Пространство Фока

Главным преимуществом представления вторичного квантования перед другими представлениями является то, что любой оператор А , может быть выражен через стандартные операторы и действующие в пространстве Фока. [c.34]

Пространство Фока 33 Процесс квазистационарный 62 Процессы переноса 90 Пульсации скорости 255 [c.293]

В гл. 1 мы рассматриваем общую мотивировку алгебраического подхода к некоторым физическим проблемам. Эта мотивировка содержит две компоненты. Первая обусловлена недостаточностью обычных фоковских представлений. Кратко напомнив обычный формализм квантовой механики, мы на модели ан Хова показываем, почему одних лишь представлений в пространстве Фока недостаточно. Этому посвящен 1. Второй компонентой мотивировки служит наше стремление выяснить принципиальные основы квантовой механики. Аксиоматическому, или эпистемологическому, обоснованию квантовой механики посвящен 2. Читатель, для которого общая мотивировка алгебраического подхода не представляет особого интереса, может пропустить всю гл. 1 или, быть может, 2 этой главы. Но последние два пункта параграфа ему необходимо прочесть весьма внимательно. В частности, теорема 14 из 2 гл. 1 является ключевой для понимания многого из того, о чем говорится в дальнейшем. [c.9]

ПОЧЕМУ НЕЛЬЗЯ ОСТАВАТЬСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФОКА [c.11]

Помимо уже упоминавшегося асимптотического условия обычно вводят еще одно предположение, согласно которому теорию целиком можно развить в пространстве Фока. Однако Хааг [157], показав необоснованность подобного предположения с точки зрения физики, открыл физикам глаза на необходимость коренного пересмотра традиционного подхода. Позднее (гл. 3, 1, п. 4) мы еще вернемся к тем соображениям и фактам, которые подтверждают мнение Хаага. Пока же перед нами стоит более скромная задача разобраться в проблеме на интуитивном уровне. Поэтому мы на время оставим в стороне возражения Хаага, наметим в общих чертах традиционный подход, применим его к одной модели и проследим за тем, как над ним, предвещая бурю, начнут собираться тучи. [c.17]

Главная отличительная особенность пространства Фока в том, что оно содержит волновые функции любых систем с конечным (а в остальном произвольным) числом степеней свободы и позволяет определить операторы, естественным образом описывающие рождение и уничтожение частиц с определенными волновыми функциями. Вернемся еще раз к рассмотренному нами примеру, в котором гильбертово пространство 3 реализовано в виде 2 (К ), а частицы подчиняются статистике Бозе. Для всех функций / из определим два оператора аЦ) и а Ц), действующих из в по формулам [c.20]

Из этих соотношений следует, что операторы а(/) и а ) ограничены на и поэтому их можно продолжить по непрерывности на все пространство Фока [c.24]

Этими замечаниями мы закончим рассмотрение общих свойств самого пространства Фока Ж. [c.24]

Справедливость данной теоремы также очевидна с физической точки зрения. В самом деле, теорема выражает, например, то обстоятельство, что если Н — одночастичный гамильтониан, то 2 (Я) — свободный гамильтониан для системы, описываемой в пространстве Фока. Другое следствие из теоремы Кука если Ж > — пространство (неприводимого) унитарного представления группы Лоренца, то теорема позволяет указать явный вид законов релятивистских преобразований операторов рождения и уничтожения. [c.26]

Одна из основных причин раннего успеха метода пространства Фока заключается в том, что пространство, построенное так, как изложено выше, хорошо описывает релятивистские свободные поля. Для полноты и определенности мы кратко рассмотрим прототип таких полей на примере скалярного мезона. [c.27]

Пространство Фока, связанное с нашим скалярным мезо- [c.28]

Мы уже в достаточной мере ознакомились с формализмом пространства Фока для свободных полей, чтобы понять, почему этот формализм недостаточен для общего описания взаимодействующих полей. Одним из наиболее простых и поразительных примеров, подтверждающих правильность этого утверждения, служит. модель Ван Хова. [c.30]

Наша первая — вспомогательная — задача состоит в том, чтобы придать точный смысл этому гамильтониану как самосопряженному оператору. Обозначим через 2) область определения (в пространстве Фока) свободного гамильтониана Яо = = й(ЯоО и убедимся в том, что операторы /= (р) и, следовательно, Я определены на Для этого заметим, что для каждой волновой функции выполняются соотношения [c.31]

Обозначим через голый" вакуум для свободного поля, т, е, вектор в пространстве Фока, удовлетворяющий условиям [c.36]

Подействовав на То, как обычно, всеми полиномами относительно й и й п перейдя затем к замыканию по норме, мы могли бы восстановить пространство Фока для одетого поля. Построенное пространство совпадало бы с исходным пространством Фока, поскольку одетое поле унитарно-эквивалентно голому полю. [c.36]

Предположим теперь, что мы хотим обойтись без обрезания, и рассмотреть случай, когда распределение источников сосредоточено в начале координат, полагая для этого р(к)- -1 (в качестве формфактора можно взять любую вещественную конечную константу). Традиционный формализм в том виде, в каком мы излагали его до сих пор, непригоден для анализа предельной ситуации хотя бы потому, что полный гамильтониан, записанный в приведенной выше форме при р(к) = 1, утрачивает смысл как оператор, действующий в пространстве Фока для голых мезонов. Дополнительные трудности возникли бы, если бы мы попытались (без всяких к тому оснований) втиснуть проблему в рамки старого формализма например, константа перенормировки обратилась бы в бесконечность (один из симптомов ультрафиолетовой катастрофы). И все же физику хотелось бы иметь метод, который позволил бы решать как эту, так и другие задачи того же типа. [c.37]

Чтобы выяснить, куда следует направить усилия в подобном случае, попытаемся отделить существенные аспекты формализма пространства Фока от более случайных, связанных, по-видимому, с избранным нами конкретным способом вычислений. [c.37]

Прежде всего необходимо признать, что первичным объектом теории служат поля и их средние значения. В пространстве Фока полевые величины Р 1) появляются как операторы, определение которых удовлетворяет всем требованиям современной математической строгости. Линейное многообразие 9 (определенное в приведенной нами конструкции пространства Фока) плотно в Ж, содержится в области определения операторов Р () и устойчиво относительно их действия. Рассмотрим более подробно сужения операторов Р 1) на 3 . Образуем все конечные линейные комбинации и произведения этих сужений. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что полученные операторы вместе с тождественным оператором I образуют алгебру, которую мы обозначим символом 91. Определим состояния как нормированные линейные функционалы (ф ) на Я. Рассматриваемая ками задача столь проста, что о введении топологии на 91 можно не заботиться. [c.37]

Следующее, что представляет для нас интерес, это эволюция полевых величин во времени. Она полностью определена, если задан динамический закон Р- Р . Из проведенного нами анализа пространства Фока видно, что свободная эволюция во времени (или эволюция при наличии распределения источников р) [c.37]

Типичным примером может служить модель Ван Хова. В пределе при р(к)->-1 полный гамильтониан Я(р(к) = 1) нельзя интерпретировать как оператор, действующий в пространстве Фока. Но (в этом и проявляется преимущество алгебраической формулировки модели) предел отображения а<(р), определенного нами выще, при р(к)->-1 существует в том смысле, что оператор = + — , р,)/, где р,(к) = 1, является вполне определенным элементом алгебры Я, поскольку условие существования предела сводится к неравенству [c.39]

Покажем, что в пространстве Фока голых мезонов не может существовать вектор То ф О, удовлетворяющий хотя бы первому из двух только что выписанных условий. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что такой [c.39]

Наконец, нельзя не заметить, что, как теперь стало ясно, широко используемый в квантовой теории поля формализм пространства Фока, казавшийся естественным при своем появлении и приведший тогда к известным успехам, обладает определенными недостатками. Избавить теорию от них, по-видимому, может алгебраическая переформулировка проблемы. [c.43]

Естественно ожидать, что странные представления КПС и КАС (один из основных аргументов в пользу формулировки квантовой теории поля, выходящей за рамки пространства Фока) будут встречаться и в других теориях, занимающихся исследованием систем с бесконечным числом степеней свободы. Таким образом, алгебраический подход, первоначально развитый для нужд квантовой теории поля, может оказаться полезным в классической и квантовой статистической механике, поскольку в этих теориях существенную роль играет термодинамический предел. Именно так и происходит в действительности, и сейчас мы кратко рассмотрим некоторые из задач, на которых испытывался и доказал свою ценность алгебраический подход. [c.43]

Я действует в пространстве Фока, построенном из вакуумного вектора То, определяемого соотношением Р (/) То = О для всех 1 2 (К ) [c.46]

Итак, анализ самых разнообразных физических ситуаций дает нам достаточно оснований не оставаться более в пространстве Фока, а обратиться к подходу, носящему более выраженный алгебраический характер. [c.49]

Основной итог аксиоматизации, проведенной в гл. 1, 2, таков, что благодаря конструкции ГНС нам удалось достичь гибкости, недостававшей формализму пространства Фока (гл. 1, 1). Действительно, гильбертово пространство, в котором мы строим представления наблюдаемых (или, если рассматривать все в более общем плане, полей), не фиксировано. Оно зависит от рассматриваемой задачи и, в частности, от способа приготовления исследуемой системы, т. е. в конечном счете от интересующих нас состояний. В такой теории, например, пространство, построенное на вакууме асимптотических полей, может не совпадать с пространством, построенным на вакууме интерполирующих полей. Т0Ч 0 так же пространство представления физической системы, находящейся в термодинамическом равновесии, может зависеть от температуры. [c.105]

В гл. 1, 1 мы видели, что бозе-система характеризуется полем F и канонически-сопряженной с ним величиной Р, причем н F, п Р отображают пространство пробных функций ) 8 в некоторое гильбертово пространство Ж. В представлении в пространстве Фока, рассмотренном в гл. 1, было показано, что P g) и f(/) — самосопряженные операторы, имеющие общую устойчивую плотную область определения и удовлетворяющие следующим каноническим перестановочным соотношениям (см. стр. 28, где y действительно) [c.122]

Стимулом для разработки алгебраического подхода послужила неудовлетворенность диссонансом, слишком часто звучавшим в мелодиях, рождаемых клавиатурой теоретической физики. Чувствовалось, что фальшивые ноты обусловлены методом, обладавшим, с одной стороны, слишком малой чувствительностью и, с другой стороны, слишком узкой областью применимости. Мысль о том, что именно алгебраические методы могли бы исправить ситуацию, почти столь же стара, как и сама квантовая механика. Применяя алгебраические методы, физики надеялись ухватить те элементы, которые позволили бы заложить физические основы математически непротиворечивого формализма. Однако прошло много времени, прежде чем эта программа была претворена в жизнь. Ныне мы достигли такого уровня понимания, при котором нам нет необходимости ограничивать теорию жесткими рамками одного гильбертова пространства для описания различных физических ситуаций необходимы представления в различных гильбертовых простран ствах, и мы уже знаем, как построить представление, соответствующее той или иной физической ситуации. Достигаемая при таком подходе гибкость существенно расширяет традиционный формализм представлений в пространстве Фока, используемый в квантовой механике, и позволяет нам с достаточным основанием уверенно рассматривать свойства систем с бесконечным числом степеней свободы. Такие системы встречаются в статистической механике при переходе к термодинамическому пределу и в квантовой теории поля при попытках построить полностью релятивистскую теорию взаимодействующих локальных полей. [c.7]

Так называемое пространство Фока было введено в квантовую теорию поля Фоком [122] и с тех пор стало привычным инструментом этой теории (см., например, книгу Швебера [354]). Математическая структура пространства Фока была подробно проанализирована в фундаментальной работе Кука [58]. Ниже мы, следуя духу подхода, предложенного Куком, изложим в основных чертах так называемый метод пространства Фока. [c.17]

До сих пор все наши результаты были выведены строго в рамках формализма пространства Фока. Мы видели, что при р е никакие трудности типа плохо определенных преобразований, расходимостей и других обычных неприятностей квантовой теории поля вообще не возникают. Пользуясь обычной физической терминологией, можно было бы сказать, что это объясняется надлежащим выбором формфактора р, достаточно быстро убывающего по и тем самым обрезающего вклад больших значений импульса, благодаря чему сглажи- [c.36]

Поскольку мы условились сосредоточить внимание лишь на аспектах теоррш, непосредственно связанных с полевыми величинами, полученные соотношения вместе с требованием о том, чтобы отображение aJ (или а ) линейно действовало на 91, мы примем за определение свободной эволюции (или — при наличии распределения источников р — динамического закона). Алгебраическое резюме проведенного нами анализа пространства Фока мы завершим, указав в алгебре 91 претендента на роль интерполирующего поля F t). Для этого положим [c.38]

Чтобы получить приведенные выше результаты, нам пришлось отказаться от мысли вычислять эволюцию во времени Рнепосредственно в пространстве Фока, пользуясь плохо определенным гамильтонианом Я(р(к) = 1). Тем не менее мы можем представить и Ft в виде операторов, действующих в пространстве Фока голых мезонов, хотя некоторые традиционные аспекты квантовой теории поля при этом утрачиваются. Остановимся на этом несколько подробнее. [c.39]

Как уже говорилось, математическая структура модели БКШ привлекла внимание целого ряда авторов. Их работы создали впечатление, что различные особенности модели удастся понять, если работать в гильбертовом пространстве, достаточно общир-ном для того, чтобы вмещать континуум неприводимых представлений канонических антикоммутационных соотношений. Отсюда со всей очевидностью следует, что нам придется далеко выйти за рамки обычного формализма пространства Фока. Таким образом, возникает задача (частично решенная в работах названных выше авторов) построить соответствующее пространство-носитель для представлений, которое позволило бы исследовать модель БКШ. [c.47]

Ценность алгебраического подхода подтверждается также достигнутыми им успехами, позволившими существенно расширить общность некоторых замечаний, сделанных относительно моделей Ван Хова и БКШ. Например, в п. 5 мы видели, что при снятии обрезания с взаимодействия из пространства Фока свободного поля исчезает физический вакуум, и это обстоятельство позволяет строить новое представление взаимодействующих полей. Подобная ситуация свойственна не только модели Ван Хова, а встречается также в конструктивных теориях поля Глимма и Джаффе. В п. 6 мы видели, что в модели БКШ вырождение основного состояния связано со спонтанным нарушением калибровочной симметрии. Это обстоятельство наводит на мысль об использовании алгебраического подхода к решению общей проблемы спонтанного нарушения симметрии, и, действительно, в указанном направлении удалось достичь известных успехов. Алгебраический подход позволил также продвинуть решение родственной проблемы — добиться более глубокого понимания механизма фазовых переходов. Различные алгебраические методы успешно использовались при решении многих задач классической и квантовой статистической механики от эргодической теории до исследования конденсации Бозе — Эйнштейна и интерпретации данных по спонтанному намагничению в модели Изинга и способствовали выяснению того, как система приближается к равновесному состоянию. Из других областей физики следовало бы упомянуть исследование оптической когерентности (методом пространства Баргмана). Алгебраический подход позволяет понять, где именно и в каком направлении формализм Баргмана выходит за пределы обычного формализма пространства Фока. [c.49]

Говоря о той роли, которую циклические представления сыграли на раннем этапе разработки квантовой теории поля, мы упомянули о том, что в (циклическом) представлении Фока не только вакуум, но и любой ненулевой вектор в пространстве Фока является циклическим. Это обстоятельство обусло- [c.110]

Эти соотношения говорят о том, что состояние ф нормировано к 1, что оно эрмитово и что оно положительно. В качестве иллюстра1щи (которая понадобится нам в последующем) отметим, что в представлении алгебры Вейля в пространстве Фока функционал ф (/, g), полученный из вакуума, имеет вид [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...