Приближенное решение кинетического уравнения

Коэффициент электропроводности газовой системы можно вычислить по формулам, полученным путем приближенного решения кинетического уравнения Больцмана. Для его оценки обычно используется элементарная формула [c.154]

Токи и ПОЛЯ меняются с частотой ш, и проводимость а может быть функцией (I). Эту зависимость мы получим из приближенного решения кинетического уравнения. Сейчас задача состоит в решении уравнений Максвелла. Для поперечного электрического поля, рассматриваемого здесь, не происходит накопления зарядов [c.352]

Приближенное решение кинетического уравнения [c.48]

Точность приближения решения кинетических уравнений получается от того, что равновесные распределения в интеграле столкновений (62) дают точный нуль, соответственно, при вычислении интеграла столкновений нужно считать только перекрестные члены /(/о,/ ). [c.249]

Найдя 2° из решения первого уравнения системы (7.9) и подставив его в уравнение (7.7), Боголюбов получил в качестве первого приближения известное кинетическое уравнение Больцмана. Второе приближение дает поправочные члены к уравнению Больцмана. Их вычисление было проведено Чо и Уленбеком. [c.110]

Газ или жидкость гидродинамически описывается в том или ином приближении в зависимости от используемого при этом решения кинетического уравнения Больцмана для функции распределения /(г, V, t). Так, при локально равновесном максвелловском распределении /о (8.6) жидкость описывается гидродинамическим уравнением как идеальная сплошная среда — без вязкости и теплообмена между различными ее участками. В самом деле, тензор внутреннего напряжения (8.16) при f = fo равен [c.141]

Метод Чепмена—Энскога. В 1911—1920 гг. Чепмен и Энског разработали метод решения кинетического уравнения Больцмана, основанный на теории возмушений. По этому методу функция распределения разлагается в степенной ряд по малому параметру е, используя в качестве нулевого приближения локальное распределение Максвелла о [c.143]

Применение метода сферических гармоник при расчетах теплообмена излучением в диффузионном приближении. Эффективным средством решения уравнения переноса является метод сферических гармоник. Этот метод достаточно хорошо разработан в приложении к решению кинетического уравнения переноса нейтронов. Запишем уравнение переноса излучения в предположении, что процесс является стационарным и рассеянием можно пренебречь, излучение серое. Кроме того, предположим, что излучение находится в локальном термодинамическом равновесии и, следовательно, спонтанное испускание излучения зависит только от локальной температуры Т. Тогда [c.175]

В реальных ситуациях при наличии большого числа неупругих процессов со сложным характером зависимостей сечений от энергии электронов точное решение кинетических уравнений становится невозможным, и поэтому основное значение приобретают приближенные методы расчета средней энергии электронов путем анализа баланса их энергии. Основные представления о характере взаимосвязи средней энергии электрона с усло- [c.79]

Хотя мы получили точные уравнения для параметров отклика и точные выражения для поправок к средним значениям динамических переменных, следует отметить, что успех применения всего изложенного формализма к конкретным задачам в значительной степени зависит от удачного выбора базисным динамических переменных Р . Далее мы покажем, что все наборы базисных переменных оказываются эквивалентными, пока мы имеем дело с точными формулами линейной реакции. Однако это не так, если корреляционные функции вычисляются приближенно, скажем, методами теории возмущений. Как правило, чем меньше динамических переменных включено в базисный набор, тем выше порядок приближения, который приходится учитывать. Ситуация здесь во многом аналогична той, которая встречается в вариационном методе решения кинетического уравнения Больцмана [78]. Интересно, что для решения уравнений линейной реакции также можно сформулировать вариационный принцип, относящийся к различным наборам базисных переменных [68]. Этот вопрос обсуждается в приложении 5А. [c.344]

Решение. Кинетическое уравнение первого приближения метода Энскога — Чепмена можно записать в виде [c.274]

Большое число различных практических задач вызвало к жизни много разнообразных методов решения кинетических уравнений. В частности, для кинетического уравнения Больцмана даже для простейшего случая однокомпонентного одноатомного газа предложено большое число приближенных и численных методов. Многие из этих методов построены скорее на правильной физической интуиции, чем н Г строгом математическом обосновании. [c.5]

Широкие возможности решения задач о трении и конвективном тепломассообмене при градиентном течении жидкостей и газов дает теория пограничного слоя. Сопротивление, которое испытывает тело при движении в жидкости или газе, а также интенсивность тепломассообмена между жидкостью или газом и поверхностью тела в значительной степени обусловлены развитием динамического и теплового пограничных слоев. В случае образования на обтекаемой поверхности ламинарного пограничного слоя получены точные аналитические решения уравнений пограничного слоя для некоторого класса задач. Особенно простым классом точных решений этих уравнений являются автомодельные решения, имеющие место в случае, когда скорость внешнего потока пропорциональна степени расстояния х,. измеренного от передней критической точки, а также при плоскопараллельном и осесимметричном течении вблизи критической точки. В других случаях при невозможности получения точных решений надежные результаты дают методы численного интегрирования или приближенного решения интегральных уравнений количества движения, кинетической, тепловой или полной энергии для пограничного слоя. Разными авторами предложены методы преобразования уравнений пограничного слоя в сложных условиях тече-4 [c.4]

При доказательстве стационарности больцмановского распределения, так же как и при доказательстве Я-теоремы, Больцман исходит из выведенного им основного интегро-дифференциального уравнения для функции распределения, так называемого кинетического уравнения Больцмана. В ряде работ (1880—1883 гг.) он разрабатывает затем методы приближенного решения этого уравнения, выводит из него гидродинамические уравнения и т. д. Уравнение Больцмана является в настоящее время фундаментом всей кинетической теории газов. [c.12]

Решение кинетического уравнения чаш е всего ищется путем разложения функции распределения в ряд по ортогональным полиномам, составленным из косинусов угла между направлением скорости электрона и направлением электрического поля [1]. Обычно ограничиваются первыми двумя членами разложения — симметричной и антисимметричной частью. Очевидно, что такой метод решения применим лишь к системам, которые в первом приближении описываются симметричной функцией, асимметричная часть должна быть малой поправкой. Аналогично в методе Чепмена и Энскога [2] нулевым приближением является максвелловское распределение частиц по скоростям, влияние полей и градиентов учитывается лишь в первом приближении. В связи с этим могут представить определенный теоретический интерес попытки найти такие решения кинетического уравнения, хотя бы в рамках специальных моделей, которые точны в том смысле, что не представляют собой части ряда последовательных приближений. [c.179]

Итак, кинетическое уравнение в принципе описывает изменение всех статистических свойств системы под действием термостата и внешних сил. Подчеркнем, что в отличие от ФДТ решение кинетического уравнения определяет все моменты в неравновесной системе, включая и восприимчивость — отношение первого момента к силе. ФДТ же лишь утверждает, что отношение второго момента равновесной системы к восприимчивости в спектральном представлении есть универсальная функция температуры Ж. Это утверждение зато в отличие от выводов из кинетического уравнения не ограничено никакими приближениями, кроме условия равновесности. [c.77]

Обратим внимание, что здесь все четыре коррелирующие моды могут иметь разные частоты. Отметим также, что поскольку мы использовали первое приближение при решении кинетического уравнения, то молекулы вещества дают во все моменты аддитивный вклад, т. е. многочастичные эффекты не учитываются. [c.169]

Пусть в растворе имеются градиенты т пературы и концентрации Ус. Неравновесные функции распределения в этом случае будут определяться решением кинетического уравнения. Мы будем предполагать, как это обычно делается, ЧТО в каждом данном месте системы имеется локальное равновесие, т. е. в каждом данном месте функция распределения в первом приближении равна равновесной функции с локальными значениями температуры и концентрации. При малых значениях градиентов УГ и Ус изме- [c.152]

Сначала кратко рассмотрим рассеивающий псевдопотенциал, чтобы сопоставить формулу Кубо — Гринвуда и результат решения кинетического уравнения. Для этого нужно выразить время рассеяния через параметры соотношений (3.87) и (3.88). Это легко сделать, если Йш гораздо меньше расстояния между поверхностью Ферми и как начальным, так и конечным состояниями. (Неучтенные вследствие сделанного нами допущения эффекты представляют собой поправки к приближению времени релаксации в кинетической теории.) В этом случае разницей между W н W можно пренебречь и становится справедливым соотношение (3.89) для матричного элемента. Разность волновых векторов входит в проводимость в квадрате, и для изотропной системы, если частота достаточно мала и можно пренебречь разницей модулей векторов кик, можно [c.360]

Последовательные члены разложений потоков ц и выражаются через пространственные производные температуры, давления и скорости различных порядков и в различных степенях. Эти члены должны вычисляться в принципе путем перехода к следующим приближениям в решении кинетического уравнения. Нулевому приближению соответствует локально-равновесная [c.67]

Изложенная в 29 — 32 теория плазменных колебаний основана на решении кинетического уравнения в линейном приближении теории возмущений. Условие ее применимости состоит в малости поправки к функции распределения 8f (29,2) по сравнению с невозмущенной функцией [c.243]

Заметим, что уравнения для последовательных приближений в виде (8,35) могут быть получены и непосредственно из первоначальной формы кинетического уравнения Больцмана (а не из уравнения (8.33)), если искать его решение в виде [c.144]

Первое приближение решения уравнения Больцмана приводит к гидродинамическому уравнению Навье—Стокса с кинетическими коэффициентами для вязкой сжимаемой жидкости [c.144]

Анализ уравнений (2.239) и (2.240) позволяет обнаружить подобие между распределением скорости и температуры в пограничном слое, если V = я или число Рг = 1. Уравнение движения и энергии при этом условии (Рг = 1) становятся идентичными. Это означает, что поля скоростей и температур в пограничном слое подобны, а кривые распределения безразмерной скорости и безразмерной температуры по толщине пограничного слоя одинаковы. Таким образом, физический смысл числа Прандтля состоит в подобии кинематического и теплового полей. Для газов число Прандтля практически не зависит от температуры и давления и определяется в соответствии с кинетической теорией газов атомностью газа для одноатомных газов Рг = 0,67 для двухатомных Рг = 0,72 для трехатомных Рг = 0,8 и многоатомных Рг = 1. Из приведенных значений Рг следует, что полное подобие полей скорости и температуры сохраняется лишь для многоатомных газов. В других случаях имеют место отклонения от подобия. Точные решения дифференциальных уравнений пограничного слоя отличаются большой громоздкостью и сложностью. Приближенные решения могут быть получены из интегральных уравнений пограничного слоя. [c.172]

Если внешним воздействием является радиоактивное облучение, то x — nvt, и задача сводится к определению распределения потока облучения в теле, которое обычно находится на основе кинетического уравнения Больцмана. В ряде случаев [107] можно при решении этой задачи ограничиться диффузионным приближением, согласно которому распределение нейтронов в облучаемом теле определяется уравнением [c.28]

Гидродинамическая теория структуры вязкого скачка уплотнения теряет смысл в случае ударных волн большой амплитуды, когда ширина скачка уплотнения достигает порядка длины пробега молекул. Сильный скачок уплотнения необходимо рассматривать на основе молекулярно-кинетической теории газов, т. е. на основе кинетического уравнения Больцмана. И. Е. Тамм (1965) ) и независимо Г. М. Мот-Смит (Phys. Rev., 1951, 82 6, 885—892) построили приближенное решение кинетического уравнения для этого случая. Решение основано на представлении функции распределения в виде суперпозиции двух максвелловских распределений, соответствующих параметрам начального и конечного состояний, причем коэффициенты, определяющие вес той и другой функций, меняются вдоль координаты от О до 1. Они отыскиваются в ходе решения. Ширина скачка при неограниченном возрастании амплитуды волны pjp стремится к определенному пределу и имеет, как и следовало ожидать из физических соображений, порядок длины пробега молекул. [c.213]

При помощи этого решения из уравнения переноса получается приближение основной системы уравнений сплошной среды, используемое для изучения движения невязких газов и жидкостей. Следующее приближение f служит для вывода уравнений движения вязких газа и жидкости. Отыскивая методом Чэпмэна-Энскога третье приближение решения кинетического уравнения, получаем уравнения, с помощью которых можно решать задачи о движении сильно разреженных газов — задачи молекулярной аэродинамики, весьма актуальные для исследования движения ракет и спутников в верхних слоях атмосферы. [c.21]

Упрощение вычислений, получающееся при силах отталкивания, обратно пропорциональных пятой степени расстояния между молекулами, связано с тем, что время свободного пути при этом не зависит от скорости молекулы (закон упругих шаров дает, напротив, постоянную длину свободного пути). Впоследствии приближенное решение кинетического уравнения (115) для различных законов взаимодействия показало, что упрощение вычислений при- водит при этом и к упрощению процессов, происходящих в газе, причем некоторые более сложные явления вообще отсутствуют. К таким явлениям относится термодиффузия (диффузия газов под действием градиента температуры, а не градиента концентрации). Максвелл, решая задачу для сил, обратрю пропортиональных пятой степени расстояния, ее вообще не обнаружил, и лишь позже Д. Энског и С. Чепмен, рассматривая общий случай, получили ее. [c.543]

В 38 мы нашли единственное известное точное решение кинетического уравнения Больцмана — локальное распределение Максвелла V, t). Оно, как мы видели, описывает движение газа (идеальной жидкости), не обладаюшего ни вязкостью, ни теплопроводностью. Для того чтобы описать более реальное движение жидкости (газа), приходится искать приближенные решения уравнения Больцмана. [c.143]

Решение задач течения и теплообмена в газовой среде может быть произведено на основе кинетической теории [1-12, 1-25, 2-7 и др.]1. При достаточно малых числах. Кнудсена Кп = 1//о, где / — средняя длина свободного пробега молекул, k — характерный размер, решение кинетического уравнения Больцмана может быть аппроксимировано решением в навье-стоксовском приближении, соответствующем подходу с позиции-сплошной среды. Однако при любом сколь угодно малом числе Кнуд-сена вблизи фазовой границы имеется область, в которой течение не описывается в навье-стоксовском приближении. Толщина этой области, называемой слоем Кнудсена, имеет порядок характерной длины пробега I. [c.34]

Классическая теория темиературного скачка и скольжения газа у стенки построена на основании решения кинетического уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда изменение темлературы и макроскопической скорости газа на средней длине овободного пути молекул пренебрежимо малы. Молекулярно-кинетические расчеты тангенциального импульса, передаваемого от движущейся стенки разреженному газу, привели Максвелла [Л. 1] к выражению для коэффициента скольжения [c.514]

Одной ИЗ ОСНОВНЫХ задач теории расчета ядерных реакторов является задача на расчет ячейки гетерогенного реактора (см., нанример, [1]). Для решения этой задачи были разработаны различные приближенные методы, чагце всего базируюгциеся на Pi- и Р3- приближениях (см. [2]). В последнее время выяснилось, что для расчета ячейки необходимы более точные методы, основанные на приближенном регаении кинетического уравнения. К числу таких методов относятся так называемый 5дг-метод Карлсона, а также метод B. . Владимирова (см. [2]). Будем считать, что в основу постановки задачи положено выделение ячейки в виде бесконечного круглого цилиндра по методу Вигнера-Зейца [1], [2. В этом случае в одногрупповом приближении и в предположении, что рассеяние нейтронов изотропно, кинетическое уравнение может быть взято в виде [c.736]

Заканчивая обсуждение интеграла столкновений Балеску-Ленарда, сделаем несколько замечаний. Во-первых, напомним, что выражение (3.4.63) содержит диэлектрическую проницаемость, зависящую от волнового вектора и частоты. Следовательно, в приближении Балеску-Ленарда учитывается динамическая поляризация плазмы. Кроме того, б(к,к Уа) зависит от неравновесных одночастичных функций распределения. Поэтому интеграл столкновений Балеску-Ленарда имеет очень сложную структуру. Что касается равновесного решения кинетического уравнения (3.4.21) с интегралом столкновений Балеску-Ленарда, то оно совпадает с максвелловским распределением. Чтобы это доказать, нужно подставить в формулу (3.4.63) функции [c.229]

Общая с.хема решения кинетического уравнения (14.6) приме-ните.пьыо к вычислению коэффициента диффузии во многом подобна тому, с чем мы познакомились при нахождении теплопроводности и вязкости простого газа. Некоторое усложнение возникает из-за необходимости решения системы двух кинетических уравнений, соответствующих двум компонентам бинарпой смеси. Ниже мы ограничимся приближением одного полинома в разложениях (14.14). Тогда для интересующей нас задачи може.м [c.67]

Методы И. Тани и Э. Труккенбродта требуют больше вычислительной работы, чем метод Б. Твейтса. В частности, хотя распределение толщины потери импульса по обтекаемой поверхности определяется так же, как и в методе Б. Твейтса, соотношения между Я и X, и X и т. д. оцениваются путем приближенного решения интегрального уравнения кинетической энергии. [c.150]

Предэкспоненциальиый множитель написан здесь лишь по размерности более точное вычисление лежит вне рассмотренного приближения и требует решения кинетического уравнения с самого начала с большей точностью. [c.225]

Наряду с этим происходила эволюция методов построения макроскопических моделей для Кп 1. Обращено внимание на то, что фактически метод Чепмена -Энскога дает формальное разложение решения кинетического уравнения по степеням пространственных производных от газодинамических переменных относительно ло-кально-равновесного решения, причем в каждом приближении учитываются, вообще говоря, внепорядковые по Кп члены. Такая особенность - плата за общность получаемых результатов, за то, например, что уравнения Навье - Стокса применимы для всего поля обтекания вне кинетических слоев как для невязких, так и для вязких областей течения. [c.186]

При решении кинетического уравнения Больцмана конечно-разностными методами важен вопрос будет ли интеграл столкновений после аппроксимации стремиться к интегралу столкновений Больцмана, когда шаг сетки в пространстве скоростей стремится к нулю Основным критерием точности вычислений является вьшолнение законов сохранения. В методе [8] законы сохранения удовлетворяются приближению в пределах ошибки вычисления и используются как мера точности. В методе [11] выполняется закон сохранения массы, в [5] развит метод коррекции промежуточного решения, делающий метод консервативным. В консервативных методах [12-16] используется специальный выбор узлов кубатурной формулы, при котором скорости до и после столкновения принадлежат одной сетке дискретных ординат. Благодаря этому законы сохранения выполняются точно при каждом столкновении. [c.154]

Зависимости (22.13) и (22.14) позволяют вынести только качественные суждения о. харакзере из.пенения скорости звена )фиведе-ния, так как для реальных механизмов задается средняя скорость, а не начальная. Поэтому на практике уравнение движения механизма в форме кинетической энергии может быть решено приближенно. Рассмотрим алгоритм одного из приближенных методов решения этого уравнения. [c.286]

Уже сам Больцман подчеркивал, что вывод газокинетического уравнения основывается не только на законах механики, но и на чуждом механике вероятностном предположении при вычислении числа столкновений (5 552аЫапза12), согласно которому вероятность данной молекуле иметь при столкновении скорость V не зависит от вероятности другой молекуле иметь скорость Уь Однако такой ответ не содержал прямой связи между уравнением Лиувилля и кинетическим уравнением Больцмана. Вывод кинетического уравнения Больцмана методом функций распределения Боголюбова позволяет установить, на каком этапе этого вывода вносится неинвариантность уравнения Больцмана относительно обращения времени. Именно использование при решении уравнения для нулевого приближения бинарной функции распределения 2 (необходимое для получения газокинетического уравнения) в качестве граничного условия ослабления корреляции в отдаленном прошлом (7.10) (до столкновения частиц), проводя различие между прошлым и будущим, вводит в кинетическую теорию необратимость. Вследствие этого граничного условия мы получаем необратимое по времени кинетическое уравнение Больцмана при его выводе из обратимого уравнения Лиу- [c.126]

На рис. 2-4 сплошной кривой изображено изменение истинной скорости газа у стенки. Штрихпунктирная граница А выделяет слой Кнудсена и область, где кинетическое уравнение Больцмана с достаточной точностью описывается навье-стоксовским приближением, т. е. с позиций механики сплошной среды. Если были бы известны скорость и температура на границе кнудсеновского слоя, то распределения Wx(x, у) и Т х, у) яринципиально могли бы быть найдены во всей внешней по отношению к слою Кнудсена области путем решения соответствующих уравнений, приведенных в 2-1. Продолжая решение внутрь слоя Кнуд-34 [c.34]

В своих работах Трусделл идет еще дальше, о Н ставит -под сомнение положения газокинетической теории и говорит о современном кризисе в кинетической теории газов. В работе под таким названием он анализирует сложившееся положение в кинетической теории газов и показывает, что вопрос о сходимосоти последовательных приближений отнюдь не тривиален. Для одного конкретного примера им наглядно показано, что могут быть. случаи, когда все приближения оказываются хуже первого, которое является асимптотическим решением. Не исключена возможность, что при строгой постановке задачи это асимптотическое решение. будет ближе к уравнениям Навье — Стокса, чем все существующие приближенные решения уравнения Больцмана. [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...