Вариационные уравнения теории упругости

Вариационные уравнения теории упругости [c.253]

Элементарная теория, изложенная в гл. 3 и 4, основывалась на гипотезах, введенных ad ho и обоснованных лишь некоторыми соображениями качественного характера. Здесь мы получим те же уравнения, отправляясь от общих законов теории упругости. Наиболее надежный путь построения приближенных теорий, который будет использован в настоящей главе, состоит в том, что за основу принимаются вариационные уравнения теории упругости в одной из форм, приведенных в 8.7. После этого делаются некоторые предположения о характере распределения перемещений или напряжений (или того и другого независимо). Дифференциальные уравнения приближенной теории получаются как уравнения Эйлера вариационной задачи для функций от переменных, число которых меньше трех. [c.386]

В настоящей главе вариационные уравнения теории упругости распространяются на теорию трансверсально-изотропных оболочек. [c.60]

В теории упругости большинство задач сводится к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Их решение часто связано с большими математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые вариационные методы. Вместо того, чтобы решать основные дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача об определении искомых функций Ui, Zij, ац, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих некоторый функционал Ф(щ, гц. оц). например полную потенциальную энергию П или дополнительную энергию П. [c.127]

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.57]

И. Г. Бубнов (1872—1919) впервые в 1913 г. изложил новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости, который широко применялся затем Б. Г. Галеркиным (1871—1945) для решения ряда задач теории упругости. Метод Бубнова—Галеркина, как общий приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, не связан, вообще говоря, с каким-либо вариационным принципом. [c.109]

В гл. 5 рассматриваются некоторые общие свойства упругих и пластических стержневых систем. Существенно заметить, что вариационные принципы теории упругости, ассоциированный закон течения, свойство выпуклости поверхности нагружения для пластической системы доказываются здесь совершенно элементарно. Все эти теоремы будут сформулированы и доказаны впоследствии при более общих предположениях. Автору представляется по опыту его педагогической работы, что иллюстрация общих принципов на простейших примерах, где эти общие принципы совершенно очевидны, способствует лучшему их пониманию и усвоению. Гл. 6 посвящена теории колебаний, которая должна занять подобающее место как во втузовских, так и в университетских программах. Кроме собственно задач о колебаниях здесь излагается метод характеристик для решения задач о продольных волнах в стержнях. Этот метод настолько прост И ясен, что им можно пользоваться и его легко понять, не прослушав общего курса дифференциальных уравнений математи- [c.12]

Система уравнений теории упругости и граничные условия представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные условия некоторой вариационной задачи. Построим следующий функционал [c.253]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Очевидное преимущество использования моделирующей непрерывной однородной среды состоит в том, что оно сразу дает определяющие уравнения вместе с граничными и начальными условиями. Как только такая модель построена, ее можно применять к изготовленным из композита телам конечных размеров и произвольной формы. В то же время в подходах, использующих уравнения теории упругости для отдельных компонентов композита в сочетании с прямыми методами вариационного исчисления или асимптотическими разложениями, требуется разумный выбор множества базисных функций для каждого конкретного тела. [c.375]

Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455]

Расчет напряжений и смещений в винте выполнен вариационно-разностным методом (ВРМ) в перемещениях на основе разностной схемы, изложенной в работе [9]. Выбор метода расчета был продиктован тем, что при одинаковых параметрах системы разрешающих конечно-разностных уравнений (число уравнений, ширина полосы ленточной матрицы) и одинаковом расположении узловых точек ВРМ может дать лучшую аппроксимацию уравнений теории упругости, чем метод конечных элементов (МКЭ). [c.129]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Оба описанных способа основываются на дифференциальных уравнениях теории упругости, но ими не исчерпываются возможные подходы к решению задач. Еще одна возможность заключена в использовании минимальных энергетических принципов и в применении основанных на них прямых методов решения вариационных задач. [c.126]

За всем комплексом зависимостей и уравнений теории упругости скрывается общий вариационный принцип, заключающий в себе смысл всей совокупности уравнений и граничных условий данной теории. Аналогичное утверждение справедливо и для теории оболочек, пластин, стержней, а также для систем, составленных из них. [c.27]

Из вариационных принципов теории упругости определяющие уравнения вытекают как условия стационарности, и в этом смысле они эквивалентны определяющим уравнениям. Однако вариационные формулировки имеют ряд преимуществ. Во-первых, функционал, который подлежит варьированию, имеет вполне определенный физический смысл и инвариантен относительно преобразования координат. Следовательно, если вариационный принцип сформулирован в одной системе координат, то можно получить определяющие уравнения в другой системе координат, выписав инвариантную величину в новой системе координат, а затем применив варьирование. [c.19]

Несомненно, одним из наиболее успешных приложений вариационных принципов в теории пластического течения является теория предельной несущей способности [2J. Рассмотрим среду или конструкцию (называемую далее телом), которая состоит из материала, подчиняющегося уравнениям идеальной пластичности Прандтля — Рейсса (12.50). Поверхностные нагрузки fj, i = 1, 2, 3, заданы на 5j, а перемещения заданы на 5 , = 0, i = 1, 2, 3. Пусть поверхностные нагрузки увеличиваются пропорционально одному параметру, т. е. внешние усилия равны y.Fi, 1=1, 2, 3, где X — монотонно возрастающий параметр. Когда величина х достаточно мала, тело ведет себя упруго. По мере увеличения х некоторая точка тела достигает пластического состояния после этого уравнения теории упругости перестают [c.335]

Результаты вычислений коэффициентов жесткости и критических сил сведены в табл. 6.2. Там же для сравнения приведены экспериментальные значения предельных нагрузок, взятые из работы [249]. Во всех рассмотренных случаях согласование расчетных и экспериментальных значе[[ий хорошее. Сопоставление с расчетными данными работы [249] (см. табл. 6.1) показывает, что предложенная нами теория дает лучшее совпадение с результатами эксперимента. Объясняется это тем, что в нашем случае более точно вычисляются коэффициенты жесткости слоя резины на сдвиг и изгиб. В работе же [249] для их вычисления применялся вариационный метод к трехмерным уравнениям теории упругости, который, по-видимому, не обеспечивал тре- [c.235]

Пособие состоит из четырех частей. Первая часть имеет вводный характер. Здесь (главы 1, 2) дана краткая сводка уравнений теории упругости в матричной записи и изложены вариационные методы, составляющие теоретическую базу метода конечных элементов. В гл. 3 подробно описан матричный метод расчета стержневых систем в перемещениях. Используемые здесь принципы, алгоритмы, терминология во многом характерны и для метода конечных элементов. По этой причине расчет стержневых систем излагается иногда в рамках метода конечных элементов. Но между матричным методом перемещений стержневых систем и методом конечных эле [c.6]

Общая схема вариационного вывода одномерных приближенных моделей стержней из уравнения теории упругости заключается в следующем. Делаются предположения (гипотезы) о зависимости смещений от поперечных координат в текущем сечении стержня (рассмотрение ведется в лагранжевых координатах) [c.32]

Рейсснер показал, что определяющие уравнения теории упругости могут быть получены как следствие вариационного уравнения [c.41]

Вариационное уравнение (13) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории упругости и граничным условиям задачи. [c.518]

В настоящую книгу, посвящённую пространственным задачам теории упругости, можно было бы включить наряду с тем материалом, который представлен, изложение теорем о существовании решений уравнений теории упругости, вариационных и других прямых методов решения пространственных задач и рассмотрение некоторых специальных вопросов, в первую очередь задачи Сен-Венана и ей родственных задач Митчелла и Альманзи, а также учения о концентрации напряжений в местах резкого изменения геометрической формы упругого тела. Выполнение такой программы превышает силы и возможности автора оно потребовало бы для изложения, могущего претендовать на полноту и обстоятельность, работы целого коллектива и книги совершенно иного объёма. Надо надеяться, что советская литература, располагающая капитальными трудами по теории упругости, со временем обогатится отдельными сочинениями и по указанным выше вопросам. [c.7]

Первый вариационный принцип для энергии использовался при выводе интегралов, из которых получаются дифференциальные уравнения теории упругости, но он имеет более широкое применение, благодаря тому что с его помощью можно найти приближенные выражения для деформации упругих балок, пластинок и. других тел во многих важных для приложений случаях, когда проинтегрировать дифференциальные уравнения и найти точное решение невозможно. Швейцарский математик Вальтер Ритц ), к сожалению, скончавшийся в раннем возрасте, показал, как можно находить такие приближенные решения. Например, в случае изгиба пластинки он предложил представить уравнение ее изогнутой поверхности в виде суммы конечного числа членов [c.151]

Вариационными принципами теории упругости называются некоторые основные теоремы, выраженные в форме интегральных равенств, связывающих напряжения, деформации и перемещения во всем объеме тела, и основанные на свойствах работы упругих сил. Вариационные принципы представляют практический интерес в том смысле, что на них основаны методы, позволяющие находить эффективное решение задач во многих случаях, когда классический путь интегрирования основных уравнений теории упругости представляет не преодолимые пока затруднения. В этом параграфе мы займемся одним интегральным преобразованием, которое позволит упростить дальнейшие выводы. [c.324]

В работе Y.-Y. Yu [3.174] (1965) построена линейная теория оболочек на основе обобщенного принципа Гамильтона—Остроградского и метода степенных рядов. На основе вариационного принципа в криволинейных ортогональных координатах выводится обобщенное вариационное уравнение движения упругой среды. Затем компоненты вектора перемещений и тензора деформаций представляются в виде бесконечных рядов и подставляются в вариационное уравнение [c.185]

Здесь формулируется энергетическое вариационное условие, сгфеде- яю нее совместно с уравнениями теории упругости закон движения кромки трещин при быстром неустойчивом ее распространении или при действии динамической нагрузки на тело стрешиной. [c.323]

Отметим также успешное применение в вариационных методах теории упругости некоторых образов и приемов строительной механики стержневых систем (канонические уравнения деформации и др.), разработанных Я. А. Пратусевичем [73К [c.66]

Книга соответствует программе для строительных вузов. В ней рассматриваются основные уравнения теории упругости и методы их решения вопросы изгиба и устойчивости пластинок вариационные методы прикладной теории упругости основы расчета оболочек по моментной и безмоментной теориям основные уравнения теории малых упруго-пластических деформаций и методы их решения. Каждый метод по воаможности иллюстрируется примером. [c.2]

Этих уравнений недостаточно для решения задач теори трещин, поскольку необходимо располагать смещениями точек, поверхности трещины. Следовательно, приведенные соотношения являются дополнительными к уравнениям теории упругости, т. е. для решения задачи необходимо решить систему уравнений теории упругости совместно с условием разрушения. Например, к соотношениям (29), (30) можно добавить вариационное уравнение Лагранжа для тела, свободного от заданных нагрузок, но с трещиной, на поверхность которой действуют ри [c.34]

Абовский Н. П. Варнацнонные уравнения для многоконтактных задач теорнн гибких пологих ребристых оболочек. — В ки. Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып. IV. Красноярск Красноярский политех, ин-т, 1969 Вариационные принципы теории упругости. — В кн. Справочник по теории упругости. Кнев Буд1вельник, 1971. [c.279]

Геррман Л. Вариационный принцип для уравнений теории упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов. — Ракетная техника и космонавтика, 1965, т. 3, № 10, с. 139. [c.524]

До недавнего времени расчеты тонкослойных резинометаллических элементов (ТРМЭ) проводили с использованием трехмерных уравнений теории упругости, применяли вариационные, конечно-разностные методы и метод конечных элементов (МКЭ). Указанные подходы нельзя признать эффективными и достоверными, особенно в определении напряжений и перемещений слоев, ввиду чрезвычайной сложности их численной реализации. К вычислительным трудностям решения больших систем (пакет может иметь несколько десятков слоев) добавляются проблемы, связанные с малой объемной сжимаемостью резины и приводящие к плохо обусловленным системам уравнений. [c.4]

Изложенная работа Р. 1иепе])и и Л. Скала [249] представляет несомненный теоретический интерес. Существенным препятствием для практического применения ее результатов является отсутствие способа вычисления коэффициентов жесткости К > Кв тл. К 2 в определяющих уравнениях, тем более что сами авторы обращают внимание на необходимость соблюдать при этом особую точность. Намечен лишь путь их получения вариационным методом на основе трехмерных уравнений теории упругости. Когда вышла работа [249], двумерных теорий эластомерного слоя не существовало. Такие теории появились позже и позволили эффективно решать проблему вычисления приведенных жесткостей через жесткостные характеристики резинового слоя. [c.218]

Вариационные принципы теории упругости позволяют свести проблему определения напряженно-деформированного состояния тела к эадкче отыскания минимума того или иного функционала. На этом основаны различные прикладные методы расчета, в которых удается получить приближенное решение задачи, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений теории упругости. Вариационные принципы составляют теоретический фундамент н метода конечных элементов, позволяя, в частности, обосновать его сходимость к точному решению. [c.27]

При изложении основных уравнений теории упругости мы не останавливались иа вариационных принципах и основанных на них методах приближённого решения частных задач теории упругости. Эти методы получили применение к рассмотрению некоторых пространственных задач в работах М, М. Филоиенко-Бородича Задача о равновесии упругого параллелепипеда прн заданных нагрузках на его гранях (Прикл. матем. и мех. 15, №2, 1951). Две задачи о равновесии упругого параллелепипеда ) (там же, № 5, 1951), Некоторые обобщения задачи Ляме для упругого параллелепипеда (там же 17, № 4, 1953) и Г. С. Шапиро Некоторые задачи о деформациях стержней переменного сечения (там же 17, № 2, 1953). [c.70]

Задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел. Решения этих задач для стержней, пластин и оболочек строятся обычно на основе приближенных уравнений, в которых используются некоторые кинематические и динамические гипотезы. Имеется несколько путей для получения этих уравнений. Первый, наиболее ранний способ состоит в непосредственном рассмотрении форм движения (равновесия), смежных с невозмущенным. При этом ищется некоторая приведенная нагрузка, которая вводится в уравнение невозмущенного движения. Все рассуждения носят наглядный характер однако в достаточно сложных задачах эта наглядность оказывается обманчивой. Другой путь состоит в использовании нелинейных уравнений соответствующих прикладных теорий. Линеаризуя последние в окрестности невозмущенного движения, получим искомые уравнения. В теории оболочек этот путь использовался X. М. Муштари (1939), Н. А. Алумяэ (1949), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым (1957), Н. А. Кильчевским (1963), В. М. Даревским (1963) и другими авторами. Однако в нелинейной теории имеется еще меньше единства взглядов на то, как должны записываться основные уравнения. Следо вательно, идя по этому пути, мы лишь смещаем все трудности в другую, еще менее согласованную область. Третий путь состоит в использовании общих уравнений теории упругой устойчивости (В. В. Новожилов, 1940, 1948). Метод, основанный на соответствующем вариационном принципе, был применен [c.332]

При На и /1/01 < 4 рекомендуется применять методы теории упругости. Если рассматривать станины как пространственные тела то в настоящее вре.мя точное решение соответствующих дифференциальных уравнений теории упругости выполнить не представляется возможным, В связи с этим применяют приближенные ме оды теории упругости, в том числе метод сеток, вариационные методы, метод конёчных элементов и т. п. [c.110]

Производных Фреше, теорему о неявной функции и другие теоремы из функционального анализа, многие из которых приведены с полными доказательствами. Во второй главе дан вывод основных уравнений и граничных условий статической теории упругости. В последующих главах этой части обсуждается структура системы уравнений теории упругости, её зависимость от свойств упругого материала. Часть В под названием Математические методы трёхмерной теории упругости посвящена в основном доказательству теорем существования решений краевых задач нелинейной системы теории упругости. В этой части две главы. В первой даны доказательства теорем существования, основанные на применении теоремы о неявной функции, получены оценки отклонения решения от соответствующего решения линейной задачи, доказана сходимость метода приращений. Во второй главе теоремы существования установлены вариационным методом, на основе минимизации энергии, приведены доказательства замечательных теорем Болла о существовании решений. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...