О решении некоторых нелинейных задач

Спектр собственных частот и совокупность соответствующих им собственных форм определяют динамическую индивидуальность линейной колебательной системы. Эти характеристики важны при рассмотрении задач о вынужденных колебаниях, т. е. для предсказания резонансных и критических состояний, а также в качестве элементов решения некоторых нелинейных задач. [c.90]

Помимо решения аппроксимационных задач, предлагаемая техника дифференцирования оказалась эффективным средством анализа и численного решения некоторых нелинейных задач оптики аэрозоля. В частности, речь идет о задачах, в которых требуется, помимо спектра размеров частиц, найти одновременно и спектральный ход показателя преломления их веш ества либо зависимость его от размера частиц. В равной мере это относится, например, и к зондированию аэрозолей, взаимодействующих с полем влажности. Удается показать, что в подобных случаях обратные задачи в форме интегрального уравнения первого рода можно свести к интегральным уравнениям второго рода. Иными словами, удается осуществить так называемую естественную регуляризацию некорректных задач. Аналогичный факт известен в теории интегральных уравнений Вольтерра [27]. [c.225]

Целью этой статьи является изложение некоторой идеологии возможных путей развития эффективных подходов к решению сложных нелинейных задач математической физики и выработки стратегии получения решений, основанной как на сочетании чисто вычислительных методов, так и на применении некоторых аналитических конструкций и результатов исследования качественных и аналитических особенностей нелинейных задач механики сплошной среды. В связи с этим будет рассмотрен также вопрос о теоретической подготовке математика-вычислителя, которая необходима для успешной работы в области решения задач инженерно-физического плана и эффективного использования современных ЭВМ для математического моделирования и прогнозирования параметров проектируемых машин и аппаратов. [c.14]

Исследование областей, в которых реализуются те или иные решения, удобнее всего производить в плоскости а, в. Ta oe исследование связано с трансцендентными системами уравнений, например, с системой (4.23)-(4.25) или (3.57), (3.58), (3.44), (3.45) и с решениями краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений, например, (1.20), (2.40)-(2,43). Анализ областей существования различных решений в общем виде здесь не представляется возможным. Некоторые необходимые результаты могут быть получены при помощи вычислений. Ряд заключений может быть получен на основании уже имеющихся сведений о решениях вариационных задач. [c.124]

На этом примере показана интересная и важная особенность задач устойчивости. Задачи устойчивости в принципе нелинейны. Классическую постановку задачи о точках бифуркации упругого равновесия можно рассматривать как первое приближение полной нелинейной задачи. Для дальнейшего уточнения классической постановки необходимо тщательно и всесторонне изучать все нелинейные факторы, которые могут оказать влияние на окончательный результат решения. Поэтому достоверные уточнения классической постановки задач устойчивости удается сделать только для некоторых частных задач [11, 26]. [c.37]

Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач, в частности, с помощью подстановок и уравнений (2.7) и (2.8). Однако, получая точное решение линеаризованной задачи, не следует забывать о тех погрешностях, которые внесены в ее математическую формулировку при линеаризации. В некоторых случаях эти [c.43]

Здесь покажем лишь некоторые возможности метода комбинированных схем, так как речь идет о решении нелинейных задач стационарной теплопроводности, решение которых возможно и другими рассмотренными выше методами. Более эффективно использование этого метода при решении нелинейных задач нестационарной теплопроводности, задачи лучеиспускания, контактного теплообмена, обратной задачи, при моделировании температурных напряжений и гидравлических потоков, о которых речь будет идти в последующих главах. [c.122]

Принцип максимума надежности одинаково применим как к линейным, так и нелинейным системам. Для приближенного решения нелинейных задач можно использовать, например, метод статистической линеаризации. При этом используется гипотеза о том, что выходной процесс близок по своим свойствам к нормальному процессу Нелинейные стохастические уравнения приближенно заменяются некоторыми линейными уравнениями с коэффициентами, зависящими от математических ожиданий и моментов второго порядка от исследуемых процессов. После того как стохастическая задача решена и взаимно однозначное соответствие между параметрами нелинейной и эквивалентной линейной задачи установлено, минимизация числа выбросов может быть произведена по параметрам любой из этих задач. [c.61]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Однако попытки использовать линеаризацию для решения задач устойчивости оболочек часто оказываются неудачными, так как обычный принцип линеаризации дает искаженное представление о критических нагрузках и формах. Оказалось, что его следует использовать, линеаризируя задачу в окрестности заранее неизвестного решения или же вообще отказаться от линеаризации и перейти к непосредственному глобальному исследованию нелинейных уравнений, описывающих деформацию оболочки. Так как эти соотношения представляют собой сложную систему уравнений в частных производных, содержащую параметр нагрузки X, проблема сводится к исследованию спектра некоторой нелинейной краевой задачи. [c.137]

Решение сильно нелинейного РГ-уравнения, очевидно, представляет собой весьма сложную задачу. Чтобы составить некоторое представление о его решении, которое желательно получить в аналитической форме, мы должны разработать некоторую приближенную процедуру. В своей второй работе Вильсон ввел такую процедуру, а также опубликовал результаты численного решения своего уравнения. Однако наиболее эффективный метод, предложенный Вильсоном и Фишером, описан в третьей работе из этой серии. В результате теория стала столь простой, что мы можем подробно изложить ее здесь. [c.394]

Для стационарного течения v не должно зависеть от времени усреднения X. Вопрос о скорости течения требует еще дополнительного анализа, так как в решении некоторых задач нелинейной акустики (см., например, гл. 2, 4) появляется постоянная составляющая скорости, не связанная, однако, с переносом массы, ибо средний по времени поток массы равен нулю. [c.208]

Вследствие сильной нелинейности уравнений (12), (15) при решении прямых технических задач численные методы являются, по-видимому, единственно возможными, причем расчеты течения выполняются с некоторой погрешностью. Поэтому можно указать некоторое малое значение Бв = б, соизмеримое с погрешностями вычислений. В результате точное условие 8 = О для жесткой зоны заменяется неравенством Бе б, которое позволяет приближенно определять жесткопластические границы в процессе решения задачи. [c.57]

Попытка перейти от вариационного неравенства (75) к задаче минимизации функционала наталкивается на проблему обеспечения не только потенциальности части оператора А, связанной с упругим потенциалом, но и на проблему ограничения внешних воздействий классом, при котором второе и третье слагаемые в левой части неравенства (75) в целом будут потенциальными операторами над полем перемещений и. В общем случае нетривиальной является также задача проверки условий теоремы о существовании и единственности (или неединственности) решения. По указанным причинам методы решения геометрически нелинейных контактных задач развивались применительно к вариационному неравенству (75) решения конкретных задач даны в работах [8,21,22] и некоторых других [9]. [c.108]

Получение достаточно строгих решений для динамического нагружения упруго-пластических балок встречает серьезные трудности, которые удается преодолеть только в отдельных случаях нагружения и опирания балок. В работе И. Л. Диковича (1962) описано решение для движения свободно опертой балки под действием внезапно приложенной равномерной нагрузки, постоянной во времени и не превышаюш ей. по величине предельную статическую нагрузку. В некоторый момент времени в середине балки образуется пластический шарнир, после чего рассматривается движение двух половинок балки, из анализа которого получается выражение для перемеш ений, которое остается справедливым до тех пор, пока угловая деформация в пластическом шарнире не изменит знака. Для упро-щ ения И. Л. Диковичем предложены приближенные методы, например метод Бубнова — Галеркина. Как это часто делается в нелинейных задачах, удерживайся один член аппроксимирующего ряда. При этом приходилось вводить допущение о стационарности пластических шарниров, которое, как известно, с ростом интенсивности внезапной нагрузки перестает оправдываться и может привести к серьезным погрешностям. Весьма перспективно применение ЭВМ к расчету балок. Так, В. К. Кабулов (1963) для представления изгибных колебаний консольной балки переменной жесткости воспользовался системой неравных сосредоточенных масс, подвешенных к невесомому упруго-пластическому элементу. [c.317]

Проводится исследование самого интересного в прикладном отношении класса движений твердого тела - свободного торможения в сопротивляющейся среде. Данный материал фактически представляет собой введение в нелинейную задачу о свободном торможении, В ней получены некоторые частные решения полной системы, подготовлен материал для проведения качественного интегрирования динамических уравнений в пространстве квазискоростей. Получено новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов на двумерном цилиндре. Показано, что полученное семейство состоит из бесчисленного множества фазовых портретов с различными качественными свойствами. [c.209]

Хорошо известно, что задачи с начальными и граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных очень трудны для решения общим методом. Некоторые частные задачи анализировались от случая к случаю методами, пригодными лишь для этих задач. Нелинейные волны, о которых сейчас пойдет речь, описываются нелинейными уравнениями в частных производных. В данной главе мы ограничимся изучением некоторых простых модельных уравнений нелинейных волн, которые привлекали значительное внимание в течение последних лет десяти. Это поможет нам сравнительно легко понять роль таких факторов, как нелинейность, диссипация и дисперсия, в пространственно-временной эволюции некоторого процесса. В этом фактически и заключается главная цель настоящей монографии. В соответствии с этим намерением мы предпримем сравнительное изучение двух классов уравнений линейных (класс ) и нелинейных (класс II) уравнений. [c.29]

Отправным пунктом изложения является полная система уравнений, учитывающая нелинейность зависимости между деформациями и градиентами смещений, а также сжимаемость и теплопроводность материала. Естественно, что анализ этой системы в общем виде связан с серьезными трудностями. Однако для случаев, когда теплопроводность среды мала, автору удалось исчерпывающим образом изучить распространение ПЛОСКИХ (и с меньшей степенью подробности сферически симметричных) адиабатических и изэнтропических ударных волн. Получение полного решения задачи, дающего возможность оценить влияние теплопроводности, оказалось возможным только для некоторого класса задач о волнах постоянного профиля. [c.5]

В этой главе сделана попытка подойти ко всем задачам о больших деформациях с одних и тех же позиций. Указаны различные методы решения основной системы нелинейных уравнений, и вполне естественно, что перед читателем может встать вопрос, какой из этих методов предпочтительнее. Если требуется найти лишь одно решение нелинейной задачи о больших деформациях, то в большинстве случаев оказывается, что метод Ньютона сходится довольно быстро. Однако в некоторых случаях экономически выгоднее применять методы, использующие постоянную матрицу. [c.458]

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений в этом случае они называются возмущениями по координатам. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в 1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опреде ления асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда в 1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в 1.7. [c.9]

Некоторые разновидности шаговых методов. Рассматриваемые метод последовательных жесткостей и ряд модификаций шаговых методов единообразно укладываются в схему известного в. прикладной математике метода дифференцирования по параметру (методы продолжения) Методы продолжения использовались для доказательства суш,ествования решения еш,е в прошлом столетии [84]. Впервые этот метод для численного решения систем нелинейных уравнений был применен, по-видимому,. яэемом [82]. Кроме того Д. О. Давыденко [22] применил метод дифференцирования по параметру к широкому классу задач, в том числе и для решения систем нелинейных уравнений. В ряде более поздних работ [10, 74] эти методы были снабжены четким физическим смыслом, что обусловило их широкое распространение при решении различных нелинейных задач механики. [c.80]

Некоторые специалисты считают, что виброрелаксация и виброползучесть являются следствием саморазогрева, так как ползучесть и релаксация протекают значительно активнее при повышенных температурах. Однако полное экспериментальное подтверждение такой корреляции до сегодняшнего дня отсутствует [25J. То, что виброрелаксация и виброползучесть могут оказаться результатом суммарного действия, подтверждает геометрическая трактовка, предложенная В. В. Губановым. При решении геометрически нелинейной задачи (без допущения о малости деформаций) и усред- [c.106]

Отметим, что в этом случае получается комплексная и недиагональная матрица, хотя часто оказывается, что влияние недиагональных членов мало по сравнению с диагональными. Дальнейшая процедура также требует укорочения рядов, но теперь наиболее эффективным методом решения будет использование вычислительных машин для решения системы комплексных матричных уравнений. Здесь это не будет делаться, поскольку наша цель — лишь проиллюстрировать, что можно и чего нельзя сделать прежде, чем приступать к подробному решению этой конкретной задачи. Следует отметить важное обстоятельство несмотря на появление указанного сингулярного выражения в точке х = 1, порядок уравнений задачи не увеличился, в то время как в прямом методе это было не так. Легкость, с которой это решение было получено, указывает на тот факт, что не математический подход создает трудности при учете недиагональных членов в разрешающей матрице (хотя иногда это, конечно, может случиться), а, скорее, отсутствие достаточно полных сведений о механизме демпфирования и о точках его приложения. Что же касается обратного перехода от замера форм колебаний к оценке физической модели механизма демпфирования (что полностью противоположно процессу, описанному ранее), то он исключительно труден в лучшем случае и невозможен — в худшем. Однако для многих эластомеров, полимеров и стекловидных материалов, рассматриваемых в данной книге, разумное количественное математическое описание не только возможно, но и стало весьма совершенным, так что его можно использовать для оценки влияния технологических обработок (для демпфирования) или демпфирующих механизмов (при использовании указанных материалов) на поведение конструкции, шумоизоляцию или акустическое излучение. То же самое можно сказать и о некоторых нелинейных демпфирующих системах типа металлов с высокими демпфирующими свойствами или типа демпферов с сухим трением, хотя при этом существенно возрастают математические трудности, обусловленные учетом нелинейности. [c.29]

Особо следует сказать о создании универсальных нелинейных элементов для решения указанных выше задач. Эффективные, стабильные элементы с характеристиками, регулируемыми в широких пределах, могут быть созданы на базе обычных нелинейных элементов лишь в сочетании с блоками структурных моделей. Вопросам синтеза указанных элементов посвящены некоторые разделы настоящей работы (гл. VIII, XVI), а также работа [235]. [c.57]

Если метод подстановок в некотором смысле можно рассматривать как вспомогательный, преобразующий математическую модель для последующего ее исследования другим методом, то метод итераций, о котором речь будет идти далее, является одним из основных методов решения нелинейных задач теплопроводности. [c.69]

Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем исследовалось главным образом уравнение (3.4) с линейными граничными условиями. Следует подчеркнуть, что имеется несколько различных, но взаимосвязанных вопросов, в частности вопрос о сходимости, т. е. о том, стремятся ли решения разностных уравнений к решению нашего уравнения в частных производных, когда s и т -> О, и вопрос об устойчивости, т. е. вопрос о том, уменьшаются ли численные ошибки и ошибки округления с увеличением времени или увеличиваются. Фаулер [15] рассматривает вопрос о сходимости, изучая точные решения разностного уравнения (3.4). В работе [16] устойчивость уравнения (3.4) изучается методом, разработанным Нейманом в ней отмечено характерное превосходство неявных соотношений типа (3.11). В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях, в которых условие устойчивости не выполняется. Соотношения между сходимостью и устойчивостью рассматриваются также в работах [18, 19]. Последняя статья содержит довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами. В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач. В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались. [c.460]

Относительно простые уравнения, учитывающие геометрическую нелинейность задачи, получаются, если ввести допущение о том, что в процессе ползучести оболочки при возмущенном движении, обусловленном некоторыми отклонениями от идеальной формы, напряжения и деформации в ней мало отличаются от напряжений и деформаций основного безмо-ментйого состояния. Введение этого допущения позволяет привести задачу об определении прогибов и напряжений пологой оболочки в условиях ползучести к системе из двух нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, зависящих от координат на срединной поверхности и времени [87], Эти уравнения отличаются от уравнений, которые были получены ранее [83, 77] при исследовании условных критериев устойчивости, только слагаемыми, учитывающими геометрическую нелинейность. Сведение задачи к системе из двух уравнений позволяет использовать для решения задач ползучести оболочек эффективный прием, аналогичный тому приему, который был предложен Карманом и Тзяном при решении нелинейных задач для упругих оболочек. Прием состоит в разыскании функции прогибов в виде ft (О Щ (х, у), где Wi x, у) — задаваемые функции координат. Вид функции напряжений устанавливается с помощью уравнения совместности. Второе уравнение интегрируется по координатам приближенно в смысле Бубнова — Галеркина. Задача сводится к системе нелиь ей-ных интегральных уравнений относительно функций интегрирование которых при заданных начальных условиях [c.273]

На рис. 145 для примера приведена зависимость безразмерного теплового потока от волнового числа для двух фиксированных значений числа Грасхофа в надкритической области (горизонтальные разрезы, указанные пунктиром на рис. 118). Из результатов линейной теории следует, что при фиксированном О > От область неустойчивости, а следовательно, и область существования вторичных движений, занимает определенный интервал значений волнового числа. Этот вывод подтверждается результатами численного решения нелинейной задачи. За пределами области неустойчивости реализуется лишь плоскопараллельное стационарное течение. В области неустойчивости устанавливаются вторичные стационарные течения. Число Нуссельта достигает максимума при некотором значении волнового числа внутри интервала неустойчивости. С ростом О максимум сдвигается в сторону меньших к (т. е. в сторону длинных волн). [c.355]

К данным задачам примыкает проблема косвенного метода определения положения управляемой системы в фазовом пространстве при отсутствии необходимой полной информации о ее начальном состоянии, а также должных сведений о положении системы отсчета, относительно которой определяется движение системы. При этом предполагается, что доступна измерению, например, лишь одна фазовая координата, по измеряемым приращениям которой должны восстанавливаться начальные значения остальных фазовых координат системы. Эта проблема также была исследована для общих случаев нестационарных нелинейных систем. И в случае проблемы управления и в случае проблемы наблюдения дело сводилось к решению систем нелинейных интегральных уравнений специального вида, для которых были предложены подходящие вычислительные алгоритмы. Общие результаты были применены для исследования конкретных задач, например задач об управлении гироскопическими устройствами, задач об управлении импульсными следящими системами и др. Описанные выше исследования были выполнены Я. Н. Ройтенбер-гом в серии работ (1958—1963), подытоженных в монографии Некоторые задачи управления движением (1963). [c.201]

Гомоклинические пфаектории. Подробное обсуждение гомоклинических траекторий можно найти в книгах Лихтенберга и Либермана [ПО] и Гукенхеймера и Холмса [37]. Мы уже знаем, что, хотя решения многих динамических задач представимы в виде непрерывной кривой в фазовом пространстве (с координатами дг и < = х) или в пространстве решений (с координатами х и /), загадки нелинейной динамики и хаоса часто удается разгадать, глядя на дискретную численную выборку из движения, известную под названием сечения Пуанкаре. Мы видели также, что в сечении Пуанкаре точки, хотя в действительности они образают последовательность точек в п-мерном пространстве, могут располагаться вдоль некоторых непрерывных кривых. Эти кривые называются многообразиями. Говоря далее о гомоклинических траекториях, мы имеем в виду последовательность точек. Эта последовательность называется траекторией. Например, если речь идет о периодической траектории с периодом 3, то последовательность точек поочередно посещает три состояния на фазовой плоскости (рис. 5.15, а). С другой стороны, квазипериодическая траектория соответствует последовательности точек, перемещающихся по некоторой замкнутой кривой (рис. 5.15, б). Квазипериодические колебания часто встречаются среди движений двух связанных осцилляторов с двумя несоизмеримыми частотами. [c.179]

Глава V относится к предельному равновесию идеально-сыпуче клина. Особенности идеально-сыпучей среды, лишенной сцеплени позволяют получить искомые решения встречающихся здесь зад более просто, чем на основании общей теории. Удается рассмотре некоторые задачи, в которых одновременно имеют место предельн и непредельные зоны. Разобраны задачи о равновесии насыпей, о сущей способности оснований, о давлении на подпорные стень Решение всех этих задач достигается в замкнутой форме или пр водит к интегрированию обыкновенных нелинейных дифференциал ных уравнений. [c.6]

Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...