Различные потенциальные функции

Полученные экспериментальные данные по теплопроводности и термодиффузионной постоянной сравнивались с теоретическими, вычисленными по строгой молекулярно-кинетической теории с использованием различных потенциальных функций, а также с учетом неупругих соударений молекул. [c.71]

В виде таблиц приводятся данные по интегралам столкновений для различных потенциальных функций. [c.2]

Расчет третьего коэффициента для различных потенциальных функций. [c.180]

Различные потенциальные функции. Записывая элементы в следующем порядке [c.368]

Действуя таким образом, можно показать, что гравитационный потенциал тела в любой точке можно представить в виде суммы различных потенциальных функций, зависящих от положения точки, формы тела и распределения масс. Во все потенциальные функции в качестве сомножителей входят различные обратные степени расстояния от точки до центра масс тела. Кроме того, поскольку Солнце, планеты и спутники представляют собой по существу сферические тела, то их с высокой степенью точности можно аппроксимировать точечными массами (т. е. за потенциал принимать потенциальную функцию нулевого порядка i/o = = GM/r). Член U2 приходится учитывать только при рассмотрении движения спутника вокруг сплюснутой планеты или при исследовании прецессии и нутации. Член U3 и члены более высоких порядков принимаются во внимание при рассмотрении движения близких искусственных спутников. [c.192]

Таким образом, с точностью до высших степеней мы получили в качестве уравнений фазовых траекторий вблизи положения равновесия, соответствующего минимуму потенциальной функции (а следовательно, и потенциальной энергии), уравнения эллипсов. Эти эллипсы различаются между собой величиной полуосей, определяемой значением /г —Л/. Выбирая различные значения к, мы получаем различные эллипсы, которые по мере приближения Л к Л уменьшаются, стягиваясь в точку (аг,-, 0) при [c.19]

Если изобразить графически функцию V (х) и построить фазовые траектории на основании уравнения + Е (зг)---/г или его решения г/ = г ]/2 [/г — У (л )], то, задаваясь различными значениями Н, мы получим два характерных случая (рис. 1.3, точки А и В). Значение X = Ха соответствует минимуму потенциальной функции V (дг), и точка А (ха, 0) является особой точкой типа центр. Точка В (х , 0), соответствующая максимуму функции V (а ), представляет собой особую точку типа седло и отвечает па фазовой плоскости неустойчивому положению равновесия. [c.21]

Самый простой способ построения плоского потенциального течения несжимаемой жидкости заключается в численном решении краевых задач для уравнения Лапласа относительно различных гармонических функций, связанных с течением. Решение находится во всей области течения (для решетки — в полосе одного периода) путем последовательных приближений с применением различных вариантов известного метода сеток [57]. [c.41]

По ТОЙ же причине потенциальное течение может быть получено также путем суперпозиции нескольких различны.х функций потенциала скорости. Прим. ред.) [c.131]

Задавшись потенциальной функцией, можно вывести теоретическое соотношение для различных свойств газов и их смесей коэффициентов вязкости, теплопроводности, диффузии и термодиффузии. [c.14]

Колебательно-вращательные взаимодействия в пределах каждого электронного состояния, обусловленные центробежным искажением и кориолисовым взаимодействием, смешивают вра-щ,ательные уровни одинакового типа симметрии Frv Эти взаимодействия удовлетворяют правилам отбора Дуз — четное и АКа = 0 или Av3 — нечетное и А/(а== 1 (симметрия не накладывает ограничений на значения Awi, Дг 2 и АКс). Чисто колебательные возмущения, обусловленные ангармоническими членами в потенциальной функции, в каждом электронном состоянии смешивают уровни одинакового типа Fv. Поэтому для таких возмущений Avi — четное. Так как все рассматриваемые состояния относятся к различным типам электронной симметрии, между ними отсутствуют чисто электронные взаимодействия. Однако конфигурационное взаимодействие может смешивать каждое электронное состояние с более высоковозбужденными электронными состояниями. [c.341]

Для описания реальных потенциальных кривых, получаемых из экспериментальных данных, существует много различных приближенных функций, однако наиболее часто используется функция. Морзе, которая имеет следующий вид [c.29]

Функции комплексного переменного. Хотя все двухмерные потоки могут быть исследованы методами, изложенными в предыдущих главах, однако более действенным средством их представления является теория комплексных переменных. Функция потенциала и функция тока всякого плоского безвихревого потока могут рассматриваться как действительная и мнимая части функции комплексного переменного, и наоборот. Рассматривая различные функции, можно установить большое число двухмерных потенциальных (безвихревых) течений, представляемых этими функциями. Более того, оказывается теоретически возможным непосредственное определение потенциальной функции, удовлетворяющей заданным граничным условиям, ибо теория показывает, как преобразовать произвольную форму в круг и таким образом отобразить характер течения произвольной формы на круге, решение для которого дано в главе III. [c.136]

Электронная энергия многоатомной молекулы, содержащей N атомов, зависит от ЗЫ—6 (в случае линейных молекул от ЗМ—5) относительных колебательных координат и служит потенциальной функцией движения ядер. Она имеет сложную многомерную форму с несколькими минимумами. Каждому минимуму соответствует равновесная конфигурация ядер и определенное значение чисто электронной энергии. Потенциальные функции различных электронных состояний могут иметь неодинаковое число минимумов, различаться высотами потенциальных барьеров между ними, пересекаться друг с другом, что приводит к взаимным искажениям их формы. [c.14]

Так как при выводе интеграла (49) на с1х, йу, йг мы не налагали ограничений, то постоянная в уравнении (50) будет универсальной. Интеграл Лагранжа в форме (50) будет совпадать с интегралом Бернулли (33), полученным для безвихревого стационарного движения идеальной жидкости. Интеграл Бернулли (32), полученный интегрированием уравнений Эйлера вдоль линии тока, отличается от интеграла Лагранжа, так как постоянная в интеграле (32) может быть различной для разных линий тока. Движение жидкости, при котором постоянная в интеграле Бернулли универсальна для всех линий тока, есть потенциальное движение. Пользуясь уравнениями (48), можно доказать очень важную теорему Лагранжа если для движущейся жидкости при действии сил, имеющих потенциальную функцию, в какой-нибудь момент времени существует потенциал скоростей, то течение будет потенциальным во все время движения. В самом деле, уравнения (48) можно записать в следующей форме [c.280]

Таким образом, описание различных потенциальных движений в центральном поле сил определяется функцией Лагранжа [c.273]

Пересечение состояний. Рассмотрим четыре электронных состояния молекулы, схематически показанные на фиг. 4.6, а. Обратим внимание на два состояния (2, 3), которые существуют при одной и той же энергии и одном и том же межъядерном расстоянии (т. е. их потенциальные кривые пересекаются). Если эти два состояния имеют различную симметрию, то графики потенциальных функций на фиг. 4.6, а верные. Если же они имеют одинаковую симметрию (см. 4.7.3), то правильный вид будет у кривых, показанных на фиг. 4.6, б. Этот эффект называется отталкиванием одинаковых состояний . Отметим, что пересекающиеся кривые на фиг. 4.6, а в действительности являются только приближенными, построенными на основе атомных волновых функций. Непересекающиеся кривые на фиг. 4.6, б представляют точные квантовомеханические решения. Таким образом, если бы не было нашего желания использовать приближенный качественный анализ решения (который более легко осуществим), то вопрос о пересечении состояний не возник бы. В рассмотренном [c.102]

Пользуясь уравнением (1.18), можно определить гидростатическое давление в различных точках при известных значениях потенциальной функции. [c.24]

Причину возникновения колебательных возмущений между электронными состояниями различных типов можно пояснить еще и следующим образом когда ядра смещены относительно положения равновесия, молекула имеет более низкую симметрию, чем в положении равновесия электронные состояния, относящиеся в положении равновесия к различным типам, могут иметь одинаковую симметрию в точечной группе более низкой симметрии, к которой принадлежат смещенные положения, и, следовательно, могут возмущать друг друга. Поэтому получается взаимное искажение потенциальных функций двух электронных состояний, но в данном случае в отличие от взаимодействия двух электронных состояний одного и того же тина искажение появляется только как функция определенных нормальных координат. Его можно рассматривать как следствие таких искажений потенциальных функций, при которых смещаются (возмущаются) определенные электронно-колебательные уровни двух электронных состояний. Нелегко [c.69]

Другой путь представления зависимости потенциальной энергии СОг от деформационной координаты состоит в том, что она строится как функция расстояния О — О (ж) и расстояния атома С от оси О — О (г/) в предположении, что оно должно быть в плоскости, перпендикулярной оси 0 — 0 и проходящей через среднюю точку линии О — О. Это сделано на фиг. 167. Для больших значений у поперечное сечение поверхности дает кривую потенциальной энергии Ог в ее основном состоянии Ilg. Ось абсцисс у = 0) соответствует диагонали а — а на фиг. 163. И в данном случае, согласно представлениям классической механики, колебание Vj может быть возбуждено до больших амплитуд без потери его характера, в то время как возбуждение Va (смещение направлено перпендикулярно оси абсцисс в точке А) быстро приводит к движению по фигурам Лиссажу и смешиванию Vj и V2. Если построить диаграмму на фиг. 167 для различных положений атома С между двумя атомами О, то получится представление полной потенциальной функции, как действительно и должно быть, если построить фиг. 166 для различных значений расстояния С — О. [c.451]

В предшествующих примерах предполагалось, что в дискретном и непрерывном состояниях молекула имеет ту же самую симметрию равновесного положения или, если нет никакого равновесного положения непрерывного состояния, симметрия потенциальной функции одинакова в обоих состояниях. Часто симметрия будет различной. Например, если рассматривать предиссоциацию плоской симметричной молекулы XY3 (точечная группа Dzh) на ХУг + Y, симметрия состояния, вызывающего предиссоциацию, должна быть, вероятно, zv Если диссоциирующее состояние имеет тип симметрии (электронный) Mj, в первом приближении оно не может быть причиной предиссоциации состояния типа А точечной группы />з/г, так как тип А переходит в тип Bi точечной группы Г-2 (приложение IV) и правило отбора (IV, 24) не выполняется. Однако, если в состоянии типа возбуждено неплоское колебание (тип симметрии ), чередующиеся колебательные уровни имеют колебательные типы симметрии А[, которые в Сго [c.475]

Исследование любого плоского течения жидкости или газа в пористой среде должно начинаться с определения характеристической функции, соответствующей данной задаче. Найдя ее, мы можем считать задачу решенной. В самом деле, отделив в характеристической функции действительную часть от мнимой, т. е. представив ее в виде, показанном формулой (7.34), можно определить потенциальную функцию ф (х, у) и функцию тока / (х, у). В результате можно представить полную картину потока принимая различные значения функции ф, получим уравнения семейства эквипотенциальных линий ф (х, у) = С, а придавая различные значения /, найдем уравнения семейства линий тока цг(х, у) = С. По эквипотенциальным линиям определяется распределение давлений в пласте, по линиям тока [c.109]

Состояние магнитного иона может быть найдено с помощью уравнения Шредпнгера Жф = 1>,где Ш—гамильтониан. Для свободного иона уровни могут быть вырождены если же ион находится в поле кристалла, то степень вырождения в общем случае уменьшается но-разному для различной симметрии поля. При повороте координат на заданный угол (например, тс/2 вокруг оси четвертого порядка я/3 вокруг гексагональной осп) или отран<е-нии в плоскости и т. д. результирующее состояние системы должно совпадать с исходным. Этим свойством должны обладать и собственные функции уравнения Шредингера. Решения уравнений Шредиигера образуют группы с помощью теории групп можно выяснить некоторые особенности решений в кристаллическом поле, даже не зная точно формы потенциальной функции и ее величины. Так, например, состояние с /= /2, которое для свободного иона шестикратно вырождено в кристаллическом поле с кубической симметрией, расщепляетсм на один дублет и один четырехкратно вырожденный уровень. Взаимное расположение уровней и расстояние между ними нельзя определить, ие зная подробно функции V. [c.386]

Течение жидкости может быть вихревым или безвихревым (потенциальным). Исследование безвихревого потока можно свести к нахэждению так называемой потенциальной функции (или потенциала скоростей), знание которой позволяет полностью рассчитать поле скоростей различных течений. Для некоторых видов вихревого потока определение его кинематических характеристик можно свести также к отысканию одной неизвестной функции — функции тока. Следовательно, нахождение потенциала скоростей и функции тока — важнейшая задача аэродинамики. В связи с этим предлагается ряд вопросов н задач, связанных с нахождением потенциальной функции и функции тока, а также построением кинематического характера течения и опре- делением поля скоростей для случаев, когда эти функции известны. [c.40]

В решении задач теории упругости используются также и электрические аналогии. Одна из таких аналогий была предложена Л. Якобсеном в применении к кручению вала переменного диаметра. Он показал ), что, изменяя надлежащим образом толщину пластинки, имеющей тот же самый контур, что и осевое сечение вала, можно получить дифференциальное уравнение потенциальной функции, которое будет совпадать с уравнением функции напряжений для исследуемого вала. На основе этой аналогии стало возможным решение важного вопроса о концентрации напряжений у галтели, соединяющей две части вала различных диаметров. Дальнейшим сдвигом в этой области мы обязаны А. Туму и В. Бауцу ), применившим вместо пластинки переменной толщины электролитическую ванну переменной глубины. [c.476]

Свойства поверхностей, к которым прилегает бесконечно тонкий слой врагцаюгцихся частиц жидкости, легко обнаружить из уравнений (5а). Если ,г]и ( лишь в бесконечно тонком слое отличны от нуля, то по известным положениям потенциальные функции Ь, М и N будут иметь на обеих сторонах слоя одинаковые значения, а производные их, взятые в направлении нормали к слою, будут различны. Положим теперь, что оси координат выбраны так, чтобы в рассматриваемом месте вихревой поверхности ось совпадала с нормалью к поверхности, а ось X с осью вращения жидких частиц на поверхности так что в этом месте г] = ( = 0 тогда потенциалы М я М, а также и их производные будут иметь одни и те же значения на обеих сторонах слоя то же имеет место для [c.27]

В более высоких приближениях возможно взаимодействие пар уровней с еще большей разностью квантовых чисел. Однако для таких пар нужно было бы учитывать все более высокие члены в выражении потенциальной функции и, таким образом, величина возмущения при том же самом расстоянии первоначальных уровней была бы все меньше и меньше. Тем не менее, надо иметь в виду, что различные потенциальные постоянные или рц1г1 и т. д. в (2,263) могут иметь совершенно различные значения, что и имеет место для молекулы СОа (см. Деннисон [280]), и, следовательно, эффект некоторых постоянных более высоких степеней может быть сравним с эффектом постоянных более низких степеней. [c.238]

Общие замечания. Часто бывает, что потенциальная функция данной системы атомов имеет не один, а несколько минимумов, т. е. молекула обладает несколькими положениями равновесия. Если эти минимумы имеют различную энергию, а потенциальная функция в соседних точках — различную форму, то они соответствуют различным изомерам рассматриваемой молекулы, которые можно отделить один от другого химическими методами (например, H3 N и HjN , цш- и транс- С.2Н.2С1.2). В большинстве практических задач и, в частности, при рассмотрении колебательных уровней их можно рассматривать независимо, как отдельные молекулы исключение составляют лишь те молекулы, для которых потенциальный барьер, разделяющий минимумы энергии, очень мал (как, например, молекулы типа 2H4 I.2, см. гл. III, раздел Зе). Однако, если потенциальные минимумы одинаковы по высоте и по форме, то имеет место точный резонанс и в результате получается расщепление уровней энергии, соответствующих каждому минимуму, вследствие чего разделение отдельных изомеров становится невозможным. [c.239]

Для всех других молекул, помимо симметричных линейных молекул типа ХУа, при наличии двух или нескольких различных междуатомных расстояний их, разумеется, нельзя определить только из одного момента инерции.В этих случаях недостающее уравнение (или уравнения) можно получить, изучая спектры изотопных молекул. При этом можно сделать единственное предположение, что для изотопных молекул остается неизменной потенциальна функция, и следовательно, и междуатомные расстояния. Это предположение оправдалось в большом числе случаев при изучении явления изотопии для колебаний многоатомных молекул (см. гл. II, раздел 6) и особенно при изучении явления изотопии для вращения и колебания двухатомных молекул. Ва всех изотопных двухатомных молекулах, за исключением двухатомных молекул с низкими возбужденными электронными уровнями (для которых теоретически следует ожидать небольшую разницу порядка 0,001 10" см в междуатомных расстояниях), междуатомные расстояния, как и следует ожидать ), равньг в пре делах ошибок измерений ( 0,0002- 10 см). Так как рассматриваемые здесь-линейные многоатомные молекулы не имеют низких электронных уровней, то-можно с уверенностью считать, что междуатомные расстояния изотопных молекул являются одинаковыми с точностью, значительно большей, чем 0,001 Ю см. Следует иметь в виду, что такого точного совпадения можн ожидать только для равновесных расстояний г для средних (эффективных) междуатомных расстояний Го в нижнем колебательном уровне столь точного совпадения не будет, так как различные изотопные молекулы имеют различные амплитуды нулевого колебания. Однако даже и расстояния Гд будут равны с точностью, большей чем 0,002-10 см ). [c.425]

Классификация электронных состояний, В уравнении Шредингера для движения электронов (1,5) величина Уе обозначает потенциальную энергию электронов в поле ядер (неподвижных). Как указано выше, в первом приближении (которое, как правило, является хорошим) мы можем рассматривать движение электронов при равновесном положении ядер. Поэтому функция Уе У 1меет ту же симметрию, что и молекул(а в определенном электронном состоя- ти. Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее электронное ч движение, не изменяется под действием операции симметрии. Следовательно, 4 лектронная волновая функция невырожденного состояния может быть 4 олько симметричной или антисимметричной по отношению к каждой из оне-. Ч аций симметрии, допускаемых симметрией молекулы в равновесном ноло- ении, т. е. она либо остается неизменной, либо только меняет знак. В случае вырожденных состояний собственная функция может превращаться только в линейную комбинацию двух (или более) вырожденных волновых функций, так что квадрат волновой функции, представляющий собой электронную плотность, остается неизменным. Различные волновые функции могут вести себя по-разному по отношению к различным операциям симметрии данной точечной группы но, как правило, не все элементы симметрии точечной группы независимы друг от друга, поэтому возможны лишь определенные комбинации поведения волновых функций по отношению к операциям симметрии. Такие комбинации свойств симметрии называются типами симметрии (см. [23], стр. 118). На языке теории групп это неприводимые представления ])ассматриваемой точечной группы. Каждая электронная волновая функция, а следовательно, и каждое электронное состояние принадлежат к одному из возможных типов симметрии (представлений) точечной группы молекулы [c.17]

В трехатомной линейной молекуле может быть только один вид деформационных колебаний. Если молекула несимметрична (XYZ), то изогнутая конфигурация имеет симметрию С , а если симметрична (XY2) —то симметрию Сав- первом случае все вырожденные электронные состояния П, Д,. .. при г Ф О расщепляются каждое на одно состояние А и одно А". Во втором случае типы изогнутых конфигураций различны для разных типов вырожденных состояний. Электронное состояние Ilg расщепляется на А и В2, Пи — на Ах -j- Вх Ag — на Ах г Д на А -]- В . (Более подробно это будет показано в гл. 111, разд. 1.) В каждом случае электронная волновая функция одной компоненты симметрична по отношению к плоскости молекулы, а другой антисимметрична. Принятые обозначения типов А, А" или Ах, В X ИТ. д. можно было бы приписать двум потенциальным функциям F+ и F . Однако, вообще говоря, невозможно сказать, коррелирует F+ с А и F с А" или наоборот. Иногда две компоненты, соответствующие функциям F+ и F , обозначаются П + П " или Д + , Д " и т. д. Эти обозначения не следует путать с П+, П", Д+, А ,. . . , которые используются, чтобы различать две I- или А-компонепть состояния П, А,. ... [c.35]

Теорема Яна — Теллера. Прежде чем переходить к оценке величины расщепления между различными электронно-колебательными уровнями, полученными описанным выше способом, следует рассмотреть расщепление потенциальной функции при неполносимметричных смещениях ядер точно так же, как это было сделано при рассмотрении линейных молекул. Причина расщепления потенциальной кривой в рассматриваемом случае качественно такая же, как у линейных молекул при смещении ядер симметрия понижается и, как правило, все электронные состояния становятся невырожденными вместо одного дважды вырожденного электронного состояния при смещении ядер получаются два невырожденных электронных состояния со слегка различными энергиями. Аналогично вместо трижды вырожденного электронного состояния получаются в зависимости от типа смещения либо три невырожденных состояния, либо одно невырожденное и одно дважды вырожденное. [c.45]

Если потенциальные функции в обоих электронных состояниях почти одинаковы и, следовательно, межъядерные расстояния и колебательные частоты почти те же самые, то колебательные волновые функции для различных колебательных квантовых чисел в верхнем и нижнем состояниях почти взаимно ортогональны. Поэтому значение R v" будет отличным от нуля, если не изменяется ни одно из колебательных квантовых чисел. Это соответствует нолуклассическому принципу Франка, согласно которому после электронного скачка относительное расположение ядер не меняется, а, следовательно, относительная потенциальная энергия нри этом будет прежней, ядра останутся неподвижными, если они не двигались до скачка , или же будут иметь ту же кинетическую энергию, которой они обладали ранее. Таким образом, для всех колебательных квантовых чисел мы получим правило отбора А Vi = 0. В спектре поглощения при низкой температуре будет наблюдаться только одна полоса с большой интенсивностью — полоса О-—0. Прй более высоких температурах появятся полосы главных секвенций (Дг = =0),а их интенсивность будет определяться главным образом фактором Больцмана. Такой тип распределения интенсивности был обнаружен во многих ридберговских переходах многоатомных молекул, например в НгО, СНг, [c.149]

Более сложные случаи. Даже для трехатомных молекул двумерные потенциальные поверхности представляют потенциальную функцию далеко не полным образом, так как в них пренебрегается одной или двумя степенями свободы. Если надо представить полную потенциальную функцию, то необходимо построить серию двумерных поверхностей для различных значений третьего параметра, например угла между двумя связями XY. Однако такая серия потенциальных поверхностей но-прежнему не позволяет визуально представить движение фигуративной точки, а следовательно, и колебание атомов в молекуле. В последнее время несколько групп авторов с помощью электронных вычислительных машин рассчитали классические траектории атомов в простых реакциях, принимая во внимание все степени свободы (например, Поляни и Рознер [998]). [c.456]

Формулы для первых пятнадцати коэффициентов У/j впервые получены Данхемом. В последующие годы в связи с непрерывно возрастающей точностью эксперимента различными авторами получены формулы для других постоянных Yij [53, 102]. Вместе с тем из современных экспериментальных данных [87] следует, что имеющиеся в литературе формулы не могут объяснить некоторые экспериментальные результаты. Это свидетельствует об актуальности вычисления колебательно-вращательной энергии молекул в высоких порядках. Особый интерес в связи с этим представляет САВ [9], позволяющая использовать для вывода формул ЭВМ. Наибольший порядок теории возмущений, учтенный в этих расчетах Л тах=18, наиболее высокий порядок ангармоничности knQ в потенциальной функции AZmax=14 [73]. Результаты в виде формул вплоть до 10-го порядка приводятся в [21]. [c.176]

В общем случае система дифференпиальных уравнений движения ИСЗ в конечном виде не интегрируется. Поэтому прн разработке аналитических методов прогноанрования применяют различные способы получения приближенных решений. Для этих целей обычно используют методы приближенного интегрирования уравнений Лагранжа или стремятся найти такой вид потенциальной функции (потенциала тяготения), аппроксимирующей гравитационное поле Землн, которая допускала бы решение дифференциальных уравнений в квадратурах (через конечные аналитические аависимости). Получить решение в квадратурах удалось пока только в иекоторых частных случаях — для потен-пиалов тяготения, довольно полно учитывающих полярное сжатие Земли и частично аномалии поля сил притяжения [75]. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...