Уравнение теплопроводности. Уравнения в перемещениях

Уравнение теплопроводности. Уравнения в перемещениях 805 [c.805]

Различные виды анализа, выполняемые в программных системах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей поведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элементной постановке задачи моделирования исследуемая область предварительно разбивается на ограниченное множество конечных элементов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомыми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потенциалы электрических или магнитных полей. Эти переменные определяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание зависит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например в задачах прочностного анализа для каждого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степеней свободы, определяющих состояние всей системы в данный мо- [c.58]

Как показано в [21, 115], в качестве уравнений Эйлера из условия стационарности функционала следуют уравнение движения в перемещениях и уравнение теплопроводности [c.194]

Для определения напряженно-деформированного состояния многослойного тела имеем уравнения движения в перемещениях (1.39/. Подставляя выражения коэффициентов Ляме, температурных коэффициентов линейного расширения и плотности, представленных в виде (2.2), в уравнения движения (1.39) и производя преобразования, аналогичные примененным при получении уравнения теплопроводности, приходим к следующей системе трех частично вырожденных дифференциальных уравнений с коэффициентами типа ступенчатых функций для определения компонент вектора перемещения [c.55]

Если высота включений намного меньше радиуса включения, в уравнениях теплопроводности и термоупругости в перемещениях функции t Orr r R и Огг r-fi заменяем интегральными характеристиками вида [c.87]

Динамическая задача термоупругости в перемещениях сводится к решению первого из уравнений (1.6.8), в котором температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). Для получения общего решения этого уравнения в форме (1.6.9) требуется исследование волновых уравнений (1.6.14) и (1.6.15). [c.177]

В настоящей главе динамическая задача термоупругости рассматривается без учета взаимодействия полей деформации и температуры, т. е. предполагается (в соответствии с классификацией задач термоупругости 1.8) несвязанной. Такая динамическая задача при упругих Я,, Lt и термическом ат коэффициентах, зависящих от температуры, сводится к решению уравнения (1.8.9) при определенных начальных и граничных условиях, которые задаются либо в перемещениях, либо в напряжениях температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). При постоянных упругих и термическом коэффициентах уравнение (1.8.9) переходит в (1.8.6) Представление общего решения этого уравнения известно. [c.251]

Для решения краевых задач математической физики, относящихся к слою и к толстой плите (теплопроводности, теории потенциала и др.), оказывается весьма удобным применение символического способа записи решений соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных. Особенно наглядно достоинства этого способа обнаруживаются в применении к столь сложной системе дифференциальных уравнений, как уравнения (1.1) теории упругости в перемещениях. Однако, чтобы дать представление о способе, удобно изложить его в применении к более простому случаю уравнения Лапласа [c.149]

Полная система уравнений термоупругости состоит из уравнений движения в перемещениях и сопряженного с ними уравнения теплопроводности. [c.20]

Уравнения (12) и (15) связаны между собой. В эти уравнения входят четыре неизвестные функции перемещения щ и температура 0. В уравнения движения в перемещениях входят температурные члены, а в уравнение теплопроводности—деформационный член. [c.756]

Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяющуюся вдоль оси X], обусловленную причиной механической или тепловой природы. Так как перемещения и температура 0 зависят только от переменных Х[ и t, то уравнения в перемещениях и уравнение теплопроводности, учитывая, что [c.776]

Линеаризация основного дифференциального уравнения теплопроводности (29) производится путем осреднения теплофизических коэффициентов в узком интервале температур, представления мощности источников линейной функцией температуры и принятия постоянной скорости перемещения источника. При этом не учитываются тепловые эффекты фазовых и структурных превращений. [c.64]

Область I. Это область упругих деформаций. Ввиду двойной записи решения уравнения теплопроводности (29.5) она разбита на две подобласти а и б. Систему уравнений (29.2) и (29.6) в области упругих деформаций (т. е. при YФ = 0) можно свести к уравнению в перемещениях (28.1). Пользуясь методом, предложенным в предыдущем пункте, из формул (28.13), (28.15) и [c.274]

Феноменологическая теория, исходящая из предположения, что диффузия протекает в результате градиента концентраций, была разработана Фиком, взявшим за основу уравнения теплопроводности, выведенные Фурье. Уравнения Фика являются простейшими в описании процессов диффузии при постоянной температуре. Они не учитывают механизм перемещения атомов диффундирующего элемента. Фик исходил из гипотезы, что в изотропной среде количество диффундирующего вещества т, проходящее в единицу времени через единицу площади поперечного сечения, пропорционально градиенту концентрации, измеряемому по нормали к этому сечению [31] [c.96]

Описанный алгоритм решения реализуется для самых разнообразных задач, включая задачи теории упругости и теплопроводности. Метод конечных элементов в обычной постановке предполагает решение задачи теории упругости в перемещениях, при этом неизвестными, подлежащими, определению, являются перемещения узловых точек. Уравнения равновесия разбитой на элементы конструкции под действием внутренних и внешних сил представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, причем все силы приводятся к узловым точкам, а соотношение между узловыми силами и перемещениями представляется матрицей жесткости. [c.10]

Наиболее полно и наглядно задача сравнения многочисленных теплозащитных покрытий решается при квазистационарном разрушении,, когда скорости перемещения всех изотерм или фронтов разрушения внутри материала совпадают со скоростью перемещения внешней поверхности. В этом случае тепло, затрачиваемое на нагрев внутренних слоев, не зависит от коэффициента теплопроводности материала [уравнение (3-50)], и определяется не температурным полем, а внутренним теплосодержанием нагретого слоя. Таким образом, независимо от предыстории нагрева эффективность данного теплозащитного покрытия может быть охарактеризована аналогично формуле (3-1) тепловым балансом на разрушающейся поверхности [c.125]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

Перенос энергии в среде на границе с поверхностью тела осложняется тем, что в приграничном слое носители энергии обмениваются не только с частицами среды, но и с частицами тела. Если, однако, число носителей энергии столь велико, а средний свободный пробег их в среде столь мал, что на обмене энергией в граничном слое среды не сказываются особенности обмена энергией на граничной поверхности тела, то диффузионный характер перемещения носителей в среде сохраняется во всех слоях среды до са-люй границы с поверхностью тела. При этом условии перенос энергии в граничном слое среды можно рассматривать на основе тех же соображений, которые были положены в основу вывода уравнения переноса энергии теплопроводностью (см. 2). [c.45]

Все уравнения МСС и граничные условия суть уравнения, связывающие между собой различные размерные величины Qt, среди них — геометрические и механические координаты и перемещения X, и=дс—X, время /, скорость V, ускорение лу, векторы базиса Э1, массовая Р и поверхностная Р > силы, напряжения физические 01/, компоненты тензора напряжений 5//, деформации е//, скорости деформаций Vi , работа Л, мощность R, кинетическая энергия К, различные механические константы среды — модуль упругости Е, коэффициент вязкости 1 и ряд других термодинамические температура 7, количество тепла Q, тепловой поток д, внутренняя и свободная энергия и, -ф, энтропия 5, рассеяние ш, коэффициенты теплоемкости с, теплопроводности X, расширения а и т. д. и величины р электромагнитной (Е, Н, в, о. е. . . ) и другой природы. [c.278]

В нестационарных условиях перемещения жидкой влаги на основании уравнения (100) и по аналогии с теплопроводностью при нестационарном тепловом потоке [уравнение (1) части Г для изменения влажности материала во времени в плоской однородной стенке получим следующее дифференциальное уравнение [c.245]

При малых амплитудах градиента перемещения эти уравнения описывают ударные волны, которые или являются первично волн-ами расширения с малыми поперечными компонентами или без них (случай 21), или же являются квазипоперечными и тогда в любом случае имеют на порядок меньшую дилатационную компоненту (случай 211). Такие же выводы можно сделать об ударных волнах в деформированном изотропном нетеплопроводном теле или в теплопроводном теле при-изэнтропическом приближении. [c.121]

Перемещение влаги внутри материала происходит по закону, аналогичному закону теплопроводности. Дифференциальное уравнение, устанавливающее зависимость между влагосодержанием и -, температурой t, временем т и координатой х, может быть записано в виде [9 ] [c.583]

Гл. III посвящена механике типичного конечного элемента сплошной среды. Она начинается с изложения соответствующих термодинамических понятий и принципов, за которым следует вывод локальной и глобальной форм закона сохранения энергии для сплошных сред. Используя теорию, развитую в гл. II, мы далее выводим из закона сохранения энергии общие кинематические соотношения и уравнения движения и теплопроводности для конечного элемента сплошной среды. В главу включен также краткий обзор теории определяющих уравнений и указан вид определяющих уравнений для дискретных моделей полей перемещений и полей температур. [c.7]

Наличие вязкости и теплопроводности приводит к возникновению ширины у слабого разрыва, так что слабые разрывы, как и сильные, представляют собой в действительности некоторые переходные слои. Однако в отличие от ударных волн, ширина которых зависит только от их интенсивности и постоянна во времени, ширина слабого разрыва растёт со временем, начиная с момента образования разрыва. Легко определить закон, по которому происходит это возрастание. Для этого снова воспользуемся сделанным в начале этого параграфа замечанием о том, что движение каждого участка поверхности слабого разрыва происходит по тем же уравнениям, как и распространение любого слабого возмущения в газе. При наличии вязкости и теплопроводности возмущение, сконцентрированное первоначально в малом элементе объёма ( волновой пакет ), по мере своего перемещения с течением времени расширяется закон этого расширения был определён в 77. Поэтому мы можем сразу заключить, что ширина 8 слабого разрыва — порядка величины [c.425]

Вариационные принципы при учете температурных слагаемых. Уравнение теплопроводности рассматривается в его классической форме Фурье (3.6.8) гл. III, а в задаче теории упругости сохраняется статическая постановка, то есть пренебрегают изменениями во времени напряженного состояния, вызываемыми нестационарностью температурного поля. Это позволяет рассматривать температуру как неварьируемый при варьировании напряженного состояния внешний фактор и в соответствии со сказанным в п. 1.14 формально трактовать наличие температурного поля как поля объемных сил с потенциалом (1.14.5) и поверхностных сил (1.14.6). Учитывается действие этих сил и реактивных сил на Oj, создаваемых связями, обеспечивающими заданные перемещения на этой части поверхности тела. [c.161]

В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последние годы интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена, связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в следующем порядке на основе уравнения теплопроводности находится распределение температуры в теле, а затем интегрируются уравнения теории упругости в перемещениях, содержащие уже найденные члены, зависящие от градиента техмпературы [c.9]

Это уравнение заменяет уравнение теплопроводности. Подставляя формулу (31) в (4), получим уравнение классической эластокинетики в перемещениях [c.764]

В приведенных выше выражениях Т(Х , t) -искомое поле температур kjj Xj,t) — коэффициент теплопроводности в твердом теле p(X(,t), (Xj,t) — плотность материала и его удельная теплоемкость Q Xj,t) — интенсивность тепловьщеления q x ,t) — тепловой поток на поверхности тела, характеризуемой нормалью и h Xf,t) - Nu- в безразмерном виде) коэффициент теплоотдачи, определяемый для случая обтекания тела жидкостью с температурой T Xj,t) — температурой среды — выражениями (3.36), (3,37), Очевидно, что в общем случае уравнения теплопроводности (3.39) и теплопереноса (3,27) связаны и должны решаться совместно, делая тем самым задачу определения температурных полей в твердом теле трудноразрешимой. Дапее, Дх,-,г) - искомое поле перемещений в твердом теле G Xf,T, и,) к X(Xj,T,u/) - коэффициенты Ламэ e=Ujj - объемная деформация а(х,..Г) - коэффициент температурного расширения F(x-,t) — массовые силы Pj(x.,t) — внешние усилия, заданные на поверхности тела характеризуемой нормалью (например, давление теплоносителя в контуре, контактные уси- [c.98]

Оценку напряженного состояния участка газопровода при криогенном выпучивании мерзлого цилиндра начинают с определения сегрегационного льдонакопления на границе грунт - холодный газопровод . Используют систему уравнений, содержащую уравнение баланса тепла в областях с различной литологией и фазовым состоянием пороговой влаги, соотношения нестационарной фильтрационной консолидации (уравнение для описания кинетики замерзания в тонких и крупных порах, связь между потоком влага через границу промерзания (фазовую фани-цу) и пороговым давлением, неразрывность потока влаги и пучения (баланс массы на фазовой границе), зависимость льдистости от температуры мерзлого грунта), уравнения нестационарной теплопроводности для сред с фазовыми переходами (с незамерзшей влагой в мерзлых грунтах), уравнение перемещений балки под действием распределенной поперечной нагрузки. [c.545]

Температурные граничные условия. В уравнение теплопроводности (V.39) ьходят напряжения, скорости деформаций и перемещений (от последних зависит dTldi). Следовательно, уравнение (V.39) в общем случае должно решаться одновременно с определением напряженно-деформированного состояния, т. е. краевая [c.239]

Как было показано в гл. IX, в уравнении теплопроводности потока газа термодинамическая температура замещается температурой торможения. Решая систему уравнений (9.29), можно получить поле температур торможения, от которого, с учетом профиля скоростей течения, совершается переход к профилю термодинамических температур. В посредственной близости к твердой стенке скорость течения весьма мала, и температура торможения практически сошадает с термодинамической температурой. При этом в результате перемещения злемектов жидкости к стенке передается как энтальпия, так и кинетическая энергия, т. е. в целом энтальпия торможения. [c.298]

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папкови-чем в 1932—1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона. [c.7]

Уравнения (13) являются аналогом формул Майзеля для несопряженных задач, т. е. для упомянутой ранее теории тепловых напряжений. Аналогия состоит здесь лишь в использовании сходных функций Грина. Однако формула (13) значительно отличается от формул, данных Майзелем. В методе Майзеля нет формулы (9), поскольку температура определяется там на основе классического уравнения теплопроводности, не учитывающего влияния поля деформации на температуру. Поэтому данныеМей-зелем формулы для перемещений, соответствующие соотношению (13), отличаются большей простотой. Метод Майзеля будет изложен в 1.18 применительно к стационарным задачам термоупругости. [c.75]

К уравнениям (3) и (4) следует добавить граничные и начальные условия. Для уравнения теплопроводности (4) мы их обсудили в 8.6. Граничные и начальные условия для уравне ний в перемещениях (3) не отличаются от тех, с которыми мг имели дело в эластокинетике. [c.723]

Интересный метод решения дифференциальных уравнений термоупругости предложил Зорский ). Этот метод сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений (4) и (5) в систему трех интегродифференциальных уравнений для перемещений щ. Продемонстрируем его для простоты по отношению к неограниченному пространству в предположении однородности начальных условий. Напишем уравнение теплопроводности [c.761]

Это обусловлено тем, что нелинейность сказывается только через члены второго порядка относительно перемещений и, по-видимому, лишь при гораздо больших значениях может заметно повлиять на уравнение теплопроводности. Влияние постоянной Ais на температуру выражено более заметно, поскольку она входит как в уравнения теплопроводности, так и в уравнения движения. Это влияние ясно проявляется при A13 0.25 для 0.8. При = 1.0 появляется также ош утимая разница в перемещ ениях, которая со временем существенно увеличивается. Для значений Ад и А13, превысшаю-щих 0.25, влияние физической нелинейности выражено очень ярко. Заметим что в рассмотренном примере сдвиговые явления не обнаруживаются. [c.423]

Поскольку уравнения движения среды содержат ускорение, а уравнение теплопроводности — скорость изменения температуры, динамические задачи МСС требуют кроме граничных усломй по стаповки еще и начальных условий. В перемещениях и=х х,1)— эти условия, как и в теоретической механике, имеют вид [c.144]

Поскольку точное решение задачи пьезопроводпости в рассматриваемом случае приводится к уравнению блуждания (5.88) с равными вероятностями перемещения в обе стороны, то континуальным аналогом (5.88) является уравнение теплопроводности. А этим, в свою очередь, объясняется и двучленность уравнения [c.196]

Во многих ситуациях взаимодействием механических и термодинамических процессов можно пренебречь исследованием такого типа является, например, теория несвязанной термоупругости. В этом случае чисто механические процессы описываются уравнениями (5.43) и (5.44). Система уравнений, образованная (5.43) и (5.44), состоит из четырех уравнений с десятью неизвестными. Нужны еще шесть определяющих уравнений, чтобы сделать систему замкнутой. В несвязанной теории, где не учитывается взаимодействие механических и тепловых процессов, определяющие уравнения содержат только динамические (напряжения) и кинематические (скорости, перемещения, деформации) параметры и часто представляют собой соотношения между напряжениями и деформациями Кроме того, в такой теории поле температур обычно считается известным или, быть южeт, задача теплопроводности решается отдельно и иезави- [c.190]

Все уравнения МСС и граничные условия суть уравнеиия, связывающие между собой различные размерные величины Q, среди них — механичеокте координаты и перемещения (х, й х—х), время (О, скорость (у), ускорение (ш), векторы базиса (э,), массовая (F) и поверхностная силы, напряжения физические (о Oij), компоненты тензора напряжений (Sjj), деформащт (ец), скорости деформаций (V j), работа (А), мощность (R), кинетическая энергия (К), различные механические константы среды — модуль-упругости (Е), коэффициент вязкости (р.) и ряд других термодинамические температура (Г), количество тепла (Q), тепловой поток (q), внутренняя и свободная энергии (и, ф), энтропия (5), рассеяние (W ), коэффициенты теплоемкости (с), теплопроводности (Я) ра сширения (а) и т. д. и величины ( ) электромагнитной (Е, Н, В, D, г...) и другой природы. [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...