Необходимые уравнения движения сплошных сред

НЕОБХОДИМЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД [c.236]

Таким образом, из второго необходимого уравнения движения сплошной среды следует, что тензор напряжения — симметричный. [c.238]

Необходимые уравнения движения сплошных сред [c.38]

Следовательно, второе необходимое уравнение движения сплошной среды указывает, что тензор напряжений, рассмотренный в предыдущем параграфе, является симметричным. Уравнение сплошной среды в векторной форме на основании (3.3.2) будет иметь вид [c.41]

Представленный в данной главе феноменологический метод вывода уравнений движения сплошных сред обладает логической стройностью и эвристической силой. Для получения замкнутых систем уравнений необходимо привлечение дополнительных гипотез или соотношений, связывающих макроскопические характеристики. В некоторых случаях такой метод приводит к желаемым результатам — правильному количественному описанию процессов в гетерогенных смесях. [c.51]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

КИНЕМАТИКА И НЕОБХОДИМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД [c.5]

Математическая сложность уравнений движения сплошной среды позволяет получить точные решения для ограниченного числа относительно простых течений. В одномерном случае это, например, рассмотренные выше ударные волны и простые волны разрежения, в двумерном — течение Прандтля — Майера [4]. Иногда, при определенных начальных и граничных условиях, задача имеет автомодельное решение и система уравнений газодинамики сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1], анализ которых значительно проще. Широкое развитие получили приближенные методы решения, основанные на упрощении исходной задачи. Здесь прежде всего необходимо отметить асимптотические методы [21], эффективность которых в самых разных областях физики всеми признана. Преимущество точных и приближенных аналитических решений очевидна. Они играют важную роль не только для понимания физической картины явления, но и необходимы при постановке математических задач. Но обычно, даже упрощенные уравнения не удается проинтегрировать, и они должны решаться численно. Поэтому методы численного моделирования широко используются для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. [c.35]

Разумеется, использование только фундаментальных законов физики не позволило нам получить замкнутую систему уравнений движения сплошной среды. Для этой цели необходимо привлечение дополнительных гипотез. [c.21]

Поэтому для основной системы дифференциальных уравнений движения сплошной среды (или системы основных законов движения) необходимо предварительно провести ее замыкание назначить или отыскать из соображений, не связанных напрямую с основными постулатами ньютоновской механики, недостающ,ие 18 скалярных зависимостей между искомыми функциями. Это будет сделано в 14 при классификации сплошных сред для каждого из принятых классов. В дальнейшем будут рассматриваться только классические среды (в пренебрежении внутренним моментом количества движения). [c.303]

Для выделения из множества решений системы уравнений движения сплошной среды одного определенного, характеризуемого заранее заданными признаками, необходимо иметь начальные и граничные условия. [c.418]

Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики — количеств движения, моментов количеств движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только в конечном счете . Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения [c.80]

В-третьих, мы рассмотрели выше только газовый вариант системы, релаксационные процессы в которой определяются макроскопическими уравнениями движения сплошной среды. При рассмотрений релаксационных процессов, связанных с учетом электромагнитных полей и т.д., проведение необходимых оценок приближается к микроскопическому уровню, так как требует привлечения некоторых параметров уже атомно-молекулярного уровня (время поворота молекулы в поле, время поглощения и испускания фотона и т.д.). Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении релаксационных процессов в локальных областях термодинамических систем, связанных с учетом взаимодействия частиц друг с другом и т.д. (см. 3). > [c.154]

В-третьих, мы рассмотрели выше только газовый вариант системы, релаксационные процессы в которой определяются макроскопическими уравнениями движения сплошной среды. При рассмотрении релаксационных процессов, связанных с учетом электромагнитных полей и т. д., проведение необходимых оценок приближается к микроскопическому уровню, так как требует при- [c.170]

Стремление к углубленному рассмотрению внутренних процессов в действительных средах, включая сюда процессы переноса, приводит во многих случаях к необходимости отказа от макроскопического подхода механики сплошных сред в пользу микроскопических методов статистической механики, позволяющих значительно ближе подойти к выяснению природы скрытых молекулярных процессов и разнообразных форм движения материи. Уравнения статистической механики значительно сложнее уравнений механики сплошных сред, хотя и аналогичны им по типу, и также требуют дополнительных допущений при решении конкретных задач. [c.11]

Уравнениями, необходимыми, но недостаточными для описания движения сплошных сред, будут уравнения (1,2.3). Поэтому они и являются исходными при выводе уравнений движения жидкостей и деформируемых тел. [c.8]

Необходимо отметить, что равенство (3.7) является основным постулируемым динамическим соотношением механики сплошной среды. Как второй закон Ньютона является исходным в механике материальной точки, так и уравнение (3.7) лежит в основе механики сплошной среды и является исходным для исследования любых движений сплошной среды. [c.67]

Чтобы дифференциальные уравнения движения (2.7) и энергии (2.9), или притока тепла (2.10), составили замкнутую систему, способную описывать непрерывные движения сплошной среды, необходима конкретизация свойств среды и, в частности. [c.122]

Наконец, что нам будет необходимо в дальнейшем, это — дифференциальные уравнения равновесия и движения сплошной среды (не обязательно упругой). Уравнения равновесия запишем следующим образом, обозначая через X, У, Z и соответственно Л, 0, Z и Р, И, Ф проекции объемных сил на координатные направления (отнесенных к единице объема). [c.18]

Заметим, что понятие внутренней энергии, как и все другие термодинамические соотношения и понятия, необходимо в общем случае изучения движений сплошной среды, но существуют некоторые частные примеры сплошных сред, в частности перечисленные в гл. IV, когда понятие внутренней энергии не нужно для замыкания системы уравнений, описывающих непрерывные движения. Понятие внутренней энергии в явной форме не требуется при изучении механического движения идеальной несжимаемой жидкости, без этого понятия так же можно обойтись и в теории упругих тел, если не рассматривать тепловые эффекты. [c.209]

Для того чтобы с помощью этой системы уравнений рассматривать частные задачи о движении сплошной среды, необходимо дополнить ее соотношениями, задающими свойства конкретной модели среды. [c.250]

Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и наоборот. Если у нас есть закон движения сплошной среды в форме (1.1), то чтобы перейти к переменным Эйлера необходимо разрешить уравнения (1.1) относительно. [c.3]

Для описания движения материальных объектов, в том числе и гетерогенных смесей, необходимы схематизации и математические модели. Вопросы математического моделирования гетерогенных систем слабо отражены в монографиях по механике. И именно этим вопросам посвящена основная часть (около 70% ) настоящей книги. Рассматривается как феноменологический метод (гл. 1), так и более глубокий и более сложный метод осреднения (гл. 2 и 3), а также их совместное использование (гл. 4). Автор стремился излагать материал, выявляя основные идеи, с единых позиций, установившихся в механике сплошных сред. Настоящая монография, но существу, представляет раздел механики сплошных сред, а именно — основные уравнения механики сплошных гетерогенных сред. [c.5]

Было отмечено, что в уравнениях (6.32) и (6.33) UJ и соответствуют скорости невозмущенного потока жидкости и скорости твердых частиц. Известно, однако, что около твердой частицы конечных размеров существует попе скоростей, обусловленное относительным движением (11 — Пр ), и что при достаточно большой относительной скорости следует ожидать появления следов (разд. 2.1). Следовательно, для применения к смесям с дискретной фазой методов механики сплошной среды необходимы соответствующие ограничения в зависимости от характера течения жидкости около частиц. [c.279]

Для этой цели можно воспользоваться обычным для кинематики точки приемом задания в функции от времени I координат (. 1, Х2, Xz) отдельных точек сплошной среды, но, чтобы индивидуализировать такие уравнения для различных точек среды, необходимо как-то выделить данную точку среды из остальных. Следуя Лагранжу, в качестве определяющих выбор точки параметров можно принять ее декартовы или, вообще говоря, любые криволинейные координаты а, Дг, а в некоторый начальный момент i = 0. Тогда уравнениями движения любой точки среды будут служить выражения [c.329]

Поверхности разрыва. При течении гетерогенных смесей могут возникать зоны (ударные волны, пристенные слои, контактные поверхности), в которых параметры среды изменяются существенно на расстояниях порядка размеров самих включений или меньших (нулевых с точки зрения сплошной среды). В этих зонах представления сплошной гетерогенной среды и следующие из них дифференциальные уравнения (1.1.33) или (1.1.56) не имеют смысла. Поэтому, как это обычно делается, необходимо ввести в рассмотрение поверхность разрыва параметров течения, по обе стороны от которой выполняются уравнения непрерывного движения. Получим основные условия на поверхности разрыва Sb, исходя из интегральных уравнений, которые применим к малому цилиндрическому объему, покоящемуся относительно 8ь с основаниями, параллельными 8ь и расположенными по разные стороны от нее. Пропуская обычные в таких ситуациях выкладки (Л. И. Седов, 1984) и предполагая, что процессы фазовых превращений в этих тонких слоях (поверхностях) не успевают произойти, из (1.1.4), (1.1.9), (1.1.19) получим [c.35]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

До сих пор рассматривались механические элементы, определяющие динамическое поведение конструкций. В большинстве случаев конструкции являются не изолированными, а располагаются на поверхности сплошной среды или окружены ею. Поскольку упругие волны могут распространяться во всех средах, то следует ожидать некоторого взаимодействия с этими средами. Например, колеблющаяся конструкция возбуждает акустические волны в воздухе, которые будут слышны, если их интенсивность и частота располагаются в пределах чувствительности уха. Акустические волны будут также отражаться от окружающей среды и влиять на динамическое поведение конструкции. Аналогично, когда акустические волны от одного источника, например колеблющейся поверхности, падают на другую гибкую поверхность, они порождают на этой поверхности нагрузки в виде периодически меняющегося давления, что заставляет ее колебаться и в свою очередь излучать акустические волны (рис. 1.25). В принципе явление акустических взаимодействий с конструкцией можно описать уравнениями движения конструкции и окружающей среды. До сих пор ввиду сложности геометрии действительных конструкций и многократности отражений акустических волн это совсем не легкая задача, и обычно только очень простые идеализированные задачи могут быть решены с необходимой степенью точности. Однако эти простые классические решения могут оказать значительную помощь в понимании сути явления и в интерпретации результатов экспериментальных исследований или очень громоздких расчетов на ЭВМ, Особенно важно помочь инженерам понять суть результатов различных замеров шумов и колебаний, получаемых ими, а также оценить влияние изменений различных параметров. Без подобных экспериментов получение и оптимизация данных экспериментов с целью снижения шума установок и решения реальных задач подавления колебаний будет, разумеется, очень сложным делом. Некоторые работы общего характера [1.47— 1.52] могут представить интерес для читателей, которые только начинают знакомиться с этой темой. [c.52]

Произведя несложные преобразования, можно показать, что соотношения (1.2.2) представляют собой теоремы о количестве и моменте количества движения систем. Уравнения (1.2.2) необходимы для описания движения механических систем, состояш,их из дискретных материальных точек. Если механическая система представляет собой сплошную среду, заполняюш,ую часть пространства V, то левые части уравнений (1.2.2) превратятся в определенные объемные интегралы, и массы отдельных точек преобразуются в бесконечно малые элементы д,т сплошной среды. При этом если на среду будут действовать п сосредоточенных сил и силы, распределенные по всем точкам сплошной среды, то необходимые уравнения движения сплошной среды будут иметь вид [c.8]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

Решение задач с помощью теоремы об изменении количества движения ио сравнению с решением задач с использованием дифференциальных уравнений движения системы упрощается, поскольку применение теоремы исключает необходимость рассмотрения внутренних сил системы. Особенно часто эта теорема применяется при исследовании движения сплошной среды (жидкости, газа). Вместе с тем она может успешно применяться и при изучении движения системы материальных тел, состоящей из основного тела, несущего другие тела. При этом тело-носитель совершает поступательное движение, а относительные движения несомых тел ио отношению к основному заданы. Решение оказывается особенно простым в том случае, когда выполняется закон сохранения количества движения. [c.177]

Общие соображения. Рассмотренные выше величины (силы, напряжения, перенос, вращение, деформация, скорость деформации и т. п.) необходимы для описания динамического и кинематического состояний элементарной частицы среды и могут быть названы механическими переменными. Они связаны, как мы знаем, только тремя уравнениями движения (4.1). Для построения замкнутой феноменологической теории движения сплошной среды должна быть также известна связь между динамическим и кинематическим состояниями частицы. Совокупность таких соотношений можно назвать механическими уравнениями состояния их необходимо отличать от уравнений движения (4.1), являющихся следствием принципа Даламбера и описывающих не суиГественную для состояния вещества механику переноса и вращения частицы среды. [c.25]

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ. Кинематические зависимости и законы сохранения не дают полной системы уравнений, позволяющей вместе с начальными и граничными условиями одназначно описать движение сплошной среды. Для того чтобы сделать систему замкнутой, необходимы дополнительные соотношения. К ним относятся так называемые определяющие уравнения, которые характеризуют конкретные физические свойства изучаемой среды. [c.128]

Коэффициент теплоотдачи зависит от градиента температуры в пограничном слое. Для его определения необходимо знать температурное поле в потоке и распределение скоростей движения элементарных объемов жидкости по направлениям. Эти характеристики определяются энергетическими условиями в движущейся среде, уравнениями аэрогидродинамики сплошных сред и уравнениями непрерывности, или сплошности. Для простоты изложения ограничиваются соотношениями, которые справедливы только для капельной жидкости. При небольших давлениях и умеренных (дозвуковых) скоростях они могут быть использованы для описания ороцессов. протекающих при конвективном охлаждении потоком газа. [c.37]

Необходимо заметить, что, исходя в своих обоснованиях всюду из молекулярной модели Иуассон вводил в последующие рассуждения по существу континуальные представления. Так, в его мемуаре мы находим дифференциальные уравнения Коши движения сплошной среды в напряжениях и линейную зависимость компонент напряжения от скоростей деформаций. Однако Отсутствие чисто континуальной трактовки этих соотношений сильно осложняло рассуждения Пуассона. [c.68]

Если частицу сплошной среды рассматривать как материальную точку, то последние уравнения опишут ее движение. Сплошная среда, непрерывным образом заполняюш.ая пространство или часть его, состоит из бесчисленного числа точек, следовательно, чтобы описать движение всех точек среды при помош,и уравнений (2.1.1), необходимо ввести в них параметры, характеризуюп ие ту или иную точку среды. [c.9]

При изучении механики сплошных сред задача состоит в исследовании движения сплошной среды под действием заданных сил. Таким образом, в уравнениях (3.3.5) компоненты массовой силы Р рассматриваются как величины заданные. Остальные величины, а именно плотность р, компоненты напряжения р у , Руу] р /, р у, Рухч Рхх и компоненты ускорения а , ау, (либо компоненты векторов скорости или смещения, через которые а выражается), являются величинами, подлежащими определению. Уравнения (3.3.5) представляют систему трех уравнений относительно 10 неизвестных. Следовательно, уравнения (3.3.5 ) являются, как очевидно, уравнениями необходимыми, но недостаточными. Недостающие уравнения для описания движения сплошных сред принципиально не могут быть найдены методами классической механики. Их можно получить, только рассматривая основные физические характеристики тех или иных сплошных сред и строя на основании их гипотезы [c.41]

Появление этих членов (типа турбулентных напряжений в уравнении движения —и турбулентного теплового потока —-СррТ ы . в уравнении энергии) есть следствие того, что сложное пульсирующее движение сплошной среды описывается осредненными значения.ми пара.метров. Они являются новыми неизвестными, и для замыкания системы уравнений необходимо ввести новые уравнения. [c.14]

Точные уравнения равновесия (движения) сплошной среды и соотношения между деформациями и перемещениями в переменных Лагранжа выведены в известной монографии В. В. Новожилова [71.. Возможность перехода к линейным соотношениям открывается в случае, когда справедлив закон Гука — напряжения линейно зависят от деформаций (физическая линейность) — и деформации и углы поворота малы по сравнению с единицей (геометрическая линейность). Кроме того, необходимо еще одно условие линейные члены в уравнениях должны быть достаточно большими по сравнению с нелинейными. Так, при анализе сложного изгиба тонкостенных конструкций (изгиба при наличии растяжения или сжатия) в уравнениях равновесия, вообще говоря, нельзя пренебречь произведениями цепных сил на углы поворота — нелинейными членами, как бы ни малы были деформации и повороты. Здесь существует, однако, класс задач, в которых цепные усилия можно считать не зависящими от поперечного изгиба. В последнем случае уравнения становятся линейными (цепные усилия входят в них в качестве параметров). В динамике указанный класс суживается. Например, если статичес- [c.25]

Задача определения движения проводящей сплошной среды является в общем случае комплексной задачей, для ее решения необходимо решать уравнения механики сплошной среды совместно с уравнениями электроди1замики. Подчеркнем, что выражение для пондеромоторной силы (4.13) учитывает только наличие в среде зарядов и токов и должно быть усложнено, когда среда поляризуется и намагничивается. [c.302]

В работах [306, 307] были введены Г-иптегралы, по. зволяющие изучать многие физические и меха71ические явления в сплошных средах, содержащих особые точки, линии или поверхности. Эти интегралы строятся на основе общих физических законов сохранения с привлечением уравнений электромагнитного поля Максвелла, уравнений движения Ньютона, кинематических условий для малых деформаций с возмоягным обобщением на конечные деформации. Функции, входящие в этн уравнения, предполагаются непрерывно дифференцируемыми необходимое число раз всюду, за исключением особых точек, особых лиггай п особых поверхностей, где они утрачивают физический смысл. [c.66]

Математическое моделирование, закон поверхностного разрушения твердых тел при трении в общем случае должны учитывать физические, химические, механические явления, контактную ситуацию, изменение геометрических характеристик твердых тел во времени, кинематику движения, структуру и состав поверхностных и приповерхностных слоев, образование химических поверхностных соединений, состояние смазочного слоя. Получение уравнений, характеризующих в общем случае процесс поверхностного разрушения при трении, должно базироваться на синтезе эксперимента и математических моделей, учитывающих физико-химические процессы, механику сплошных сред, термодинамику и материаловедческий аспект проблемы. Разрабатываемый теоретико-инвариантный метод расчета поверхностного разрушения твердых тел при трении основывается на уравнениях эластогидродинамической и гидродинамической теории смазки, химической кинетики, контактной задачи теории упругости, кинетической теории прочности и учитывает теплофизику трения, адсорбционные и диффузионные процессы. Цель данных исследований —в получении из анализа и обобщений экспериментальных результатов критериальных уравнений с широкой физической информативностью структурных компонентов, полезных для решения широкого класса практических задач и необходимых для ориентации в направлении постановки последующих экспериментальных работ. Исследования в данной области будут углубляться и расширяться по мере развития знаний о физико-химических процессах, г[ротекающих при трении, получения количественных характеристик и развития математических методов, которые обобщают опытные наблюдения. [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...