]

Следуя идее С. А. Христиановича, Г. И. Баренблатт (1954) при анализе неустановившейся фильтрации в конечном пласте применил метод моментных соотношений, подобный развитым в теории пограничного слбя. При этом получается последовательность уравнений, решение [c.623]

Метод моментных соотношений, введенный ранее в теории упругого режима фильтрации жидкости был применен для расчета движения газа Лан Чжан-сином (1961). Впоследствии этот метод эффективно применялся Г. А. Зотовым и др. [c.627]

Предположим для определенности, что спектральная плотность стационарного случайного воздействия q t) является дробно-радиональной функцией. Тогда на основании уравнения движения типа (1.88) можно вывести моментные соотношения любого порядка. Для этого можно использовать уравнения теории марковских процессов (см. 1,5] или другие классические методы. В третьей главе данной книги показано применение корреляционного и спектрального методов вывода моментных соотношений в задачах с произвольными нелинейными функциями, в том числе неаналитическими. [c.35]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Основной целью разрабатываемой методики является получение приближенных решений при помощи прямых методов для конечного, не слишком большого числа моментных соотношений. В этом случае задача об условном максимуме энтропии не вырождается и формулируется по существу как изопериметриче-ская задача вариационного"исчисления. [c.42]

Фактически область применимости вариационного принципа в стохастических задачах динамики механических систем более широка, так как здесь, как и в статистической физике, не используется марковское свойство рассматриваемых процессов. Для вывода моментных соотношений, помимо уравнений типа Колмогорова, мбгут быть использованы и другие методы. В гл. 4 показано применение спектрального и корреляционного способов составления уравнений относительно моментных функций для нелинейных систем. [c.46]

Второй способ состоит в применении прямых методов решения стохастической задачи, сформулированной как задача вариационного исчисления. В этом случае приближенные выражения совместных плотностей вероятности задаются в явном виде, что позволяет для вывода моментных соотношений использоватй корреляционный и спектральный методы без привлечения теории марковских процессов. [c.88]

Воспользуемся для решения стохастических задач устойчивости вариационным методом, который был изложен выше применительно к нелинейным системам. Рассмотрим вновь простой методический пример, соответствующий параметрическим колебаниям безмассоБой системы при экспоненциально-коррелированном воздействии. Стохастические уравнения движения имеют вид (5.14), система моментных соотношений — форму (5.16). [c.147]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

В настоящее время используются различные методы обработки данных испытания скважин на нестационарный приток. Метод обработки кривых нарастания давления был предложен И. А. Чарным (1955). В работе Е. М. Минского, Ю. П. Коротаева и Г. А. Зотова (1959) развит способ учета отклонения от закона Дарси из-за инерционных потерь в призабойной зоне. Метод обработки кривых стабилизации давления был впервые предложен Б. Б. Лапуком и В. А. Евдокимовой (1950) для пуска скважины с постоянным дебитом. Последнее условие оказалось практически нереализуемым, в связи с чем метод был обобщен на случай переменного дебита. Для обработки данных работы скважины на второй фазе предложен метод интерпретации кривых стабилизации давления (Г. А. Зотов, 1965), использующий моментные соотношения. [c.628]

Другой метод замыкания редуцированных систем уравнений основан на использовании гипотезы квазигауссовости [19], позволяющей выразить лишние моментные функции высокого порядка через вторые моменты. Предполагается, что моментные функции для исследуемой нелинейной системы подчиняются соотношениям, которые справедливы для гауссовских процессов. Нечетные моменты центрированных нормальных величин равны нулю. Четные моменты произвольного порядка выражаются через вторые моменты по формуле [c.24]

Статистический анализ системы (1.100) выполняют далее при помощи метода импульсных переходных функций в сочетании с операцией осреднения по множеству реализаций. Основная трудность заключается в том, что статистические характеристики случайных функций Uj i) выражаются через моментные функции высокого порядка относительно предыдущих приближений. При этом, начиная с ( ), утрачивается свойство гауссовости распределений вследствие нелинейного характера правых частей системы (1.100). В результате на каждом этапе вычислений уравнения относительно статистических характеристик Uj t) остаются незамкнутыми, что приводит к необходимости дополнительных предположений типа гипотез гауссовости или квазигауссовости. Однако гипотеза гауссовости сразу снимает проблему замыкания, т. е. делает ненужной замену исходного нелинейного уравнения какими-либо эквивалентными соотношениями типа (1.89), (1.100). [c.37]

Важной особенностью спектральногоХметода я вляется возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [c.98]

Важной проблемой для моментных методов является выбор граничных условий, которым должны удовлетворять решения моментных уравнений. Особых трудностей не возникает для методов, основанных на кусочно непрерывных функциях от , если разрывы расположены так, что они имеют место на границах при —0. В случае аппроксимации функции распределения непрерывными функциями типа (2.2) мы сталкиваемся с той трудностью, что граничные условия выражают функцию распределения вылетающих с поверхности частиц через функцию распределения падающих поэтому из граничных условий можно получить соотношения только для полупространственных моментов. [c.393]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...