ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения дифференциальных уравнений переноса из "Теория тепло- и массообмена " Система дифференциальных уравнений переноса совместно с начальными и граничными условиями отображает в аналитической форме основные черты изучаемого процесса, т. е. является его математической моделью. Решение модели позволяет получить полную картину распределения потенциалов переноса в теле или системе тел, проследить изменение полей потенциалов во времени и на этой основе дать детальный анализ кинетики и динамики процесса. Никакие эмпирические методы исследования или приближенные методы 1полуэмпирического характера не могут заменить аналитических методов исследования. Большие успехи, достигнутые за последние годы теплофизикой, самым непосредственным образом связаны с широким использованием аналитической теории, роль которой непрерывно увеличивается. Поэтому разработка надежных и эффективных методов решения краевых задач теории переноса является актуальной и важной задачей теплофизики. [c.78] Наибольшую ценность представляют методы решения систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса в конечном виде (различные методы интегрирования). Замкнутые решения позволяют наиболее просто исследовать влияние отдельных параметров на ход процесса, найти соотношения между важнейшими показателями и др. В тех случаях, когда решить задачу таким образом нельзя, пользуются методами численного решения или методами экспериментальных аналогий. Роль численных методов решения различных краевых задач особенно повысилась в последние годы в связи с интенсивным развитием и внедрением в практику электронных счетных машин. Выбор метода решения зависит от конкретной задачи, требований, предъявленных к расчетным данным, и оценки затраты времени для ее решения с заданной степенью точности. [c.78] До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7]. Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами. Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов. [c.79] В дальнейшем операционные методы нашли применение в теплотехнике при решении разнообразных задач нестационарной теплопроводности (Л. 9—11] и в химической технологии при решении задач нестационарной диффузии [Л. 12]. В последние годы эти методы все шире стали использовать для решения задач гидродинамики, нейтронопере-носа и др. [c.79] Интегрирование в формуле (2-9-2) происходит вдоль прямой а = onst в комплексной плоскости s = S- -iTj, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Re5 Si a . Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В большинстве же практических случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегралу (2-9-2). [c.80] Во-первых, процедура применения интегрального преобразования Лапласа однотипна для задач самого различного характера и различных форм тела, способ рещения является более прямым, не требующим особого искусства и подхода к решению каждого нового типа задач. [c.80] Во-вторых, интегральные преобразования Лапласа позволяют одинаково хорошо решать задачи при граничных условиях первого, второго, третьего и четвертого родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований. [c.80] В-третьих, наличие большого числа простых теорем позволяет получить наиболее подходящие для конкретной обстановки результаты в частности, получать решения в форме, удобной для расчета при малых и больших значениях времени. [c.80] В-четвертых, метод позволяет особенно легко решать задачи с простыми начальными условиями наиболее эффективно использование преобразования Лапласа по временной координате, а также по пространственной координате для тел, имеющих неограниченную или полуогра-ниченную протяженность. [c.80] В-пятых, эффективность решения разнообразных задач методом преобразования Лапласа в значительной мере усиливается наличием подробных таблиц изображений. [c.81] Особенностью названных преобразований является то, что верхний предел интегрирования равен бесконечности. Если в преобразовании Лапласа (2-9-1), которое в большинстве случаев применяется по отношению к временной координате, бесконечный предел. интегрирования обусловлен самим ходом нестационарного временного процесса, то в преобразованиях Фурье и Ханкеля (2-9-3) по пространственным ко-ордина м наличие бесконечного предела суживает круг применения этих методов. Другими словами, интегральное преобразование (2-9-3) успешно можно применять только к задачам полуограниченной протяженности. Кроме того, следует отметить, что при использовании преобразований Фурье, особенно синус- и косинус-преобразований, необ ходимо обращать большое внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости здесь становятся более жесткими, чем условия сходимости соответствующих интегралов при преобразовании Лапласа. [c.82] Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении-задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели-к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже-в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими мегодами с помощью рядов Фурье или Фурье — Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения, ее стандартность дают методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами. [c.82] Для преодоления упомянутых выше трудностей разработаны различные методы приближенных интегральных преобразований, в которых прямое преобразование. и обратный переход осуществлялись по приближенным формулам. Вместе с тем возникла идея разработки метода так называемых конечных интегральных преобразований Лапласа, или правильнее — конечных интегральных преобразований Грина. Остановимся на последнем вопросе несколько подробнее. [c.83] Разумеется, приведенные формулы (2-9-5)— (2-9-8) для замены производных разностными отношениями не являются единственно возможными. Иногда бывает целесообразно проводить друпие замены, однако при численном интегрировании уравнений теплопроводности и мас-сопроводности наиболее часто применяют именно их. [c.86] Вернуться к основной статье