Замечания по другим методам решения

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ДРУГИМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ [c.134]

Методом Галер кина могут быть решены (и решены) многие другие задачи устойчивости прямоугольных и круглых пластин. Но при всех достоинствах этот метод нельзя считать универсальным методом решения задач устойчивости пластин. Основной недостаток метода Галеркина связан с необходимостью удовлетворения всех граничных условий при выборе базисных функций. Геометрические граничные условия можно выполнить сравнительно легко, но даже для пластин простой формы трудно выбрать базисные функции, удобные для математической обработки и удовлетворяющих всем силовым граничным условиям. Например, в задачах устойчивости прямоугольных пластин с одним свободным краем чрезвычайно трудно подобрать удобную систему базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям на свободном краю. Это замечание относится и к пластинам с упруго закрепленным краем или пластинам с отверстиями. Во всех такого рода задачах приближенное решение удобнее получать энергетическим методом. [c.177]

Замечания 1. Предлагаемый способ прост и вполне достаточен для решения задачи. Конечно, можно было бы использовать и другие чисто численные методы решения уравнений. [c.238]

Математические решения. Уравнения (2.4) и (2.4а) приобретают различные формы, требующие различных типов решений, к( да они применяются к различным физическим задачам. Эти решения будут упоминаться при обсуждении соответствующих задач, но некоторые общие замечания могут быть полезны и здесь. Эти замечания будут посвящены линейному случаю, т. е. тому случаю,, когда степени больше единицы и произведения функции W или ее производных ве рассматриваются, хотя иногда возможно непосредственное получение решений нелинейных уравнений, некоторые случаи которых обсуждены в 5.Ч, по гораздо чаще приходится прибегать к другим методам, подобным энергетическому. [c.66]

Замечание 2. Авторы уже подчеркивали, что вариант (18) целесообразно принимать при заданном пути деформирования, теорию (19) — при задании напряжений, а соотношения (20) — пути неупругого деформирования. Сказанное, конечно, не означает, что по указанным вариантам теории нельзя решать другие задачи сложного нагружения. На самом деле решение задач лишь усложняется. Надо предложить лишь приближенные методы решения. Авторы разработали несколько приемов решения любых задач сложного нагружения. Наиболее эффективным оказался следуюш,ий метод для задач жесткого нагружения сначала надо решить систему соотношений (18) и в качестве первого приближения подставить решение задачи в другие типы соотношений. Если же задано мягкое нагружение, то сначала решается система уравнений (19), и, взяв решение в качестве первого приближения, переходят к решению систем (18) или (20). [c.425]

В заключение сделаем два замечания. Первое связано с тем, что рассматривались только точки трансформации gi = qz. Существуют и другие особенности решений (44.3) — например, в точках, где gi,2 = 0. Как показано в 43, такие особенности приводят к общему росту в среднем адиабатического инварианта / всей системы. Естественно, что проведенное в данном параграфе рассмотрение предполагает, что эффекты, связанные с трансформацией типа (44.4), являются основными. Второе замечание связано с возможностью простого обобщения изложенного метода для произвольного числа связанных колебаний. [c.156]

Ряд примеров решения плоской задачи методом конечных разностей с использованием ЭВМ можно найти в книге [56]. Ограничившись сделанными замечаниями о методе конечных разностей применительно к плоской задаче, кратко остановимся на другом численном методе — методе конечных элементов (МКЭ). [c.328]

Уже сейчас своевременно определить ход решения общей неоднородной задачи, описываемой уравнением (1), и сделать непосредственно по этому уравнению ряд замечаний. Вообще говоря, всегда можно для полуограниченной области поставить задачу, которая описывается уравнением (2) таким образом, чтобы в интервале — < < 1 + 1)] = = / (х) и чтобы g приобретало любую необходимую форму при х>1 Если функция К х—t) несимметрична, то должна быть также сформулирована вторая задача для полуограниченной области, но при х< . Затем следует ожидать, что решения этих двух задач (обозначим их соответственно через Pi и срг) могут быть найдены методом Винера — Хопфа или другим подходящим методом и что tpj и 92 будут незначительно отличаться друг от друга в их общем интервале о пределения (т. е. —1 < х<1), за исключением конечных точек этого интервала. [c.19]

Подобно уравнениям теории электропроводности и теплопроводности, они относятся к эллиптическому типу, вырождаясь в параболическую систему в случаях, когда один характерный линейный размер задачи начинает преобладать над другим, т. е. при наличии некоторого пограничного слоя. Задачи, которые требуется решить, являются краевыми. Они могут быть как линейными, так и нелинейными. Однако высказанные замечания не говорят о том, что конструктору массообменного оборудования обязательно следует знать соответствующие математические методы. В большинстве случаев используются только алгебраические соотношения, полученные из точных решений упомянутых уравнений или из экспериментов. Здесь складывается такое же положение, как и в расчетах электрического тока в цепях с сопротивлениями. [c.28]

Вводные замечания. Рассматриваемые в этой главе методы также относятся к статистическим. Однако они отличаются от изложенных в гл. 2 правилами принятия решения. В методах статистических решений решающее правило выбирается исходя из некоторых условий оптимальности, например из условия минимума риска. Возникшие в математической статистике как методы проверки статистических гипотез (работы Неймана и Пирсона), рассматриваемые методы нашли широкое применение в радио-, локации (обнаружение сигналов на фоне помех), радиотехнике, общей теории связи и других областях. Методы статистических решений успешно используются в задачах технической диагностики [10, 24]. Ниже излагаются основы теории статистических решений, более подробное изложение можно найти в работах [15, 60, 62]. [c.22]

Проблема оптимальной фильтрации, будучи по своей первоначальной формулировке чисто информационной проблемой о наилучшем наблюдении сигналов, в дальнейшем с развитием теории регулирования стала играть одну из главных ролей при решении задач синтеза-оптимальных управляемых систем (ср. замечание на стр. 232). В советской литературе этим вопросам посвящено большое количество работ, с библиографией которых можно познакомиться в упомянутом только что сборнике. За последнее время выяснились многие интересные связи между постановкой проблем фильтрации и другими проблемами оптимального управления. Были исследованы задачи о синтезе оптимальных систем и связанные с ними задачи об оптимальной обработке случайных сигналов для ситуаций, типичных, в частности, в проблемах управления механическим движением. Были исследованы близкие проблемы, связанные со статистической надежностью управления объектами. Наконец, были изучены нелинейные системы, находящиеся под воздействием случайных возмущений. Комбинированием методов гармонической и статистической линеаризации были построены схемы приближенного исследования таких нелинейных систем. Были установлены основные качественные эффекты, характерные для типичных ситуаций. [c.233]

Можно сказать, что решение (2) является точным до первых степеней масс двух рассматриваемых планет. Эта степень точности достаточна для настоящей цели. Член в формуле (2) называется вековым неравенством. Конечно, функция R имеет сложный вид. и отыскание численного значения X является долгим и утомительным делом. Это же замечание можно сделать и о вековых неравенствах других элементов. Метод, предложенный впервые Гауссом ), дает возможность найти численное значение X без предварительного разложения возмущающей функции. Он требует лишь, чтобы для некоторых выбранных моментов времени были известны численные значения координат планеты Р (или какого-либо другого тела) и возмущающей планеты Я, в предположении, что оба тела движутся по эллипсам. Этот метод был использован во многих практических задачах. [c.285]

Каноническое распределение наиболее часто используется в реальных приложениях статистической механики. Это объясняется двумя причинами во-первых, каноническое распределение описывает систему при постоянной температуре, а это условие наиболее легко осуществить в физических экспериментах во-вто-рых, каноническое распределение наиболее удобно для математических преобразований. Ряд основных свойств канонического распределения уже обсуждался в предыдущей главе, но мы снова перечислим их здесь, дополняя некоторыми замечаниями, в особенности относящимися к асимптотической оценке распределения для больших систем. Эти замечания важны для ясного понимания связи между термодинамикой и статистической механикой. Подобные же методы могут быть применены к другим обобщенным каноническим распределениям. Для решения задач группы А этой главы необходимы знания в объеме Основных положений гл. 1 и простейших параграфов настоящей главы, не отмеченных звездочкой ( ) (в частности, такие более сложные вопросы, как преобразование Лапласа и матрицы плотности, не понадобятся). [c.120]

Общие замечания. Как уже отмечалось, энергетический метод позволяет находить эффективное решение задач о несущей способности этот метод широко применяется в различных разделах теории предельного равновесия — в строительной механике стержневых систем, в задачах предельного равновесия пластин и оболочек и т. д. При помощи сравнительно простых вычислений нередко удается построить совпадающие верхнюю и нижнюю границы, т. е. тем самым получить точное значение предельной нагрузки. Простой пример такого рода — растяжение полосы с круговым отверстием — был разобран в 40. Некоторые другие задачи излагаются ниже. [c.300]

В заключение хотелось бы сделать следующие замечания. В настоящее время методы томографии, т, е, восстановления внутренней структуры объекта по результатам его зондирования проникающим излучением, базируются на различных уравнениях, описывающих уравнение распространения в среде. Известны формулы обращения для уравнения Гельмгольца (дифракционная томография, уравнения эйконала и т. д.). В 3.4 предложена схема измерений, получены формулы обращения для случая распространения излучения в среде, подчиняющегося уравнению переноса излучения в различных приближениях. Проведенный анализ этих схем и модельные эксперименты показали принципиальную возможность решения задач определения коэффициента экстинкции и распределения интенсивности в сечении светового поля предложенным методом. При других условиях распространения излучения в среде можно найти, по-видимому, схемы измерения и алгоритмы обращения, которые позволят применить принципы томографии для спектроскопии трехмерных объектов. [c.99]

Подстановка этих рядов в граничные условия даёт последовательность рекуррентных соотношений, из которых определяются коэффициенты и а . Особенно просто решается задача в тех случаях, когда отображающая функция ш(С) есть полином. В этом случае система совместных уравнений, которую приходится решать, оказывается конечной. Важность этого случая для практических приложений заключается в том, что заданную область 6 можно апроксимировать с произвольной точностью областью S , отображаемой на круг при помощи полинома достаточно высокой степени п. На этом может быть построен метод приближённого решения задачи. Ограничившись здесь только этими общими замечаниями, мы займёмся изложением другого метода решения поставленных краевых задач, именно сведением их к некоторым функциональным уравнениям. Этот приём основан на приложении интегралов типа Коши. [c.229]

Сделаем еще одно замечание, касающееся содержания книги. При выборе материала авторы ограничились лишь задачами линейной теории упругости в условиях изотропии и симметричности тензора напряжений. Такой подход диктуется как невозможностью существенного увеличения объема курса, так и тем обстоятельством, что учет таких факторов, как анизотропия, несимметричность тензора напряжений и некоторых других не привел к появлению на сегодняший день каких-либо принципиально новых математических методов и зачастую связан лишь со значительно более громоздкими выкладками (например, учет анизотропии при решении задач методом потенциалов сказывается лишь на структуре фундаментального решения, построение которого приведено в дополнении I). Следует заметить, что методы линейной теории упругости весьма часто в той или иной форме (как промежуточный этап) используются также и при решении задач для меупругих сред, в связи с чем авторы сочли целесообразным привести в дополнениях соответствующие примеры. [c.9]

Заключительные замечания 1. Изложено несколько методов определения числа единиц переноса со стороны газа применительно к расчетам градирен, а именно построение на /-диаграмме, криведенное в 7-4, и решение уравне-ния (7-114) числовыми, аналитическими и другими способами. Какой же из них использовать Правильный ответ зависит, конечно, от конкретных обстоятельств. К примеру метод й/-диаграммы слишком громоздок при относительно низкой температуре воды, а метод [c.343]

В разд. 4 изложены основные сведения о математических методах, широко используемых в инженерной практике и, в частности, при создании новых математических моделей для решения задач теплоэнергетики и теплотехники. Дан необходимый справочный материал. В новой редакции учтены пожелания и замечания читателей, высказанные по предыдущим изданиям. Включен дополнительный материал по полиномиальным преобразованиям, расширены сведения, относящиеся к вероятностным методам. В то же время такие разделы математики, как стоксов формализм, обобщенные функции и некоторые другие, не нашедшие широкого применения в практике инженеров-теплотех-ников, сокращены. За счет этого существенно расширен и переработан параграф Численные методы . Поскольку численные методы вместе с теорией алгоритмов, языками программирования и операционными системами составляют ядро вычислительного эксперимента как новой научной методологии, редакторы серии сочли целесообразным отнести этот материал в следующий раздел, посвященный применению средств вычислительной техники в инженерной деятельности. [c.8]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями теории оболочек привела В. В. Новожилова (1946) к установлению уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии разработки соответствующей теории были определены несущественные члены в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделало систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе-нова, В. В. Новожилов, 1951 В. С. Чернина, 1955), Это замечание относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны в других случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемещений,— в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных (1962, 1964), где излон ены все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие. [c.242]

Поскольку точные решения уравнения Шрёдиигера для любой системы многих тел обычно являются весьма сложными функциями всех переменных, а мы можем оперировать лншь с ограниченным числом функций довольно простого тнпа, то обычно даже самые лучшие функции, получаемые какнм-либо приближённым методом, дают значения энергии, заметно отличающиеся от опытных данных. Однако имеются исключения, как, например, в случае нормального состояния гелия. Этот случай мы в дальнейшем используем для определения источников ошибок в других задачах. Мы начнём с некоторых замечаний об операторе Гамильтона, который будет применяться для твёрдых тел. После этого мы изложим оба упомянутых выше метода. [c.242]

Общие замечания. Несмотря на то, что корреляционные члены, рассмотренные в главах IX н X, повидимому, важны для количественного определения некоторых свойств металлов, мало вероятно, чтобы они часто приводили к существенному изменению свойств. Возможные исключения появляются в связи с такими низкотемпературными эффектами, как, например, сверхпроводимость, которые в настоящее время не поняты полностью. По этой причине мы будем рассматривать валентные электроны простых металлов на основе зонного приближе-иня. Многие свойства электронов -оболочки также можно с качественной стороны рассматривать на основе этого приближения. Этот метод, однако, ие вполне удовлетворителен, так как многие другие свойства электронов -оболочки могут быть объяснены лучше иа основе приближения Гайтлера-Лондона. Отсюда видно, что в это.ч случае ни одна нз этих одноэлектронных схем не является вполне удовлетворительной и что следует рассматривать всю -оболочку в целом. Такое более точное рассмотренне проведено только для немногих случаев, как, например, в теории ферромагнетизма с.учётом спинов, развитой в главе XVI. В настоящее время обычно предполагается, что точное решение даёт тот же результат, что и одноэлектронные схемы, в тех [c.445]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

В самом деле, для нахождения обобщенной реакции, соответствующей координате мы должны вычислить сумму работ реакций связей на перемещении системы, соответствующем приращению этой координаты. Мы заметили выше, что это перемещение будет наверное одним из виртуальных перемещений системы. А мы знаем, что сумма работ реакций идеальных связей на всяком виртуальном перемещении равна нулю. Отсюда и следует, что интересующая нас обобщенная реакция наверное бу-дет равна нулю. Это простое замечание делает понятным, что при решении той или другой проблемы методом обобщенных координат следует подразделять силы, действующие на рассматриваемую систему, на задаваемые (или приложенные) силы и реакции связей (а не на внешние и внутренние силы). Если мы имеем дело с идеальными связями, — а мы знаем, что всегда есть возможность рассматривать связи как идеальные за счет отнесения сил трения к числу задаваемых сил, — то при переходе к обобщенным силам реакции связей автоматически выпадают из наших расчетов. В этом ог-рокное преимущество метода Лагранжа. [c.325]

Взодные замечания. Взаимные возмущения в движении небесных тел были одним из тех вопросов, которому со времен Ньютона посвятили очень много внимания многие великие математики. Не будем говорить о том, что проблема очень трудна и что было изобретено много методов для ее решения. Так как не удалось получить общих решений проблемы, то явилась необходимость изучить специальные классы возмущений при помощи особых методов. Оказалось удобным разделить случаи, возникающие в солнечной системе, на три главных класса а) теория Луны и спутников, Ь) взаимные возмущения планет и с возмущения комет планетами. Метод, который будет дан в этой главе, применим к теориям планет, и в соответствующих местах будет показано, почему ofi неприменим к другим случаям. В последней главе даны ссылки на теорию Луны, в особенности на работы Тиссерана и Броуна. В этой главе будут даны некоторые намеки также на метод вычисления возмущений комет. [c.320]

Чтобы оправдать с математической стороны метод интегрирования уравнений (19), применяемый астрономами, необходимо сделать несколько замечаний относительно /и, и т. Там, где они встречаются неявно в функциях и ф они рассматриваются как постоянные числа там, где они являются множителями при ( >, и они рассматриваются как параметры, по степеням которых и будет разложено решение. Такое обобщение параметров допустимо, потому что если функция содержит параметр двумя различными путями, то нет причины, почему бы она не могла быть разложена по отношению к параметру, входящему одним образом, а не дру1им. Если функция вместо того, чтобы быть заданной явным образом, определяется системой диференциальнь х уравнений, то то же самое можно сказать относительно разложений решений по степеням параметра. Если притяжения тел зависят от чего-то кроме их масс (измеряемых их инерцией) и их расстояний, как, например, от скорости их вращений или температур, то /и, и т. , поскольку они входят в и неявно через л, и л., где они определяются численно из их индивидуальных взаимных притяжений с Солнцем, должны отличаться от тех значений, когда они являются множителями при и потому что в последних случаях они определяются из притяжения друг к другу. [c.329]

Ценность алгебраического подхода подтверждается также достигнутыми им успехами, позволившими существенно расширить общность некоторых замечаний, сделанных относительно моделей Ван Хова и БКШ. Например, в п. 5 мы видели, что при снятии обрезания с взаимодействия из пространства Фока свободного поля исчезает физический вакуум, и это обстоятельство позволяет строить новое представление взаимодействующих полей. Подобная ситуация свойственна не только модели Ван Хова, а встречается также в конструктивных теориях поля Глимма и Джаффе. В п. 6 мы видели, что в модели БКШ вырождение основного состояния связано со спонтанным нарушением калибровочной симметрии. Это обстоятельство наводит на мысль об использовании алгебраического подхода к решению общей проблемы спонтанного нарушения симметрии, и, действительно, в указанном направлении удалось достичь известных успехов. Алгебраический подход позволил также продвинуть решение родственной проблемы — добиться более глубокого понимания механизма фазовых переходов. Различные алгебраические методы успешно использовались при решении многих задач классической и квантовой статистической механики от эргодической теории до исследования конденсации Бозе — Эйнштейна и интерпретации данных по спонтанному намагничению в модели Изинга и способствовали выяснению того, как система приближается к равновесному состоянию. Из других областей физики следовало бы упомянуть исследование оптической когерентности (методом пространства Баргмана). Алгебраический подход позволяет понять, где именно и в каком направлении формализм Баргмана выходит за пределы обычного формализма пространства Фока. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...