Уравнения для перемещений в балках

Формулы для перемещений в балках при изгибе получаются путем интегрирования дифференциального уравнения (101) при заданных нагрузках и граничных условиях в местах закрепления балки. [c.97]

Формулы для перемещений в балках при из1 ибе получаются интегрированием дифференциального уравнения (185) при [c.88]

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования — составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям нагружения разбивается на п участков, то интегрирование дифференциальных уравнений для всех участков балки дает 2п произвольных постоянных. Добавив к двум основным оперным условиям балки 2 п — 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для определения этих постоянных. [c.281]

Перемещения Д/р и б,, входящие в канонические уравнения, чаще всего определяют по методу Мора или по способу Верещагина. При этом для балок и рам влиянием поперечных и продольных сил обычно пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты. Однако, определяя перемещения в балках прямоугольного поперечного сечения, для которых отношение высоты сечения к длине [c.401]

Недостаток универсальных уравнений состоит в том, что их нельзя непосредственно использовать для определения перемещений в балках, имеющих различную жесткость Е1 на разных участках. [c.172]

Перемещения А,р и 6,, входящие в канонические уравнения, чаще всего определяют по методу Мора или по способу Верещагина. При этом для балок и рам влиянием поперечных и продольных сил обычно пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты. Однако, определяя перемещения в балках прямоугольного поперечного сечения, для которых отношение высоты сечения к длине пролета /г// 1 /5, поперечные силы учитывать обязательно. При расчете статически неопределимых рам с большими значениями указанного отношения (h/l> 1 /5) ошибка, вызванная неучетом интегралов продольных и поперечных сил, также становится существенной, особенно для высокой рамы. Следует иметь в виду, что в реальных [c.425]

Составляются уравнения для изгибающего момента М по участкам в заданной балке (раме) и Ml в балке (раме) с единичной нагрузкой. Искомое линейное или угловое перемещение 8 определяется с помощью интегралов Мора [c.109]

Мы твердо уверены, что использование так называемого уравнения упругой линии, независимо от того, дается ли оно учащимся с выводом или без него, нецелесообразно. Вывод забывается, учащиеся сугубо формально применяют уравнение, а значит, всегда путаются, какие именно члены уравнения надо в нем сохранять при определении того или иного перемещения. Если же учащиеся составляют уравнение изгибающих моментов для последнего (считая слева направо) участка балки (составляют так, что уравнения для всех предыдущих участков содержатся в составленном), то и после интегрирования они ясно чувствуют, какие слагаемые к какому участку относятся [c.210]

Определение лишних неизвестных при решении статически неопределимых балок может производиться разными приемами. Один из приемов состоит в том, что при решении любой статически неопределимой задачи для нахождения лишних неизвестных надо к уравнениям статики прибавить недостающее число уравнений, учитывающих перемещения балки. [c.243]

Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится в первую очередь к определению величин начальных параметров Qo, Мо, 0о, ai o- Статические начальные параметры Qo и Мй находят из условий равновесия балки. Геометрические начальные параметры 0о и Шо определяют из условий на опорах. Уравнения (10.92) и (10.93), выведенные для произвольного отрезка балки, пригодны и для всей балки в целом. Начало координат, как правило, будем выбирать в крайней левой точке балки. [c.305]

Для определения перемещений в полученной эквивалентной балке можно использовать универсальное уравнение упругой линии [c.319]

Число таких выражений будет равно числу участков. Для каждого участка составляется дифференциальное уравнение типа уравнения (2. 52). Уравнения эти будут иметь различные правые части. В связи с этим различными будут и уравнения упругой линии для выделенных участков. Поскольку при действии любых нагрузок, как установлено наблюдениями, упругая линия деформированной балки является непрерывной и плавной кривой, то на границах смежных участков "уравнения упругих линий должны давать одинаковые величины перемещений и углов поворота сечения. Это обстоятельство позволяет найти значения произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании дифференциальных уравнений для участков. Произвольные постоянные определяются из граничных условий, зависящих от способа закрепления балки и условий непрерывности и плавности упругой линии. [c.158]

Часто нас интересует не вся упругая линия балки, а только перемещение в каком-либо сечении. Тогда для определения прогиба или угла поворота балки удобно использовать метод Мора, который можно все же применять и для получения уравнения упругой оси. [c.265]

Обратный способ. По второй схеме, которую иногда называют обратной, вывод уравнений движения представляется следующим образом. Для конкретности рассмотрим балку, изображенную на рис. 17.39, а. Перемещение /-й точки (при поперечных колебаниях это v — прогиб балки на рис. 17.39,6 в точке i) примем за обобщенную координату q . Это перемещение можно представить так [c.90]

При допущении, что перемещения в конструкции являются линейными функциями приложенных сил и предположении, что справедлив закон Гука, уравнение для балки в системе координат, связанной только с данной изолированной балкой в матричном виде, записывается в виде [c.83]

Как известно, дифференциальные уравнения для такой оболочки и для балки, лежащей на упругом основании, совпадают. Это дает возможность использовать интеграл этих уравнений, полу ченный А. Н. Крыловым, т. е. радиальное перемещение оболочки в точке с координатой 2 [c.238]

Для точек оси балки j = 0, и уравнение (7.15) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно поперечных перемещений точек оси балки, или прогибов l (j ) [c.134]

Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки или энергетическими методами, которые будут рассмотрены ниже, или применять видоизмененный метод начальных параметров. Суть последнего заключается в замене ступенчатого стержня эквивалентным ему по деформациям стержнем постоянной жесткости. [c.152]

При решении краевых задач с разрывными характеристиками и/или сосредоточенными нагрузками интегрирование проводится по участкам. Краевые условия в точках х = х wy. стыковки в соответствии с аксиомой П.1 есть уравнения неразрывности балки. Если в этом сечении отсутствуют дополнительные условия, то должно иметь место (опора, врезанный шарнир и т.д.) равенство левых и правых пределов для перемещений и углов поворота (в скобках указаны дополнительные условия, необходимые при использовании уравнения (5.23)) [c.141]

Предположим, что колесо совершенно правильной формы катится по рельсу с постоянной скоростью v (рис. 6). На колесо действует какая-либо переменная сила Q. Благодаря наличию переменной силы прогиб рельса под колесом будет меняться, и движение колеса будет сопровождаться вертикальными перемещениями его центра тяжести. Напишем дифференциальное уравнение для этих перемещений. Рассматривая рельс как невесомую балку, лежащую на сплошном упругом основании, мы найдем, что вертикальная реакция R в месте соприкасания колеса с рельсом представится так (см. формулы (4), (9) и (10)) [c.337]

Установив приближенные формулы для балки с опертыми концами, перейдем к случаю абсолютно заделанных концов. Имея выражение для изогнутой оси балки при действии моментов, приложенных по концам, мы путем сложения действия сил могли бы получить величину прогиба балки с заделанными концами в форме тригонометрического ряда, но для получения приближенной формулы для прогиба мы можем воспользоваться иным приемом. Зададимся подходящей формулой кривой, удовлетворяющей условиям на концах, другими словами, обратим нашу систему (упругий стержень), имеющую бесконечное число степеней свободы, в систему с конечным числом степеней свободы и потом найдем прогиб, применяя начало возможных перемещений. Опыт показывает, что при этом самые грубые предположения относительно формы кривой дают вполне удовлетворительные результаты при определении прогиба. Возьмем, например, для балки с заделанными концами такое уравнение изогнутой оси [c.226]

Рассмотрим консольную балку АВ, изображенную на рис. 6.26. Предполагается, что нагрузка Р создает большие прогибы, в результате чего незакрепленный конец балки перемещается из точки В в В. Угол поворота в этом конце балки обозначен через 0 ,, а горизонтальное и вертикальное перемещения конца — соответственно через бг и 6 . Длина Л В линии прогибов равна начальной длине I, так как изменением длины по оси, связанным с непосредственным растяжением, пренебрегают. Поскольку балка статически определима, легко найти выражение для изгибающего момента М и подставить его в уравнение (6,55), Затем после соответствующего преобразования уравнения, включая замену зависимой переменной и учета соответствующих граничных условий, можно получить решение уравнения в эллиптических функциях ). Это решение приводит к уравнениям, из которых можно найти 0 , 6 и бр- Конкретно, трансцендентное уравнение для угла Оь имеет вид [c.255]

Теперь нетрудно записать уравнение совместности реакций, решение которого дает значение неизвестного перемещения D в узле. Из рис. 11.25 можно видеть, что реакции заделки и перемещения для балки, изображенной на рис. 11.25, Ь, в сумме с умноженными на величину О реакциями и перемещениями для балки, изображенной на рис. 11.25, с, дадут реакции и перемещения для действительной балки (рис. 11.25, а). Таким образом, можно составить уравнение совместности реакций, соответствующих неизвестному перемещению О. В исходной балке реакцией, соответствующей перемещен шюР, будет направленный против часовой стрелки момент в узле В. В данном примере такой нагрузки на балку нет, но для того, чтобы реализовать эту возможность, обозначим через Л реакцию для исходной балки, соответствующую перемещению О. Эта реакция А равна сумме соответствующей реакции для нагруженной закрепленной балки (рис. 11.25, Ь) и умноженной на величину D соответствующей реакции для закрепленной балки при единичном перемещении (рис. 11.25, с). Таким образом, уравнение совместности реакций принимает вид [c.472]

После того как поворот в узле В балки, показанной на рис. 11.25, найден, можно определить остальные неизвестные — реакции и результирующие напряжений. Предположим, например, что требуется найти вертикальную реакцию На опоры А (рис. 11.25, а). Эта сила равна сумме соответствующей реакции для закрепленной балки, изображенной на рис. 11.25, , и умноженной на величину перемещения О реакции (рис. 11.25, с). Таким образом, реакцию На можно определить из следующего уравнения совместности реакций [c.473]

Конечно, построение эпюр по уравнениям не только приемлемо, но и необходимо, если в дальнейшем предполагается при изучении одного из дополнительных вопросов программы рассмотреть аналитический метод определения перемещений. Забегая несколько вперед, скажем, что мы против применения готовых, так называемых универсальньнх или обобщенных уравнений упругой линии и углов поворота. Считаем, что целесообразнее составлять уравнения изгибающих моментов и интегрировать их, пользуясь известными приемами, обеспечивающими равенство постоянных интегрироЕ ания для всех участков балки. Если принять эту точку зрения, то уравнения изгибающих моментов должны составляться. для всех участков при начале координат на левом конце балки. Считаем полезным предостеречь от одной довольно распространенной ошибки — иногда абсциссы сечений, принадлежащих различным участкам, обозначают буквой 2 с индексом (некоторые преподаватели, игнорируя рекомендации [c.127]

Первая балка (рис. 168, а) имеет четыре неизвестные опорные реакции. Чтобы пх атыскать, необходимо дополнительно к грем уравнениям статики составить одно ура. нение перемещений. Вторая балка (рис, 168, б) имеет пять неизвестных опорных реакций, для определения которых потребуется составить два дополнительных уравнения. Наконец, для третьей балки (рис. 168, в) имеется шесть неизвестных реакций (Ма, Mb, 2 , Zg, Ya и Уд). Для их отыскания, кроме трех уравнений статики, потребуется составить еще три уравнения перемещений. [c.278]

Уравнения перемещений со- б) ставляют на основании того, что перемещения в направ- ( лении наложенных на балку связей равны нулю. Так, например, для балки, изображенной на рис. 168, в, прогибы в точках А м В при любых нагрузках равны нулю. Это вытекает из условий закрепления концов А и Б балки, которые не могут перемещаться по вертикали. Углы поворота сечений Л и В также равны нулю, ибо в защемлении поворот сечения невозможен. [c.279]

В свете сказанного для решения задач, связанных с применением расчетных схем в виде упругого бруса, лежащего на упругих опорах, нами [Л. 29] был предложен новый способ определения перемещений. Общий вид уравнения перемещений однопролетной балки, нагруженной системой сосредоточенных масс, имеет вид [c.115]

Оценку напряженного состояния участка газопровода при криогенном выпучивании мерзлого цилиндра начинают с определения сегрегационного льдонакопления на границе грунт - холодный газопровод . Используют систему уравнений, содержащую уравнение баланса тепла в областях с различной литологией и фазовым состоянием пороговой влаги, соотношения нестационарной фильтрационной консолидации (уравнение для описания кинетики замерзания в тонких и крупных порах, связь между потоком влага через границу промерзания (фазовую фани-цу) и пороговым давлением, неразрывность потока влаги и пучения (баланс массы на фазовой границе), зависимость льдистости от температуры мерзлого грунта), уравнения нестационарной теплопроводности для сред с фазовыми переходами (с незамерзшей влагой в мерзлых грунтах), уравнение перемещений балки под действием распределенной поперечной нагрузки. [c.545]

Концевые условия, подобные приведенньш в выражениях (2.6), которые рассматривают только результирующие силы и моменты на конце или углы наклонов, а также прогибы срединной. поверхности (или какой-либо другой специфической поверхности), можно назвать интегральными концевыми условиями. Полное удовлетворение действительным условиям на каждом" конце в общем случае означает удовлетворение уже некоторым другим, отличным от приведенных в выражениях (2.6)), условиям, причем число этих условий значительно больше двух. Точные краевые условия в задаче о балке включали бы в себя определение напряжений, перемещений (или соотношений между ними) в каждой точке поперечного сечения, а это дает теоретически бесконечное число условий. Некоторые из этих условий могут случайно оказаться удовлетворенными решениями уравнений (2.4) и (2.4а), которые получены для данного случая, так как любое решение описывает некоторое напряжение и перемещение в каждой точке поперечного сечения, и может случиться, что именно они и будут требуемыми напряжениями и перемещениями. Но в общем случае это маловероятно, и при решении уравнения четвертого порядка, полученного на основе аппроксимации Бернулли, можно быть уверенным, что удовлетворяются только два условия (т. е. на каждом конце следует изменять произвольно только два условия). Конечно, нужно использовать эти два условия, чтобы получить по возможности наилучшую аппроксимацию, удовлетворив условиям по результирующим напряжениям во всех [c.65]

Рассмотрим два смежных пролета некоторой неразрезной балки при EJ = onst во всех пролетах (рис. 16.2а). Обозначим опоры и пролеты. Для расчета этой балки используем рациональную основную систему (рис.16.2б). Запишем п-е каноническое уравнение, которое выражает отсутствие взаимного угла поворота сечений в эквивалентной системе на Л -ой опоре. Так как при действии опорного момента М деформируется только п-й и(п + 1 )-й пролеты балки, то все перемещения за исключением [c.234]

Однако Франкланд (1959 г.) показал наличие значительного трехосного растяжения в вершине быстро распространяющейся трещины, которое отсутствует в статических условиях нагружения, и высказал мнение, что это может способствовать повышению хрупкости толстых пластин. Берри (1960 г.) рассматривал балку с двойной заделкой (в условиях заданного перемещения — прогиба). Применяя энергетические методы анализа, он вывел уравнение для скорости распространения трещины как функции ее длины. Это уравнение дает критическое условие не только для возникновения трещины, но и для ее остановки. Хоугланд (1965 г.) ввел в решение Берри скорость поглощения энергии, которая уменьшается с возрастанием скорости распространения трещины. Модификации, которым подвергалось решение Берри, привели к следующему уравнению [c.33]

В консольной модели не учитывается деформируемость материала перед фронтом трещины эта модель не позволяет получить оценку распределения нормального напряжения у вершины трещины. В работе [24] для учета деформации перед вершиной трещины использовалась аналогия с балкой на упругом основании. Такой подход также не дает возможности оценить распределение напряжения перед трещиной. Упругое решение для однородной изотропной двойной консольной балки было получено в работе [25]. Авторы предложили рассматривать симметричные трещины, вершины которых удалены одна от другой. В этой же работе получено приближенное решение для двойной консольной балки, основанное на теории пластин высокого порядка. Балка делилась на две части 1) прилегающую к трещине и 2) в области вне трещины. На границе раздела этих частей выполнялись условия непрерывности результирующей сил поперечного сдвига, изгибающего момента и перемещения в плоскости. Добиться нихрерывности трансверсального перемещения не удалось. Хотя и были получены выражения высокого порядка для перемещения по толщине, окончательные уравнения оказались того же порядка, что и в классической балочной теории Тимошенко. В частности, предполагаемые соотношения между трансверсальными перемещениями высшего порядка и прогибом срединной плоскости уменьшают число независимых граничных условий, которые можно задать, до количества, существующего в классической теории сдвиговой деформации. Теории высокого порядка необходимы, чтобы удовлетворить всем требуемым условиям непрерывности. [c.226]

Для вычисления полного перемещения сечения С с учетом характера опирания балш KD на консольную балку необходимо найти прогиб консольной балки АВ от действия на нее силы Pg = -Rg = = 5 кН. Для этого, приняв начало координат в сечении В балки АВ, составим уравнение метода начальных параметров для определения прогиба на конце консоли. При начале координат в точке В консоли известными параметрами будут Мо = Мв = 0] Qo= Ов -Рк — -5 кН, а неизвестными Л) Д я Oi Фо = фд 0. Неизвестные начальные параметры и Фо определим из уравнений прогиба и угла поворота для сечения А. Из условия закрепления балки АВ имеем при = / = 2 м Ул = < л = 0. [c.164]

Обе формулы (86) и (87) и являются основою приближенного способа, который состоит в том, что вместо шарнирной цепи с 6e KvjHe4Ho большим числом бесконечно малых отдельных звеньев, заменяюь,ей непрерывный стержень, мы должны взять шарнирную цепь с небольшим числом звеньев. Вследствие этого диференциальные уравнения для непрерывной балки перейдут в уравнения в конечных разностях для шарнирной цепи. В остальных отношениях ход вычислений для определения критической нагрузки остается такой же, какой мы применили в первои параграфе этой главы. Как и там, мы сообщим шарнирной цепи, находящейся в равновесии, бесконечно малые возможные перемещения, совместные с граничными условиями, и напишем условия равновесия для [c.355]

Излагаемый в настоящей статье приближенный метод исследования динамических характеристик круговых или некруговых цилиндрических оболочек, не подкрепленных или подкрепленных шпангоутами и стрингерами и имеющих вырезы прямоугольной формы, основывается на энергетическом принципе. Исследование базируется на использовании принципа Гамильтона и классического метода Рэлея —Ритца с применением балочных функций для аппроксимации осевых перемещений и тригонометрических для окружных. Балочные функции соответствуют тем функциям, которые описывают колебания однородной балки с такими же граничными условиями, что и на краях оболочки. В исследовании рассмотрены четыре вида граничных условий, а именно шарнирное опи-рание, защемленйе —свободный край, защемление —защемление и, наконец, оба края свободные. Хорошо известно, что в методе Рэлея — Ритца аппроксимирующие ряды для перемещений должны удовлетворять кинематическим граничным условиям и не требуется удовлетворение силовых граничных условий. Поэтому как уравнения равновесия, так и граничные условия в напряжениях удовлетворяются приближенно, на основе принципа экстремума. Таким образом, это позволяет без затруднений представить граничные условия на свободном крае выреза оболочки. [c.239]

СКОЛЬКО работ. Так, в работе [31] приведены результаты изучения собственных поперечных колебаний тонких ортотроп-ных эллиптических пластинок с аналогичным эквидистантным вырезом. Теоретический анализ осуществлен с использованием метода Ритца. При этом проведено преобразование эллиптической пластинки в кольцевую с единичным внешним радиусом путем перехода к новой системе координат. Кольцевая круговая пластинка разбита на ряд секторов. Поперечные перемещения аппроксимируются рядами произведений приемлемых функций секториальнрй балки с малым углом конусности в плане на тригонометрические функции угловой координаты. Перемещения в направлении радиальной координаты аппроксимируются полиномами пятой степени, которые удовлетворяют основному уравнению изгибных колебаний балок.во всех точках внутри выделенного малого элемента и граничным условиям на его концах. В результате цроведенного исследования определены собственные числа и формы собственных колебаний для некоторых образцов изотропных эллиптических и круговых пластинок с подобными центральными вырезами. Для апробации полученных авторами результатов в работе дано сопоставление с результатами точных решений и результатами других авторов, полученных для частных случаев. , [c.293]

Продолжая рассмотрение примера, -выберем в качестве лишних неизвестных реакции опор В и С, обозначенные на рис. 11.16, а через Xi и Как правило, лишние неизвестные будут обозначаться буквой X для того, чтобы указать на то, что они являются неизвестными. Основная система, соответствующая такому выбору лишних неизвестных, представляет собой консольную балку, изображенную на рис. 11.16, и теперь необходимо найти некоторые перемещения в этой балке, вызываемые как реальными нагрузками, так и лишними неизвестными. Для того чтобы безошибочно определить, какие именно перемещения в основной системе потребуются при решении задачи, заметим, что уравнения совместности должны выражать условие отсутствия в реальной балке перемещений, соответствующих лишним неизвестным Xi и Хв (иначе говоря, отсутствие вертикальных перемещений в точках В и С балкй, изображенной на рис. 11,16, а). Таким образом, перемещениями, которые должны быть определены в основной системе, являются перемещения, соответствующие выбранным лишним неизвестным, т. е. в данном случае вертикальные смещения в точках В и С. [c.456]

Уравнения перемещений в форме уравнений трех моментов рекомендуется применять для раскрытия статической неопределимости многопролетных неразрезных балок (фиг. 28, а) за основную систему принимают балку с врезанными над опорами шарнирами (фиг. 28, б), т. е. за лищние неизвестные принимают изгибающие моменты М1, Л1 ц.1... в над-опорных сечениях. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...