ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Различные потенциальные функции из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Взаимно заменяя сопряженные переменные и меняя знак одной нз них, можно получить ряд аналогичных уравнений. В каком бы порядке ряды ни были записаны, последнее соотношение остается в силе. [c.368] Напрнмер, в выражении (I) п. 484 Xi представляют gi,. .., дп, i,. .., Ьп, t и tg, тогда как представляют pi,. .., рп, —а .. .., —а , —Я и Нд. [c.369] И будем рассмачривать элементы, расположенные с одной стороны от вертикальной черты как функции элементов, расположенных с другой стороны, / и о-Так как будет использована вариационная формула Лагранжа, то постоянные должны быть илн начальными значениями переменных, или их функциями, получаемыми с помощью нормального преобразования. При этом время ие будет варьироваться. Отсюда непосредственно следует, что присутствие 1 или несущественно. [c.370] Докажем теперь, что частная производная от элемента в одной строке 1ю одну сторону от черты рт) по любому элементу в другой строке по другую сторону от черты а,) равиа частной производной от сопряженного элемента с а,, т. е. от 65, по сопряженному элементу с Рг, т. е. по дг. [c.370] Взаимно заменяя сопряженные элементы справа от вертикальной черты и изменяя знаки одного нз рядов, непосредственно находим дрг1дЬ = —да дд . Указанный метод получения равенства этих производных нз формулы Лагранжа принадлежит Донкину. [c.371] Имеется другая сумма, которую Лагранж обозначил тем же символом. [c.371] Чтобы избежать путаницы, изменим ее обозначение. Пусть функцин рх. [c.371] Это выражение представляет собой (а 61), где Ь — любые два сопряженных элемента. При дифференцировании по а , Ьх, Ь , очевидно, получим О = ( 1, б ), О = (йх, йа). О = (02, Ьх). В общем случае имеем (0 , 6 ) = I или О в соответствии с тем, равны г н з или нет, т. е. сопряжены элементы или нет. [c.371] Но еслн этн постоянные вводятся просто при каждом ннтегрнрованнн, то они могут не удовлетворять указанным соотношениям. Поэтому постоянные, удовлетворяющие соотношеиия.м (I), называются каноническими. [c.372] если постоянные j и с рассматривать как функции от pi,. .., i,. .., t, то величина ( i, с ) постоянна вдоль решения. [c.372] Это соотношение может быть записано также в компактной форме О = = (Я, Сх) -Н дсх1д1. Оно выражает условие, что С1 = ф (...) является интегралом уравнений движения. [c.373] Элементы Рх, д ,. .. входят в выражение для А только через и Сг. Рассмотрим часть dAldt, обусловленную изменением сх. Тогда часть, обусловленная изменением Сг. может быть найдена перестановкой и Сг и заменой знака суммы. Полное значение dAldt равно сумме этих двух частей. [c.373] Если теперь поменять местами i и j, то получим тот же результат. Следовательно, прн сложении этих двух частей с противоположными знаками получим нуль. [c.373] Эти результаты следуют из уравнения (//, с) -Ь дсШ = 0. [c.373] Пример 2. Если i = фх (...) — любой интеграл, не содержащий t, то должен существовать по крайней мере один другой интеграл С2=ф2(...) такой, что ( i, С2 ) не равно нулю. [c.373] Следовательно, эти постоянные являются каноническими. Эта теорема дана Донкином. [c.374] Проверьте, что указанные здесь постоянные канонические. [c.374] Вернуться к основной статье