Методы решения дифференциальных уравнений переноса

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА [c.78]

Дифференциальный метод основывается на решениях дифференциальных уравнений переноса лучистой энергии в ослабляющей и излучающей среде (гл. 18). [c.379]

Представляет интерес метод общего решения дифференциального уравнения переноса [c.281]

Наиболее точные расчеты таких теплообменников численными методами с применением ЭВМ или аналитически (в упрощенной постановке) делают путем совместного решения дифференциальных уравнений переноса в потоках теплоносителей и теплопроводности насадки с граничными условиями третьего рода на ее поверхности [79]. [c.182]

Аналитическая теория явлений переноса тепла и вещества в дисперсных и капиллярно-пористых телах достаточно хорошо разработана - . Быстрое совершенствование счетно-решающей техники позволило значительно ускорить решение задач тепло- и массопереноса. Применение вычислительных машин делает весьма эффективными численные методы решения дифференциальных уравнений типа (1) и (2 ) с учетом зависимости теплофизических свойств материала от температуры - [c.11]

Решение одномерного уравнения переноса проводится либо на основе комбинации упомянутых выше приближенных и численных методов, либо на основе численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся при введе- [c.202]

Представляют несомненный интерес также разработанные сравнительно недавно вариационные принципы решения уравнения переноса излучения (Л. 33, 34], обстоятельный анализ сходимости которых дан в [Л. 33]. В одномерных астрофизических задачах и особенно в задачах нейтронной физики [Л. 30, 327, 328] для решения уравнения переноса с успехом применяется метод сферических гармоник. Аналогичная этому методу идея замены интегро-дифференциального уравнения переноса системой дифференциальных уравнений используется в методе моментов [Л. 35, 331—333]. [c.111]

Основой современных методов расчета тепло- и массообмена являются дифференциальные уравнения движения, неразрывности, теплопроводности и диффузии [31, 32, 51, 52]. В совокупности с условиями однозначности они составляют систему уравнений, решения которой дают искомые поля скоростей, температур и концентраций среды. Названные уравнения выведены для бесконечно малого объема среды и отражают элементарный акт переноса субстанции массы, энергии и количества движения (импульса). Общее дифференциальное уравнение переноса субстанции записывается в следующем виде [32] [c.23]

Дифференциальные уравнения переноса массы и энергии были выведены в предыдущей главе методами термодинамики необратимых процессов. В этой главе будут выведены дифференциальные уравнения тепло- и массопереноса применительно к конкретным системам и рассмотрены основные методы их решения. [c.34]

Обобщим рассмотренные ранее задачи на условия, когда тело находится в среде, температура (или другой потенциал среды) которой есть функция времени. Для этого обобщения можно воспользоваться теоремой Дюамеля, которая позволяет нам, исходя из решений для постоянного потенциала среды (в частности, температуры), найти решения для условий, когда потенциал среды является заданной функцией времени, При этом теорема требует от этой функции выполнения определенных условий — она и ее производная должны быть кусочно-непрерывны при Fo>0. Следует также обратить внимание на известное различие, существующее между обобщением решений дифференциальных уравнений связанного и несвязанного переноса. Если в последнем случае не возникает необходимости в доработке первоначально полученного решения, то при решении систем взаимосвязанных уравнений без такой работы нельзя обойтись. Для уяснения метода рассмотрим сперва несвязанный перенос, при этом более детально остановимся на решении для неограниченной пластины. [c.325]

В последние годы большое применение получила обобщенная теория теплопроводности и диффузии. Вначале эта теория переноса тепла и массы была разработана для капиллярно-пористых влажных тел применительно к процессам сушки, а затем была распространена на процессы переноса влаги и тепла в грунтах, на явления фильтрации многофазных жидкостей, на перенос тепла и нейтронов в поглощающих средах и на перенос тепла и массы при горении твердых пористых тел. В связи с этим были разработаны методы математического решения системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений переноса тепла и массы при разных граничных условиях. Из решений этой системы уравнений как частный случай получаются решения задач нестационарной теплопроводности (Л. 10—12]. [c.10]

Принятый метод. Как и в 6-3, мы будем пользоваться диаграммой энтальпия — состав h—f) в качестве вспомогательного средства, облегчающего не только понимание, но и вычисления. Приведенные в 6-3 построения относились к дифференциальному элементу поверхности раздела вода — воздух. Здесь же мы отразим на графике изменения состояний и процессы переноса, происходящие по длине аппарата. В частности, будет показана применимость графических построений для совместного решения уравнений сохранения и дифференциальных уравнений переноса. [c.305]

Для решения систем дифференциальных уравнений переноса разработан целый ряд численных методов и алгоритмов. Хотя эти методы различаются математическими подходами, вычислительными свойствами, имеют свои достоинства и недостатки (и как следствие, в большей или меньшей степени популярны), они обладают одной общей особенностью все они предназначены для построения приближенных решений исходных уравнений в тех случаях, когда невозможно получить результат в аналитической форме. [c.151]

Метод, которым в первой части были решены задачи о полу-бесконечных волноводах, обычно называют методом Винера— Хопфа — Фока или методом факторизации. Действительно, в фундаментальных работах Винера и Хопфа 2] и Фока [1] дан общий метод решения интегрального уравнения с ядром, зави-сяш,им от разности переменных, и в полубесконечных пределах. Это интегральное уравнение может быть как однородным, так и неоднородным, но первоначально метод решения был дан для уравнения второго рода, в то время как диффракционные задачи сводятся к интегральному или интегро-дифференциальному уравнению первого рода (см., например, гл. I). Однако метод факторизации, данный в работах [1] и [2], легко переносится на эти уравнения, а также на эквивалентные им функциональные уравнения, которые приводят к решению задачи более коротким путем (см. гл. II и III). Для несимметричных электромагнитных волн в полубесконечном круглом волноводе (гл. IV) получается система двух функциональных уравнений. В общем случае система интегральных уравнений Винера—Хопфа—Фока или эквивалентных им функциональных уравнений не решается, но благодаря своей простоте эта система допускает точное решение, несколько более сложное (см. 25), чем для одного уравнения, но все же достаточно эффективное — оно позволяет рассчитать все важные физические величины. [c.199]

Вычислительные методы для решения дифференциальных уравнений в частных производных переноса массы, импульса, энергии, химических и других субстанций [c.238]

Следует отметить, что процессы теплообмена, происходящие при ламинарных течениях, достаточно строго описываются системами дифференциальных уравнений переноса. Также строго формулируются и краевые условия. Хорошо разработаны и методы решения и численной реализации систем дифференциальных уравнений в частных производных. Все это позволяет надеяться, что при достаточно строгих допущениях, а также удачно найденной симметрии удастся разработать такие математические модели, которые весьма точно будут описывать, предсказывать и объяснять возникающие эффекты. [c.506]

Значения коэффициентов переноса и термодинамических характеристик материала или среды, вообще говоря, могут быть различными для разных точек тела. С изменением потенциалов переноса они претерпевают иногда существенное изменение. Решение большого количества вопросов в области науки и техники может быть значительно уточнено путем введения поправок, возникающих в связи с переменным характером коэффициентов. Необходимость проведения такой работы особенно остро стала сказываться в связи с широким внедрением в различные отрасли техники высокоинтенсивных процессов. Отметим также, что путем соответствующих подстановок многие задачи конвективной диффузии и теплопроводности, гидродинамики вязкой жидкости и другие могут быть сведены к дифференциальным уравнениям типа теплопроводности с переменными коэффициентами. Это указывает на необходимость накопления и обобщения полученных результатов решения неоднородных и нелинейных уравнений теплопроводности, а также дальнейшего развития методов решения этих уравнений. [c.435]

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

Решение сформулированной таким образом задачи не является простым, поскольку нелинейные члены в левой части уравнений энергии и движения сохранились. Кроме того, использовавшееся выше понятие толщины пограничного слоя математически некорректно в действительности скорость Шх и температура асимптотически приближаются к значениям Wo и при у- оо. Непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений пограничного слоя для области с бесконечно удаленной границей (у- со) связано со сложными математическими операциями и здесь рассматриваться не будет воспользуемся для этого приближенным методом, основанным на использовании интегральных соотношений для переноса количества движения (импульса) и теплоты в пограничном слое. [c.347]

В основу решения поставленной задачи может быть положено уравнение переноса лучистой энергии (дифференциальный метод) или интегральное уравнение излучения (интегральный метод). [c.427]

Точные дифференциальные методы, основанные на непосредствен- ом решении уравнений переноса, приводятся в [Л. 1, 89, 163]. [c.429]

Основная идея дифференциально-разностного приближения заключается в представлении потока излучения для рассматриваемого направления в виде разности двух встречных потоков. При таком подходе путем соответствующего интегрирования уравнение переноса излучения заменяется системой из двух дифференциальных уравнений, содержащих в качестве неизвестных поверхностные плотности встречных потоков излучения. Аналогичное интегрирование производится и для получения граничных условий к этим дифференциальным уравнениям. Полученные описанным способом дифференциальные уравнения, граничные условия и уравнение энергии составляют замкнутую систему уравнений дифференциально-разностного приближения, которая и решается в зависимости от постановки задачи тем или иным способом. Коэффициенты переноса, фигурирующие в этой системе уравнений, как уже упоминалось, заранее точно не известны и определяются на основании предварительных приближенных оценок, а в случае необходимости могут быть уточнены итерационным методом. Этим, собственно, и обусловливается приближенность рассматриваемого метода. Вместе с этим сравнительная простота получаемых уравнений, отсутствие принципиальных затруднений при их решении, физическая наглядность сделали дифференциально-разностное [c.114]

Для материалов с большим сопротивлением переносу теплоты и массы расчет кинетики помимо указанного выше метода проводят путем решения системы дифференциальных уравнений внутреннего тепло-и массопереноса [26, 27, 30]. [c.184]

До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7]. Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами. Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов. [c.79]

Далее применяют один из двух методов. Первый метод—нахождение аналитических выражений для кривых распределения потенциалов переноса путем приближенного решения дифференциальных уравнений переноса, например с помощью интегральных преобразований. Второй метод — использование теории подобия. Для нахождения системы критериев подобия служат дифференциальные уравнения переноса и условия одиозначности. Иногда вводят также параметрические критерии, существенное влияние которых на процесс ожидается на основании дополнительных соображений, касающихся механизма или обстановки процесса. Такого рода параметрическими критериями при исследовании теплообмена мелсду частицами и потоком газа в псевдоожнженном слое могут быть число исевдоожижения и отношение фактической поте- [c.246]

Решение дифференциальных уравнений переноса с. переменными коэффициентами связано с большими трудностями. Поэтому точное аналитическое решение удалось получить в настоящее время для весьма ограниченного круга задач. Еще больщие затруднения возникают при рещении систем дифференциальных уравнений, где пока приходится ограничиваться различными приближениями или численными методами решения. В этой связи первостепенной задачей, стоящей перед аналитической теорией тепло- и массопереноса, является разработка [c.472]

Термовлагопроводность кабельной бумаги. Для исследования термо-влагопроводности был принят метод стационарного потока тепла, основанный на решении дифференциального уравнения переноса влаги при-постоянном тепловом воздействии на испытываемый образец в условиях стационарности гигротермических полей. Экспериментальная установка была собрана по схеме В. П. Миронова (ЦНИИМОД) с усо- [c.207]

Прохождение излучений через защиту с неоднородностями описывается интегро-дифференциальным уравнением переноса излучений, которое для рассматриваемых задач не имеет аналитического решения. Среди возможных численных методов решения подобных задач можно указать на мето.д Монте-Карло и применение многогрупповых методов решения кинетического уравнения к многомерным геометриям. Метод Монте-Карло в принципе пригоден для строгого решения любой задачи прохождения излучений через неоднородности. Основными возможными преградами для его использования являются ограниченное быстродействие и память ЭВМ. [c.139]

Среди разработанных методов решения уравнения переноса излучения с граничными условиями широкое распространение получили квадратурные методы [Л. 31, 32, 329, 330], основанные на аппроксимации интепро-дифференциального уравнения переноса системой дифференциальных уравнений. Анализ сходимости этих методов приводится в [Л. 31, 32] и ряд других исследований. [c.111]

Наиболее известный для теплофизиков квадратурный метод решения интегро-дифференциального уравнения переноса излучения (3-18), предложенный в (Л. 329, 330], описан в [Л. 6]. Б математическом отношении этот метод заключается в аппроксимации интегро-дифференциального уравнения переноса излучения системой линейных дифференциальных уравнений. При этом подходе из бесконечного множества всевозможных направлений S в пределах сферического телесного угла 4л выбирается определенное число фиксированных направ-ле18ий S (i=l, 2,. .., я). Записывая уравнение переноса излучения для каждого фиксированного направления Si и заменяя в нем интеграл, учитывающий рассеяние, той или иной квадратурной формулой, приходят к системе линейных дифференциальных уравнений относительно интенсивности (s ) вдоль каждого из выбранных направлений Sj. Очевидно, что подобная аппроксимация будет тем точнее, чем большее число фиксированных направлений Si выбирается, но одновременно с этим усложняется н система дифференциальных уравнений, подлежащая математическому решению. Использование описанного квадратурного метода для исследования процессов переноса излучения при наличии рассеяния дало позитивные результаты (Л. 41, 42]. [c.112]

Система дифференциальных уравнений переноса совместно с начальными и граничными условиями отображает в аналитической форме основные черты изучаемого процесса, т. е. является его математической моделью. Решение модели позволяет получить полную картину распределения потенциалов переноса в теле или системе тел, проследить изменение полей потенциалов во времени и на этой основе дать детальный анализ кинетики и динамики процесса. Никакие эмпирические методы исследования или приближенные методы 1полуэмпирического характера не могут заменить аналитических методов исследования. Большие успехи, достигнутые за последние годы теплофизикой, самым непосредственным образом связаны с широким использованием аналитической теории, роль которой непрерывно увеличивается. Поэтому разработка надежных и эффективных методов решения краевых задач теории переноса является актуальной и важной задачей теплофизики. [c.78]

В 1гл. 5 была показана возможность приведения системы дифференциальных уравнёкий тепло- и массопереноса (4-1-2)—(4-1-3) к системе двух несвязанных уравнений типа теплопроводности. Последняя позволяет использовать накопившийся опыт решения дифференциальных уравнений несвязанного переноса для решения нового круга задач. М. С. Смирнов [Л. 26] указал на возможность применения метода Генри к решению систем уравнений молярно-молекулярного тепло- и массопереноса. В этом случае система дифференциальных уравнений сводится к системе трех обычных уравнений теплопроводности для комбинированной функции 2]=р Т + д +Г]-Р, где р , — некоторые [c.434]

В этой связи рядом авторов исследовался вопрос о влиянии эффекта рассеяния на перенос энергии излучения. Решение задачи обычно выполнялось на основе дифференциально-разностного приближения Шустера—Шварцшильда. Путем представления поля излучения, например для плоского слоя поглощающей и рассеивающей среды, в виде прямого и обратного потоков излучения было получено приближенное решение интегродифференциального уравнения переноса излучения. Сущность метода, таким образом, состоит в определении интенсивностей излучения 1 (2я)+ и (2л )", осредненных по положительной и отрицательной полусферам. При этом задача сводится к решению системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений для интенсивностей излучения /, (2я)+ и 4 (2л)-. [c.73]

Трудности, связанные с точным решением интегрального уравнения теории излучения, заставляют метеорологов и астрофизиков широко пользоваться нри изучении распространения лучистой энергии в поглош,аюш,их и рассеиваюш,их средах различными приближенными методами. В большинстве случаев прибегают к различным формам приближенных дифференциальных уравнений переноса, нрименение которых совершенно освобождает исследователя от аппарата интегральных уравнений. [c.604]

Метод прогонки. Этот метод применяется не к интегральному, а к дифференциальному уравнению переноса. Значительная трудность при его решении создается тем обстоятельством, что задаются не начальные, а граничные условия, так что надо решать не задачу Коши, а краевую задачу, что всегда сложнее. После дискретизации дифференциального уравнения по глубине, углам и частотам получающееся разностное уравнение решается сначала от верхней границы в сторону возрастающих глубин, а затем обратным ходом. Однако в первом случае не известна интенсивность излучения, идущего вверх, а во втором — вниз. Поэтому при прямом проходе находится решение не с определенным граничным значением интенсивности выходящего излучения, а рассчитываются обратные матрицы на случай как бы произвольных ее значений, причем заданных для всех значений углов. Затем решение выбирается так, чтобы удовлетворить условию на нижней границе [45]. После этого вычисляется интенсивность восходящего излучения. В теории переноса такая процедура, которая применяется для расчета как рассеяния в линии, так и при монохроматическом рассеянии, носит название метода Фотрие. [c.201]

Более универсальны методы расчета Р. Дайслера и К. Голдмана i[3.3—3.5], так как они свободны от ограничений по характеру зависимости физических свойств от давления и температуры. Суть двух подходов к решению задачи одинакова и заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений энергии и движения. Различие состоит в методах расчета коэффициентов турбулентного переноса тепла и массы. Р. Дайслером принято, что коэффициенты переноса ет и Eq не зависят от изменения физических свойств, что отражается на точности расчетов при резко переменных свойствах. К. Голдман на основе выдвинутой им гипотезы о том, что изменение турбулентности в каждой точке потока зависит от изменения физических свойств только в данной точке, сумел применить для расчета распределения скоростей и коэффициента турбулентного обмена те же зависимости, что и при постоянных физических свойствах при соответствующей записи в новых переменных. Р. Дайслером и К. Голдманом принято [c.51]

Поиски эффективных путей решения уравнений радиационного теплообмена привели к созданию различных приближенных методов расчета. Все эти методы исходят из рассмотренного в гл. 3 уравнения переноса излучения с соответствующими граничными условиями к нему. Проведя то или иное интегрирование уравнения переноса излучения и граничных условий, можно получить либо дифференциальные, либо интегральные уравнения, описывающие процесс радиационного теплообмена в различных постановках. При этом в результате интегрирования уравнения переноса и граничных условий по телесному углу в получаемых дифференциальных и интегральных уравнениях в качестве неизвестного фигурирует уже не интенсивность излучения, а различные виды объемных и поверхностных плотностей излучения. Одновременно с этим в этих уравнениях появляются различные коэффициенты переноса, зависящие от распределения интенсивности излучения по различным направлениям, которое заранее неизвестно. Поэтому в отношении этих коэффициентов переноса принимаются те или иные допущения, вследствие чего такие расчетные методы и носят название приближений. Точность, с которой можно оценить неизвестные заранее коэффициенты переноса, определяет собой погрешности приближенных методов. Следует, однако, заметить, что в принципе, сочетая уравнения приближенных методов и интегральное выражение для интенсивности излучения (3-26), можно итерационным путем получить решение задачи с любой степенью точности. К тому же, как показывает анализ, неизвестные коэффициенты переноса во многих случаях являются сравнительно слабоизме-няющимися функциями и их можно оценить заранее с приемлемой точностью. Исторически первым был соз- [c.113]

В работах [Л. 104, 430] исследован процесс радиационного теплообмена ламинарного потока с заданным профилем скоростей, текущего в канале. При этом так же, как и в исследованиях внешней задачи обтекания поверхности, пренебрегается аксиальным переносом тепла за счет теплоироводности и излучения. Далее автор, исходя из результатов исследования чисто конвективного теплообмена на стабилизированном участке, делает допущение о постоянстве безразмерного температурного профиля в каждом сечении потока, что позволяет свести задачу к одномерной. При описании радиационного теплообмена автором используются интегральные уравнения теплообмена излучением применительно к плоскому слою. Представляя искомую функцию безразмерной температуры в виде одномерного ряда Тэйлора по оптической толщине слоя и подставляя ее в исходное интегральное уравнение, автор приходит к нелинейному дифференциальному уравнению, решаемому затем численно. При этом производится ограничение первыми тремя членами ряда, что дает дифференциальное уравнение второго порядка. Полученные результаты численного решения были сопоставлены автором [Л. 104] с решениями методом диффузионного приближения и приближения оптически тонкого слоя. [c.400]

Группа методов расчета — с использованием произведения коэффициентов переноса на площадь поверхности контакта — отличается тем, что позволяет оперировать коэффициентами переноса и поверхностью контакта, не прибегая к непосредственному определению их численных значений, что дает возможность более широкого обобщения расчетных зависимостей. Этот принцип сохранен в настоящих разработках. Лежащие в их основе дифференциальные уравнения интенсивности тепло- и массообмена и их решения позволяют описать процесс минимумом обобщенных переменных, одним-двумя определяющими числами подобия, а также дают возмоншость получить аналитическую количественную зависимость уравнение относительной интенсивности тепло-и массообмена в виде равенства относительных движущих сил этих процессов. В нем в качестве переменных содержатся только начальные и конечные параметры газа и жидкости. Оно справедливо для любых аппаратов, процессов и условий их протекания. [c.4]

Предлагаемая вниманию читателей мшопрафия посвящена аналитической теории тепло- и массопереноса в неподвижных средах и дисперсных системах. Для того чтобы решения системы дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса могли быть использованы в других процессах переноса, все они даны в критериальных соотношениях с использованием методов теории подобия (теория обобщенных переменных). Таким образом, монография по сути дела является аналитической теорией термодинамики неравновесных состояний. Поскольку Л итера1тура по термодинамике необратимых процессов крайне бедна, то пер1вая глава монографии посвящена основным сведениям из термодинамики явлений тепло- и массопереноса. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...