Нелинейные стационарные задачи теплопроводности

ЗА. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.214]

Наиболее простыми, дешевыми и удобными моделями при решении стационарных задач теплопроводности являются модели, выполненные из электропроводной бумаги, а самым точным и универсальным является моделирование на сеточных моделях, которые позволяют решать нелинейные задачи стационарной и нестационарной теплопроводности. [c.64]

В более общем случае стационарной задачи, когда ду М) 0 при MeV, в правую часть матричного уравнения (4.3,60) войдет дополнительно слагаемое в виде вектора тепловых нагрузок, компоненты которого выражаются через интегралы по объему тела. Для нелинейной стационарной задачи МГЭ может быть ис-по.тп.зован в сочетании с процедурой последовательных приближений [12, 28]. В случае применения МГЭ к решению нестационарной задачи теплопроводности требуется либо использование интегрального преобразования Лапласа, либо введение функций источника, либо предварительный переход к конечным разностям по времени [12, 28]. [c.210]

В связи с повышенными требованиями к теплотехническим расчетам вопрос о решении нелинейного уравнения теплопроводности становится исключительно важным. Этот вопрос приобретает решающее значение для тепловых устройств и установок, работающих в не- стационарном тепловом режиме. Аналитическое решение таких задач, как уже отмечалось, представляется сложным. Применение расчетных методов требует большой затраты времени. Принципиальная возможность решения нелинейного уравнения нестационарной теплопроводности на специализированных электрических моделях из сопротивлений, емкостей и индуктивностей была изложена в гл. 7 и 8. Решение нелинейных задач тепло-переноса может оказаться более перспективным и результативным, если будут найдены пути практической реализации нелинейности в электрических моделях с сосредоточенными параметрами. Практическая реализация нелинейности сводится к обеспечению переменности сосредоточенных параметров модели и может быть осуществлена двумя различными методами. [c.328]

При решении нелинейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики зависят от температуры, могут быть применены методы, предполагающие изменение параметров модели и методы, в которых используются подстановки, позволяющие свести нелинейное уравнение стационарной теплопроводности к уравнению Лапласа. [c.29]

Гибридные модели этого типа для решения задач теплопроводности представляют интерес, так как они с успехом могут применяться не только для моделирования уравнения Фурье или уравнения Пуассона, когда исследуется температурное поле при наличии источников тепла, но и для моделирования задач с нелинейными изменяющимися во времени граничными условиями. Это приобретает особый смысл, если учесть, что нелинейность в граничных условиях бывает обусловлена как физическим смыслом (например, лучистый теплообмен), так и последствием линеаризации уравнения теплопроводности с помощью подстановок. В последнем случае пассивные модели — i -сетки (для стационарной задачи) и / С-сетки (для нестационарной задачи) в сочетании с блоками электронного моделирования — могут решать нелинейные задачи теплопроводности с нелинейностями I рода, переведенными в нелинейности И рода. При этом количество активных элементов значительно сокращается, так как их функцией является лишь реализация нелинейных граничных условий. [c.56]

Основной идеей решения задачи является шаговый алгоритм. От шага к шагу могут изменяться время или внешние воздействия или то и другое одновременно. Существует возможность выполнять решение задачи теплопроводности или механики сплошной среды только на определенных шагах, что позволяет осуществлять несколько шагов задачи теплопроводности (например, при анализе тепловых процессов) на одном шаге механики сплошной среды, и наоборот после одного шага задачи теплопроводности может следовать несколько шагов задачи механики сплошной среды (например, при решении задачи теории ползучести в условиях стационарного теплового режима). На каждом шаге допускаются внутренние итерации для любой из задач с целью уточнения параметров линеаризованной задачи при учете нелинейностей. Поочередный выход на каждую из задач позволяет учитывать их взаимное влияние друг на друга. Связь между задачами и шагами по времени осуществляется с помощью специальных параметров и системы файлов, что позволяет при необходимости на определенном шаге прервать счет и затем его снова продолжить, начиная со следующего шага, изменив при этом в случае необходимости исходную информацию. Предусмотрена возможность решения частных случаев задачи только задачи теплопроводности или только механики сплошной среды. Любой из этих случаев приводит к сокращению объема входной информации и выдачи а печать. [c.90]

Аналогично решается нелинейная задача стационарной теплопроводности. При решении нелинейной задачи нестационарной теплопровод- [c.16]

Рис. 2. Влияние линеаризации нелинейного уравнения теплопроводности (цилиндрическая стенка). Стационарное распределение температур в элементах корпуса (--линейная задача ----— нелинейная задача)

Так, если для решения линейных задач стационарной теплопроводности могут быть применены модели — сплошные среды, любые сетки резистивных элементов (даже сетки с постоянной структурой), комбинированные модели (] -сетки в сочетании со сплошной средой), структурные и гибридные модели, в состав которых входят указанные выше простейшие пассивные модели, то для решения нелинейных задач с использованием этих же моделей необходимо таким образом преобразовать нелинейное уравнение стационарной теплопроводности, чтобы освободить его от нелинейности, переводя ее в граничные условия (о способах подобного изменения математической модели речь будет идти ниже). [c.17]

Что касается методов, использующих подстановки, то они, линеаризуя моделируемое уравнение, позволяют решать его на моделях с постоянными параметрами (вопрос, связанный с применяемыми подстановками, будет освещен в гл. VI). Так, например, нелинейное уравнение стационарной теплопроводности с помощью подстановки Кирхгофа может быть преобразовано в уравнение Лапласа и решено на обычных моделях, выполненных из электропроводной бумаги постоянной проводимости. Правда, в некоторых случаях (при решении задачи с граничными условиями 1П и IV рода) нелинейными [c.29]

Тип J -сетки (рис. 5, в) может моделировать уравнение Поккельса или, например, задачу стационарной теплопроводности со стоками тепла, линейно зависимыми от температуры (нелинейность П1 рода), [c.32]

Сеточные модели — -сетки могут быть сетками постоянной структуры (состоящими из постоянных резисторов) и сетками переменной структуры, все элементы которой могут при необходимости изменяться в процессе решения задачи. Первые намного проще, дешевле и могут быть использованы для решения линейных задач стационарной теплопроводности и нелинейных задач, если для преобразования математической модели явления использовать соответствующие подстановки (см. гл. VI и т. д.). Недостатками этих моделей являются неприспособленность их к решению нелинейных задач без предварительного изменения математической модели и затруднения, связанные с заданием границы области (это задание на ] -сетках с постоянной структурой может быть реализовано с точностью до шага разбиения исследуемой области на пространственную сетку). [c.35]

Второй тип 7 -сеток (с переменной структурой) более универсален (на нем могут решаться как линейные, так и нелинейные задачи стационарной и нестационарной теплопроводности в самой общей постановке), но моделирующие установки более сложны и более дорогостоящи, чем сетки постоянной структуры. Граница области на них может быть задана, в принципе, с точностью, определяемой разрешающей способностью применяемых переменных сопротивлений. i -сетки могут работать как на переменном, так и на постоянном токе. Замеры потенциалов можно производить непосредственно милливольтметрами, но обычно для большей точности применяется компенсационный способ, т. е. измерения производятся по схеме, [c.35]

Нелинейная задача стационарной теплопроводности (постановка задачи) [c.73]

Далее излагаются некоторые методы решения нелинейных задач в применении к задачам стационарной теплопроводности, которые распространяются затем на другие нелинейные задачи. Общим для этих методов является сочетание метода подстановок, позволяющего линеаризовать нелинейное уравнение теплопроводности, с другими аналитическими и численными методами, такими, как метод итераций (метод последовательных приближений), метод конечных разностей (метод сеток), метод прямых, реализация которых может быть осуществлена как на цифровых, так и на аналоговых (а значит, и гибридных) вычислительных системах. [c.74]

Решение нелинейной задачи стационарной теплопроводности [c.75]

Большой практический интерес представляет решение нелинейных задач методом сеток, так как он широко применяется для решения линейных задач теории поля. В работе [86] указано на возможность решения задачи стационарной теплопроводности с учетом зависимости X (Т) методом сеток с использованием интегрального преобразования (VI. 15). [c.82]

При решении указанных выше задач на электропроводной бумаге применим тот же прием, что и при моделировании на -сетках (параграф 2, гл. VH). Нелинейное уравнение стационарной теплопроводности с помощью введения новой функции (VI. 15) или (VI.27) преобразуется в уравнение Лапласа, а граничные условия линеаризуются. Задача решается методом последовательных приближений причем изменяются при переходе к новому приближению лишь значения внешних сопротивлений, моделирующих граничные условия. Значения эти зависят от значений моделируемой функции на границе (по результатам предыдущего приближения). [c.95]

При опробовании описанной выше методики была решена задача стационарной теплопроводности для бесконечной пластины из аустенитной стали ЭИ-612 (А, = 4,32 + 1,94 10 Т) толщиной 90 мм при температуре греющей и охлаждающей сред соответственно 1073 и 373 К. (На обеих границах пластины осуществлялись граничные условия III рода, отличающиеся для различных вариантов коэффициентами теплоотдачи на сторонах теплоподвода и теплоотвода.) В качестве нелинейных сопротивлений на обеих границах использовались универсальные нелинейные элементы (см. параграф 3 данной главы). [c.118]

В этом методе, как и в методе нелинейных сопротивлений, используются различного рода подстановки для преобразования нелинейного уравнения в линейное (задача стационарной теплопроводности) или для вынесения нелинейностей в правую часть уравнения (задача с источниками тепла задача нестационарной теплопровод- [c.121]

Здесь покажем лишь некоторые возможности метода комбинированных схем, так как речь идет о решении нелинейных задач стационарной теплопроводности, решение которых возможно и другими рассмотренными выше методами. Более эффективно использование этого метода при решении нелинейных задач нестационарной теплопроводности, задачи лучеиспускания, контактного теплообмена, обратной задачи, при моделировании температурных напряжений и гидравлических потоков, о которых речь будет идти в последующих главах. [c.122]

Поскольку в настоящей главе рассматривается решение только задачи стационарной теплопроводности, отметим, что сложность устройств, описанных ниже, зачастую не оправдана недостаточной сложностью поставленной задачи, т. е. задача может быть решена более простыми средствами. Между тем считаем необходимым рассмотреть их, так как речь идет о формулировке метода и, кроме того, они помогут при разборе других, более сложных схем, построенных по тому же принципу, но используемых для решения других нелинейных задач, о которых упоминалось выше. [c.122]

Рассмотрим две схемы для реализации нелинейных граничных условий (в том числе довольно сложную следящую систему) и покажем, как, используя метод комбинированных схем, можно решать нелинейную задачу стационарной теплопроводности с внутренними распределенными источниками. [c.122]

Поскольку при решении нелинейной задачи стационарной теплопроводности моделирование нелинейных граничных условий типа (IX.1) можно осуществить другими, более простыми средствами рассмотрение следящей системы не вызвано необходимостью, а ско рее носит иллюстративный характер, раскрывая возможности метода [c.123]

Что касается реализации граничных условий, то они могут быть выполнены так же, как и при решении задач стационарной теплопроводности, только с каждым шагом во времени, в общем случае, должен меняться управляющий сигнал нелинейного элемента и ток, подаваемый со стабилизатора тока (см. рис. 24). Введя масштабные коэффициенты перехода от тепловых величин к электрическим, устанавливаем связь между термическими параметрами на данном шаге [c.132]

Добавлением функциональных преобразователей в схему (рис. 57) реализуется следящая система для решения нелинейной задачи лучистого теплообмена (см. [1861), правда, последняя может быть использована только при решении задач стационарной теплопроводности. [c.152]

В основе другого устройства, не относящегося к классу следящих систем, лежит метод нелинейных сопротивлений, который был с успехом использован для создания устройств, позволяющих решать нелинейные задачи стационарной и нестационарной теплопроводности с переменными во времени граничными условиями III рода. [c.159]

Что касается устройств, построенных на нелинейных элементах и операционных усилителях, то, поскольку нет принципиальных различий в их работе при решении задач стационарной и нестационарной теплопроводности, приведем лишь схему одного из устройств, указав на некоторые особенности его применения для решения обратных задач нестационарной теплопроводности. [c.175]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

В нелинейных задачах стационарной теплопроводности для определения коэффициентов получается нелинейная система алгебраических уравнений, решать которую обычно приходится численными методами с использованием ЭВМ [56]. [c.169]

Численный метод, который мы использовали в этой книге, характеризуется одновременно и универсальностью и простотой. В рамках рассмотренного класса физических задач этот метод может быть применен к широкому спектру проблем. Задачи теплопроводности могут быть стационарными или нестационарными, с линейными или нелинейными граничными условиями теплопроводность может быть непостоянной и зависеть от температуры генерация тепла может быть произвольной, в частности зависящей от температуры. Описанный метод может использоваться для расчета полей скорости и температуры при полностью развитых течениях и для других приложений, таких как потенциальное течение, течение в пористых средах, электромагнитные поля, массовая диффузия при сложных химических реакциях и т.п. При рассмотрении задач о течениях в каналах при необходимости можно моделировать в расчетной области твердые ребра или перемычки и рассчитывать сопряженный теплопере-нос. Подобные интересные особенности могут быть реализованы и в приложениях другого типа. [c.280]

Гидродинамическая аналогия, основанная на тождественности в формально математическом смысле между функцией тока и потенциалом скорости идеальной жидкости в невихревом потоке и между функцией теплового потока и температурой в системе без источников тепла, была использована Муром и другими авторами для решения двухмерных задач стационарной теплопроводности [83]. В дальнейшем область применения этой модели была расширена на системы с распределенными источниками [111]. В 1928 г. Эмануэлем и несколько позднее Д. В. Будриным были сконструированы и построены модели, основывающиеся на аналогии математических соотношений, описывающих распределение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через капиллярные трубки [3]. Установки, названные гидравлическими интеграторами, позволили решать задачи нестационарной теплопроводности. В. С. Лукьяновым позднее был разработан ряд интеграторов для решения двух- и трехмерных задач теплопроводности [39], а Будриным [3] — гидростатические интеграторы для решения нелинейных уравнений переноса параболического типа. [c.67]

Разработанные автором методы решения нелинейных задач теории поля рассматриваются на примере нелинейной задачи стационарной теплопроводности (гл. VI—IX). Далее эти методы распространяются на более сложные задачи, такие как нестационарная теплопроводность (гл. X), лучистый и контактный теплообмен (гл. XI и XII), обратная задача (гл. XIII), температурные напряжения (гл. XV), а также задача о распределении расходов в разветвленной гидравлической сети (гл. XVI). Последние две задачи, хотя и несколько выходят за рамки задач теплофизики, тем не менее органически с ними связаны, ак как температурные напряжения обычно определяются температурными полями, а определение расходов среды всегда предшествует определению коэффициентов теплообмена на поверхностях деталей, омываемых этой средой. [c.4]

В параграфе 7 гл. VI будет описан метод решения нелинейной задачи стационарной теплопроводности с граничными условиями HI рода, когда метод конечных разностей сочетается с методом подстановок. В этом случае применяется подстановка Шнейдера, однако могут быть использованы и некоторые другие из упомянутых выше подстановок (например, подстановки Кирхгофа, Гудмена и др.). [c.72]

Если к нелинейному уравнению стационарной теплопроводности (VI. 14) применить одну из подстановок (Кирхгофа или Шнейдера), то оно преобразуется в уравнение Лапласа, которое, как известно, может быть смоделировано на -сетках с постоянными параметрами и на моделях, выполненных из электропроводной бумаги. Трудность заключается в моделировании граничных условий, которые в большинстве случаев оказываются нелинейными и после применения подстановок (граничные условия III и IV рода). Решение задач Дирихле и Неймана, как показано в предыдущей главе, ничем не отличается от решений соответствующих задач в линейной постановке. Поэтому на таких задачах останавливаться не будем. Что касается лучистого теплообмена и решения задач с граничными условиями [c.88]

Следует отметить, что при решении нелинейных задач нестационарной теплопроводности с постоянными граничными условиями (Тс = onst) или при решении нелинейных задач стационарной теплопроводности схема УЗНГУ упрощается, так как при этом отпадает необходимость в ФФ. [c.140]

Мацевитый Ю. М. Новый метод моделирования нелинейных граничных условий при решении задач стационарной теплопроводности.— Изв. вузов. Серия Энергетика, 1965, № 8, с. 101—105. [c.240]

Мацевитый Ю. М. Обобщение метода нелинейных сопротивлений на случай произвольной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры в задачах стационарной теплопроводности.— ИФЖ, 1969, 17, № 2, с. 313— 319. [c.241]

Мацевитый Ю. М. Методы и средства для решения нелинейной задачи стационарной теплопроводности.— В кн. Методы и средства решения краевых задач. Изд-во Рижского политехи, ин-та, 1970, с. 104—112. [c.242]

Мацевитый Ю. М. Решение нелинейной задачи стационарной теплопроводности с учетом конвекции и лучеиспускания.— Вопросы теплообмена и термодинамики, 1971, № 1, с. 95—99. [c.242]

В этой задаче реализованы переменная теплопроводность, нелинейный источниковый член и различные граничные условия. Основываясь на этом, можно применять ONDU T к большому числу задач стационарной теплопроводности. Реализация областей со сложной геометрией и нелинейных граничных условий будет показана в следующих двух примерах. [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...