Решение уравнения Больцмана в первом приближении

Решение уравнения Больцмана в первом приближении [c.106]

Авторы исследования после тщательного анализа результатов своих опытов приходят к следующему выводу. При движении разреженного газа около поверхности твердого тела в случаях, когда на средней длине свободного пути молекул температура изменяется на 1—10° С, а скорость массового движения на то,й же длине меняется на 50—60 м сек вблизи поверхности тела, по-видимому, осуществляется закон распределения тепловых скоростей, соответствующий решению уравнения Больцмана в первом приближении. [c.56]

Известно, что решение уравнения Больцмана в первом приближении приводит уравнение (1-12-5) к форме уравнения Навье—Стокса. Второе приближение, найденное Барнеттом по методу Чепмена — Энскога, вводит в систему [c.52]

G помощью метода Чепмена — Энскога получено решение обобщенного уравнения Больцмана в первом и втором приближениях, т. е. аналоги уравнений Эйлера и Навье — Стокса. Проанализирован случай, когда в первом приближении релаксационные уравнения могут быть приведены к уравнениям типа Ландау — Теллера [2] (частным случаем такой моде- [c.105]

Более трудные и содержательные результаты связаны с изучением течений, близких к равновесным. Линеаризованное уравнение Больцмана дает первое приближение для описания таких течений. Краевые задачи для этого уравнения оказались достаточно сложными. Сейчас, однако, эти задачи изучены настолько полно, что стало возможным их эффективное применение при исследовании решений нелинейного уравнения. На этом пути получены теоремы, гарантирующие разрешимость стационарных задач и разрешимость нестационарных задач в целом. [c.285]

Они получили в первом приближении соотношение для расчета теплопроводности смесей с помощью решения уравнения Больцмана для я-компонентной смеси, которое сводится к решению системы линейных уравнений. Такая процедура справедлива как для молекул, являющихся центрами силового поля, так и для других моделей молекул. [c.88]

Уравнения (1.5) описывают метод последовательных приближений решения уравнения Больцмана. Интересно, что на каждом шаге надо решать одно и то же уравнение с различным неоднородным членом, который должен быть выражен через функции распределения предыдущих приближений. В этом отношении метод подобен методам Гильберта и Чепмена — Энскога здесь, однако, оператор, действующий на неизвестную функцию Ъ-п,, не просто оператор , а более сложный интегро-дифференциаль-ный оператор. Иными сл евами, уравнения, которые нужно решать, столь же сложны, как и исходное уравнение Больцмана, не считая нелинейности, которой мы избежали. Появление в каждом приближении одного и того же оператора позволяет рассмотреть лишь первое приближение, т. е. изучать уравнение [c.142]

Построение полной теории существования и качественного поведения решений уравнения Больцмана служит нескольким целям. Первая из них — получить представление о том, имеют ли решения конкретной задачи или модельного уравнения общее значение или носят лишь частный характер. Более важная цель — определить, существует ли решение вообще. Решение в принципе может отсутствовать, несмотря на убедительность физической аргументации относительно справедливости уравнений и правдоподобность результатов, полученных нестрогими приближенными методами. [c.436]

Найдя 2° из решения первого уравнения системы (7.9) и подставив его в уравнение (7.7), Боголюбов получил в качестве первого приближения известное кинетическое уравнение Больцмана. Второе приближение дает поправочные члены к уравнению Больцмана. Их вычисление было проведено Чо и Уленбеком. [c.110]

Это уравнение отличается от уравнения (3.4.40) тем, что в левой части оно содержит точный двухчастичный оператор Лиувилля Ьаь-, не оператор описывающий свободное движение. Это отличие приводит к двум важным следствиям. Во-первых, с физической точки зрения уравнение (3.4.70) предпочтительнее уравнения (3.4.40), так как на малых расстояниях оно соответствует приближению Больцмана, а не приближению Ландау. Во-вторых, в математическом отношении уравнение (3.4.70) значительно сложнее, чем (3.4.40). Мы видели, что уравнение (3.4.40) может быть преобразовано в точно интегрируемое уравнение в к-представлении, где структура оператора становится очень простой. К сожалению, этот метод не годится для уравнения (3.470), так как в к-представлении Ьаь является интегральным оператором. С другой стороны, больцмановский член достаточно просто учитывается в координатном представлении, но зато в этом представлении сложно рассматривать поляризационные эффекты. Таким образом, проблема построения сходящегося интеграла столкновений для плазмы сводится к математической проблеме решения уравнения для Gab- Возможно, что эту трудность удастся преодолеть путем построения подходящего приближенного решения уравнения (3.4.70). [c.233]

Легко видеть, что к системе уравнений, эквивалентной (5.3), приводит и метод последовательных приближений, если за первое приближение взять свободномолекулярное решение и для получения каждого последующего приближения подставлять предыдущее решение в правую часть уравнения Больцмана. [c.382]

Известно, что решение уравнения Больцмана в первом приближении приводит уравнение (1-5-9) к форме уравнения Навье—Стокса. Второе приближение, найденное Барнеттом по методу Чепмена—Энскога, вводит в систему уравнений движения новые члены, которые уже в какой-то степени учитывают изменения градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно известно под названием супербарнеттовского решения. [c.37]

Как известно, уравнения переноса количества движения и энергии в современной молекулярно-кинетической теории выводят, исходя из решений так называемого интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда можно пренебречь градиентами скоростей и температур по средней длине свободного пути молекул, приводит к уравнениям движения газа в форме Навье — Стокса. Второе приближение, найденное Барнетом по методу Энского—Чепмена, вводит в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены, которые существенным образом меняют законы дисперсии акустических волн. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и темпёратур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно 54 [c.54]

Теория температурного скачка и скольжения потока у стенки, как известно, построена на основании решения уравнения Больцмана в первом приближении и проверялась экспериментально Кундтом, Варбургом, Смолуховским, Лазаревым, Милликеном, Тимирязевым и др. [c.55]

Классическая теория темиературного скачка и скольжения газа у стенки построена на основании решения кинетического уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда изменение темлературы и макроскопической скорости газа на средней длине овободного пути молекул пренебрежимо малы. Молекулярно-кинетические расчеты тангенциального импульса, передаваемого от движущейся стенки разреженному газу, привели Максвелла [Л. 1] к выражению для коэффициента скольжения [c.514]

В разд. 1 гл. IV было указано, что при решении уравнения Больцмана в реальных неравновесных ситуациях нужно полагаться на приближенные методы, в частности на методы теории возмуш,ениГ1. Для этого следует найти параметр е, который при некоторых условиях можно считать малым. В разд. 2 гл. IV предполагалось, что параметр е не входит непосредственно в само уравнение Больцмана. Это привело к рассмотрению линеаризованного уравнения Больцмана, оказавшегося полезным при описании ситуаций, в которых скорость и температура мало отклоняются от своих средних значений. Если искать другие разложения, то первый шаг должен состоять в исследовании порядков величины различных членов, входящих в уравнение Больцмана. Пусть т — характерное время, й — характерная длина, I—характерная скорость молекул тогда (см., например, (П.3.15)) [c.261]

В своих работах Трусделл идет еще дальше, о Н ставит -под сомнение положения газокинетической теории и говорит о современном кризисе в кинетической теории газов. В работе под таким названием он анализирует сложившееся положение в кинетической теории газов и показывает, что вопрос о сходимосоти последовательных приближений отнюдь не тривиален. Для одного конкретного примера им наглядно показано, что могут быть. случаи, когда все приближения оказываются хуже первого, которое является асимптотическим решением. Не исключена возможность, что при строгой постановке задачи это асимптотическое решение. будет ближе к уравнениям Навье — Стокса, чем все существующие приближенные решения уравнения Больцмана. [c.58]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая — Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1 ] (см. также работу Б. Л. Тимана 111]). Вокруг каждого из ионов или электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних частиц, причем распределение плотности заряда в этом облаке определяется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потенциалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и облака. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом в первом приближении приводит к формуле [c.186]

Если заменить столкновительный член в уравнении Больцмана выражением (16.9), т. е. воспользоваться приближением времени релаксации, то уравнение упрощается и становится линейным уравнением в частных производных. Можно показать, что функция распределения (13.17), полученная в приближении времени релаксации, является решением такого уравнения (как и должно быть, поскольку в основе обоих методов вывода лежат одинаковые допущения). Мы пэдчеркнваем эту эквивалентность, поскольку очень часто результаты, подобные найденным в гл. 13, получают не прямо из явного выражения (13.17) для функции распределения в приближении времени релаксации, а на первый взгляд совершенно иным способом — путем решения уравнения Больцмана (16.13) со столкновительныи членом (16.9), соответствующим приближению времени релаксации. Эквивалентность этих двух подходов продемонстрирована в задачах 2 и 3, где некоторые из типичных результатов гл. 13 заново выводятся из уравнения Больцмана в приближении времени релаксации. [c.320]

Решение уравнения Больцмана с точностью выше первого порядка по (р (или, что то же, в следующем порядке по парамефу плотности Яд/у) представляет уже чисто математический интерес. Действительно, итерация интефала столкновений в форме Больцмана означает учет четырехчастичной ситуации, в которой две пары частиц (1-2) и (3-4) не взаимодействуют между собой, т. е. в этом приближении не присутствуют равноценные учтенным вклады от взаимодействий частиц (1-3) [c.329]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...