Теория марковских процессов — Методы

МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [c.294]

Вводные замечания. Методы, основанные на теории марковских процессов, позволяют в некоторых случаях найти распределения выходных процессов. При использовании теории непрерывных марковских процессов (см. гл. ХУП) необходимо наложить некоторые ограничения на вид оператора L и внешнее воздействие f (/) в уравнении (2). [c.294]

Остановимся кратко на основных методах, которые используются в настоящее время при вероятностном исследовании нелинейных систем. Точное решение нелинейных уравнений статистической динамики принципиально возможно методами теории Марковских процессов. Многомерные распределения, переходные вероятности, моментные функции процессов получают на основании уравнений типа Фоккер — Планка — Колмогорова. Однако применение методов теории Марковских процессов в конкретных инженерных задачах до сих пор ограничено из-за вычислительных [c.78]

В предыдущих параграфах при исследовании случайных колебаний использовались только два первых момента случайных функций (математические ожидания и корреляционные функции). Однако не все задачи могут быть решены методами корреляционной теории. В прикладных задачах, когда требуется решать нелинейные уравнения, определить все вероятностные характеристики методами корреляционной теории нельзя. Кроме того, решение ряда конкретных задач требует знания не только вероятностных характеристик, но и законов распределения выхода. Такие задачи решаются методами теории Марковских процессов [7, 42]. [c.85]

Множитель, входящий в формулу (3.37), представляет собой дисперсию решения при j, = О, т. е. дисперсию решения линейного уравнения. На рис. 3.2 приведены кривые изменения безразмерных коэффициентов и в Зависимости от безразмерного параметра jaj. Из рисунка следует, что в интервале изменения безразмерного параметра (О— 0,15) безразмерные коэффициенты hi и /i2 мало отличаются друг от друга, т. е. значения дисперсий о1, подсчитанные по методу статистической линеаризации и с использованием теории Марковских процессов, практически совпадают. При значениях Xi >0,15 погрешность при определении по методу статистической линеаризации может быть весьма большой. Так, например, при iJ,i = 0,4 ошибка в определении достигает приблизительно 25%. [c.88]

Методы теории марковских процессов допускают обобщение на широкий класс воздействий в виде стационарных случайных [c.20]

После усреднения за период получаются укороченные дифференциальные уравнения относительно Л ( и г ) (О, на основании которых составляются соотношения теории марковских процессов. Благодаря введенным упрощениям уравнения типа Колмогорова можно проанализировать при помощи приближенных аналитических или численных методов. Подробное изложение этой методики приводится в ряде работ [18, 29], посвященных решению этого специального класса задач. В отличие от указанных работ в данной монографии развиваются подходы к исследованию нелинейных случайных колебаний без ограничений на интенсивности, масштабы и скорости изменения флуктуаций входных и выходных функций. [c.38]

Трудности реализации метода редукции хорошо известны. Поэтому, за исключением простейших примеров типа (4.5), для инженерных приложений более целесообразно применение вариационных подходов, основанных на явной аппроксимации распределений. В этом случае отпадает необходимость использования теории марковских процессов. Кроме того, при проведении практических расчетов достаточно ограничиться моментными соотношениями первого и второго порядков, т. е. дополнительными условиями, которые соответствуют выполнению исходных уравнений движения в среднем и в среднем квадратическом. [c.90]

Таким образом, спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем существенно отличается от метода момент-ных соотношений, основанных на теории марковских процессов. Разрешающие уравнения спектрального метода (4.31), (4.41), (4.47) выведены для произвольно го вида спектральной плотности воздействия. Это позволяет не вводить предположение о дробно-рациональном характере функции 5,(<о). Далее, метод спектральных представлений наряду с моментами фазовых переменных позволяет исследовать двухточечные характеристики случайных процессов, т. е. спектральные плотности и корреляционные функции. [c.98]

Флуктуации коэффициента постели будем по-прежнему полагать случайной стационарной функцией гауссовского типа с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем искать решение уравнения (6.44), удовлетворяющее некоторым условиям закрепления балки при л = 0. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом моментных уравнений, вывод которых в одномерном случае можно осуществить на основе соотношений теории марковских процессов с непрерывным временем t = х. [c.183]

Теория марковских процессов позволяет исследовать задачи, связанные с анализом переходных процессов в механических системах, решение которых методами корреляционной теории получить невозможно. К таким задачам, которые решают методами марковских процессов, относятся задачи определе- [c.149]

Изложенный в предьщущем пункте метод статистической линеаризации позволяет нелинейное уравнение свести к линейному. Но ответить на вопрос, с какой точностью получено решение, нельзя. Для этого надо знать точное решение, которое, например, в ряде случаев можно получить, воспользовавшись теорией марковских процессов. [c.226]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Метод усреднения. Этот метод использует известные идеи Крылова-Боголюбова в теории нелинейных колебаний. Если исследуемый колебательный процесс имеет узкополосный спектр, то уравнения движения могут быть усреднены за период колебаний. Затем применяют либо корреляционную теорию, либо теорию марковских процессов. Подробное изложение метода усреднения применительно к случайным функциям содержится в монографии [27, где рассмотрено большое количество нелинейных и параметрических задач. [c.540]

Методы теории марковских процессов 541 [c.541]

Разновидности и характеристика общая 514, 523 --Методы решения с использованием кинетических уравнений 515—517 — см. также Теория марковских процессов — Методы [c.551]

Заметим, что для расчетов реакции системы на термические возмущения применяется также целый ряд других методов, основанных на кинетических уравнениях (см. гл. VII), на теории брауновского движения и марковских процессов (см. гл. V), метод неравновесного статистического оператора ) и др. [c.182]

Полные аналитические зависимости по надежности можно составить, используя теорию марковских случайных процессов, или методом численного моделирования с последующим расчетом на ЭЦВМ или на специальных аналого-цифровых моделирующих машинах. Однако ряд задач более простого характера можно решить по элементарным зависимостям теории вероятностей [4 в 5]. [c.11]

Вероятностно-статистические методы моделирования процесса смешивания компонентов в рассматриваемых смесителях основаны на предположении, что отдельные частицы перемещаются в рабочем объеме смесителя случайным образом. Для описания подобного процесса наиболее эффективно применять теорию дискретных в пространстве и непрерывных во времени марковских процессов. Для описания таких процессов применяют диффе- [c.145]

В предьщущих разделах бьши рассмотрены только первые два момента теории случайных функций — математическое ожидание и корреляционная функция. К сожалению, далеко не все прикладные задачи могут быть решены методами корреляционной теории - например, часто возникающая при анализе динамических систем задача об определении вероятности превышения ординаты случайной функции заданных значений. Эти задачи можно решить, если ограничиться процессами, обладающими некоторыми специальными свойствами, но представляющими практический интерес. В предьщущих параграфах методы корреляционной теории использовались для анализа систем с линейной связью между входом и выходом. В этом случае корреляционная теория дает возможность получить вероятностные характеристики решения дифференциальных уравнений, если известны вероятностные характеристики возмущений. Получить решение нелинейных уравнений методами корреляционной теории нельзя. Однако, если ограничиться процессами, обладающими специальными свойствами, можно получить решение и для нелинейных задач статистической динамики. К таким процессам относят марковские процессы, для полной характеристики которых достаточно знать только двумерные законы распределения. [c.123]

Описанный выше метод построен по аналогии с процессами, происходящими в реальном газе. В его основе лежат те же статистические гипотезы, что и в уравнении Больцмана. Однако строгая теория метода, основанная на последовательном рассмотрении имеющих здесь место марковских процессов, еще не создана. В имеющихся к настоящему времени реализациях метода оправданием выбранной постановки математического эксперимента служило правдоподобие полученных результатов (см. 4.2, 4.4, 6,6). Сходимость метода для каждой задачи проверялась в процессе расчетов. [c.228]

Особенности механических задач теории надежности. Методы решения задач надежности существенно зависят от вида нагружения. Будем различать дискретное и непрерывное нагружения. Дискретные нагружения могут быть как однократными, так и многократными. Поведение системы при таких нагружениях может быть описано в рамках классической теории вероятностей и теории марковских цепей. Но, как правило, внешние воздействия представляют собой стационарные или нестационарные случайные процессы. Поведение системы при этих воздействиях, включая накопление повреждений в системе, также представляет собой случайный процесс. Надежность и долговечность механических систем при непрерывной эксплуатации может быть правильно понята, описана и рассчитана лишь на уровне теории случайных процессов. Понятие надежности нельзя рассматривать вне времени, в отрыве от понятия долговечности. Только опираясь на аппарат теории случайных процессов, можно получить решение задач о невыгоднейшем сочетании нагрузок, о законе распределения долговечности конструкций и т. д. [c.169]

Функции Крылова 294—297 --марковских процессов — Методы 516, 517, 540—544 — Уравнение Понтрягина 543, 544 — Уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова 540— 542 — Уравнение Фоккера— Планка — Колмогорова для механических систем 542, 543 Теория оболочек — Применение 495 — Уравнения для динамического случая 418—421, 448, 454 — Уравнения упрощенные 424, 425 [c.566]

В линейных задачах теории распространения волп в средах со случайными неоднородностями при условии малости флуктуаций амплитуд полей применяются хорошо разработанные методы, основанные на последовательном усреднении по случайному процессу рядов теории возмущений [1—3]. Существенные результаты в линейной теории получены и для сильных флуктуаций с применением аппарата теорий марковских случайных процессов (см., например, [7, 8]). [c.146]

Вероятностные методы анализа хаотических колебаний разрабатывали Хсу и его сотрудники из Калифорнийского университета в Беркли [83—83, 96] (автор последней работы сейчас работает в Штуттгарте). Этот метод, предполагающий деление фазового пространства на множество ячеек, использует некоторые идеи теории марковских процессов. Вероятностные методы, по-видимому, окажутся к месту в наступающем веке суперкомпьютеров, и их популярность может стать шире, если реализовать их в схеме параллельных численных расчетов. [c.159]

Пределы допускаемой погрешности измерения влияющих величин определяются по установленному выше критерию г) для отклонений от нормального значения. Методы экстраполяции данных по Ду во времени при непрерывном, стационарном, нормальном и дифференцируемом процессе изменения погрешности Ау подобны принятым для ускоренных испытаний. В частности, эффективно применение теории выбросов случайных функций. С этой целью для ускоренных оценок устанавливаются совмещенные границы бин = 0, что соответствует возможности экстраполяции во времени на порядок по сравнению с продолжительностью проведения эксперимента. При недифференцируемом случайном процессе возможно применение теории марковских процессов, метода Монте-Карло и др. [c.38]

Предположим для определенности, что спектральная плотность стационарного случайного воздействия q t) является дробно-радиональной функцией. Тогда на основании уравнения движения типа (1.88) можно вывести моментные соотношения любого порядка. Для этого можно использовать уравнения теории марковских процессов (см. 1,5] или другие классические методы. В третьей главе данной книги показано применение корреляционного и спектрального методов вывода моментных соотношений в задачах с произвольными нелинейными функциями, в том числе неаналитическими. [c.35]

Для проверки справедливости принципа максимума энтропии воспользуемся вариационным методом для выводаТнекоторых известных распределений, которые получаются на основе теории марковских процессов. Простейшим является распределение Боль- [c.42]

Второй способ состоит в применении прямых методов решения стохастической задачи, сформулированной как задача вариационного исчисления. В этом случае приближенные выражения совместных плотностей вероятности задаются в явном виде, что позволяет для вывода моментных соотношений использоватй корреляционный и спектральный методы без привлечения теории марковских процессов. [c.88]

Важной особенностью спектральногоХметода я вляется возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [c.98]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

Результаты исследования уравнения (53) для различных типов функции V х, х) и различных возмущающих процессов f (1) приведены в работах [40, 41, 54]. В работах [44, 53] даны результаты исследований точности метода статистической линеаризации при.менительно к некоторым простым систе.мам. Эти исследования основаны на сравнении результатов с точными выражениями, полученными при помощи теории марковских процессов. Вычисления показывают, в частности, что точность метода тем выше, чем меньше интенсивность возмущающего процесса (с увеличением последней возрастает эффективная нелинейность системы). [c.539]

Изучение их надекности в производственных условиях монет производиться аналитически, используя теорию марковских случайных процессов, методом численного моделирования с последующим расчетом на ЭЦВМ или на специальных аналого-цифровых моделирующих машинах. [c.118]

Во втором случае уравнения содержат случайные функции типа белого шума. Такие уравнения получаются в результате предельного перехода от уравнений, описывающих системы, находящиеся под быстропеременнымн воздействиями. Аналога таким уравнениям в классической теории не существует и для них разработана специальная теория стохастических дифференциальных уравнений типа К. 11то [16]. Когда решения этих уравнений являются марковскими процессами, существуют эффективные методы определения конечномерных распределений решения. [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...