Вариационный Зависимость

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

В тех случаях, когда постоянная времени электромеханического переходного процесса из-за большого момента инерции вращающихся частей значительно превышает электромагнитную постоянную времени двигателя, процесс разгона рассматривается как квазистатический. Тогда исходная вариационная задача представляется в дискретной форме (6.27), которая для времени разгона fp. С, принимает вид, аналогичный зависимости (3.1) [c.225]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Таким образом, для вариационного уравнения бУ = О уравнениями Эйлера—Остроградского являются дифференциальные зависимости Коши (5.76) и дифференциальные уравнения равновесия (5//7), а естественными граничными условиями — условия (5.78) и (5.79). [c.106]

Таким образом, расчет балки должен производиться по осред-ненному операторному модулю, при этом вариационный принцип фиксирует совершенно определенный способ такого осреднения, которое, вообще говоря, не единственно. При использовании принципа типа Лагранжа, например, мы придем к точно тем же уравнениям, но при зависимости операторного модуля от координаты необходимый способ осреднения окажется иным. [c.606]

Изложен новый единый вариационный метод совместного определения нестационарных полей деформаций, напряжений и температур системы контактирующих тел заготовка— инструмент с учетом случайного характера основных технологических параметров процесса деформирования. Впервые описана комплексная математическая модель, позволяющая определять нестационарные поля температуры, напряжений и деформаций в процессе прессования прутковых н трубных профилей и скоростные режимы-изотермического прессования профилей в зависимости от основных технологических параметров процесса. [c.57]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Эйлерова производная этого выражения приводит прямо к релятивистскому импульсу G в форме (2.19), а, следовательно, также и к закону зависимости массы электрона от его скорости. Вообще говоря, нахождение функции Лагранжа L, приводящей через посредство вариационного принципа к заданным дифференциальным законам, является (в особенности вне пределов механики) трудной задачей, для решения которой не существует общих правил. Для указанного выше случая движения электрона в магнитном поле эта задача была весьма простым способом разрешена Лармором и Шварцшильдом. В этом случае разложение L на кинетическую и потенциальную части по схеме L = Т — V, вообще говоря, уже невозможно. [c.277]

Естественно сначала исключить одну из переменных — например, и — при помощи дополнительного условия, выразив ее через остальные и . Тогда мы получим функцию гг — 1 переменных Wi, Un-i, которую можно уже исследовать методами свободной вариационной задачи. Этот способ вполне оправдывает себя, а иногда оказывается и наиболее простым. Однако очень часто исключение переменных является чрезвычайно обременительной задачей. Кроме того, условие (2.5.2) может быть симметричным относительно переменных и ,. .., тогда, вообще говоря, нет никаких оснований искусственно выделять одну из переменных в качестве зависимой, выражая ее через остальные как через независимые переменные. [c.66]

Таков общий метод разрешения проблем о максимумах и минимумах неопределенных интегралов, для которых вариационное исчисление и было сначала предназначено. Мы видим, что если даже подвергнуть вариации все переменные, то мы все-таки получаем число уравнений на единицу меньшее, чем имеется переменных, но это соответствует природе вещей, так как в данном случае задача заключается не в том, чтобы определить индивидуальное значение каждой из переменных величин, как в обычных задачах на максимумы и минимумы, а в том, чтобы найти неопределенные отношения между этими переменными, благодаря которым образуется их взаимная функциональная зависимость и они могут быть выражены с помощью кривых простой или двоякой кривизны. [c.129]

К первому классу относятся принцип возможных перемещений Бернулли, принцип сил инерции Д Аламбера, принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип прямейшего пути Герца. Все эти вариационные принципы можно охарактеризовать как дифференциальные принципы, поскольку они вводят в качестве характерного признака действительного движения свойство движения, которое имеет значение для одного-единственного момента или элемента времени. Для систем механики все эти принципы эквивалентны и законам- движения Ньютона, и между собою. Но все они страдают тем недостатком, что имеют смысл только для механических процессов и что их формулировка делает необходимым пользоваться специальными координатами точек рассматриваемой материальной системы. Их формулировка, в зависимости от выбора координат точки, совершенно различна, и даже, чаще всего, относительно сложна и мало наглядна. [c.582]

Если перейти от этих тождеств к соответствующей вариационной задаче, т.е. если положить = 0 ), то теорема I для случая одномерного пространства, в котором дивергенция переходит в полный дифференциал, устанавливает существование д первых интегралов, между которыми во всяком случае могут существовать нелинейные зависимости ) в многомерном случае получаются уравнения дивергенции, которые теперь часто определяют как теоремы сохранения теорема И говорит, что д уравнений из общего числа уравнений Лагранжа являются следствием остальных. [c.614]

В результате решения вариационной задачи получается зависимость вида [c.597]

Нетрудно убедиться, что условие минимума Р, определяемого этой зависимостью, снова приводит к вариационному уравнению (2.37), эквивалентному (2.38). Действительно, из условия [c.52]

С учетом зависимостей (2.42) и (2.41) последнее равенство приводит к вариационному уравнению (2.37). Теперь становится ясным, что первое собственное значение параметра нагрузки Р , определяемое из этого уравнения, совпадает с нижней границей значений Р, определяемых зависимостью (2.42), поэтому Р = Р р. [c.52]

Вариационное условие (2.43) или (2.44), выраженное через начальные напряжения Ох, Оу,. .., т ,. .. с помощью зависимостей типа (2.45) или (2.46), назовем энергетическим критерием устойчивости (вариационным принципом) в форме Брайана. [c.53]

Подбор решёт производят по данным замеров очищаемого зерна и его примесей. Изменение размеров зёрен изображается вариационной кривой. При разделении смеси по двум признакам пользуются корреляционными таблицами (решётками). Полное выделение сорняков (примесей) возможно в том случае, если вариационная кривая, характеризующая изменчивость ширины или толщины сорняка (примесей), не перекрывает вариационной кривой соответственного размера очищаемой культуры. В зависимости от степени перекрытия кривых выделение сорняков или совсем невозможно или возможно с некоторыми отходами основного зерна. [c.122]

На рис. 7.4 изображена диаграмма значений предела усталости соединений из стали 45, выполненных сваркой трением, в зависимости от последующей технологической обработки в процентном отношении к пределу усталости основного металла. В соответствии с этой диаграммой для повышения усталостной прочности соединений рекомендуются следующие способы 1) термическое улучшение 2) поверхностная закалка токами высокой частоты. Результаты определения рассеивания значений усталостной прочности показали, что эти методы обеспечивают стабильность прочностных показателей, вариационный коэффициент предела усталости не превышает 2%. [c.192]

Во второй главе задача расчета термоизоляции сведена к решению соответствующей задачи теплопроводности при принятых условиях теплообмена с окружающей средой или теплоносителем с учетом (в общем случае) зависимости теплофизических характеристик термоизоляторов от температуры. Дана математическая формулировка задач теплопроводности в дифференциальной и интегральной (в частности, в вариационной) формах для теплоизоляционной конструкции в виде неоднородного анизотропного тела произвольной формы, и рассмотрены основные методы решения таких задач. На основе вариационной формулировки задачи теплопроводности построены двойственные оценки таких важных интегральных характеристик теплоизоляционной конструкции, как ее термическое сопротивление, проходящий через нее суммарный тепловой поток, средние температуры поверхностей теплообмена. [c.4]

Критерии динамической оптимальности. При менение вариационных методов для отыскания оптимальных законов движения обычно предполагает использование сред неинтегральных, обобщенных характеристик динамического ре жима работы механизма в качестве критериев оптимальности Конкретный выбор критерия динамически оптимального дни жения зависит от условий задачи. Так, если скорость ведуще го звена полагается известной, то критерии, как правило, ха рактеризуют динамический режим на ведомом звене. При этом в зависимости от условий работы механизма критерии могут характеризовать величины среднеинтегральных ускорений (сил инерции), рывков или величину динамической мощности ведомого звена при различных условиях (задачи 1—4). Отметим, что требование минимизации среднеинтегральных ускорений ведомого звена совпадает с требованием минимизации инварианта пиковой скорости ведомого звена, а эта величина также в ряде случаев может служить критерием оптимальности. Уменьшение инварианта пиковой скорости позволяет снизить углы давления, что представляет существенный интерес для проектирования кулачковых механизмов станков-автоматов. [c.16]

I. Расчет упругой характеристики УЭ от статической нагрузки. Применяют либо готовые формулы (см. параграф 17), либо в более сложных случаях стандартные вычислительные программы на базе метода конечных элементов [21]. В некоторых случаях с успехом можно использовать и прямые вариационные методы [13]. В результате такого расчета получают зависимость между силой Р (моментом) и осадкой (углом поворота) Д [c.216]

В таком случае значение функционала v[y(x)] рассматривается на допустимых в данной вариационной задаче кривых (или функциях у = у(х)). Их допустимость обуславливается необходимостью удовлетворять заданным краевым условиям и определенным в зависимости от вида функционала свойствам гладкости. Выбор классов допустимых функций и составляет сущность отдельных прямых методов в вариационных задачах. [c.116]

Зависимость (1.4.50) часто называют вариационным уравнением Кастильяно. [c.50]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.63]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Параметры Атпрь > А ) гпрг определяются из условия выполнения вариационного уравнения (1.3.19) или (1.3.23) при разгрузке в зависимости от свойств фиктивного тела. Это условие эквивалентно системе алгебраических уравнений [c.47]

Здесь предполагается суммирование по повторяющему индексу 7, а черта над 6z означает вариацию z для неварьированных аргументов х, у. Интеграл по контуру С в формуле (4.13) отвечает классическому выран еыию вариации для вариационной задачи с частными производными при переменной области интегрирования. Появление интеграла по области D обусловлено зависимостью подынтегрального выражения в (4.12) от контура области интегрирования. [c.44]

Второе дополнительное условие состоит в требовании равновесности процесса роста трещины. Иными словами, весь поток энергии, возникающий в связи с возможным приращением длины трещины, целиком затрачивается только на разрушение. При этом трещина при медленном возрастании пли падении внешней нагрузки будет медленно и устойчиво распространяться вдоль искомой траектории. Ванчно, чтобы внешняя нагрузка соответствующим образом уменьшалась в области падающей зависимости внешнего усилия от длины трещины в предельном состоянии равновесия. Итак, это дополнительное условие может быть представлено в виде dl/dl = 0. Вместе с тем в изопериметрической задаче вариационного исчисления при наличии условия типа [c.203]

Вариационный ряд Uj UVД ет возможность оценить распределение этих величин/ V) с достаточно большой точностью и по нему сделать суждение о сопряженном (т. е. связанном опре- деленной функциональной зависимостью) распределении времени безотказной работы/ (Г). В этом случае параметры данного распределения позволят осуш ествить прогнозирование надежности изделия, т. е. судить об изменении вероятности безотказной работы за период времени t > Гр й оценить правильность выбора данного значения Тр (см. гл. 3, п. 2). [c.224]

Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собоИ момент времени t, положение системы, скорости. и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кинематически возможных путей. Вариационные принципы имеют более обозримую и компактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики. [c.107]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Вряд ли все эти аксиомы можно считать всеобщими аксиомами познания , но для классической механики они безусловно имеют смысл. Это значит, что вариационные принципы механики заключают в себе — в своем содержании и математической форме — указанные аксиомы . Изучение любой области или процессов мира, в которых пространство окажется анизотропным или в которых существует квантованная (элементарная) длина и т. п., потребует изменения — обобщения вариационных принципов. Обобщение принципа причинности также приводит к дальнейшему обобщению принципа действия. Таким образом, исключается какая-либо возможность телеологической точки зрения. Впрочем, телеология должна быть отброшена уже потому, что принципы действия являются не минимальными, а вариационными принципами. Они утверждают только, что вариация интеграла равна нулю в том случае, когда зависимые переменные получают малое изменение, подчиненное некоторым граничным условиям, или, более строго, эта вариация есть величина бесконечно малая второго порядка. Когда выполняются условия минимума, вариационное условие также выполняется, но обратное не имеет места. Действительный минимул интеграла действия получается в том случае, когда взят достаточно короткий участок пути. [c.872]

Напомним, что при выводе функционала Ху —Вашицу, был принят за основу функционал Рейсснера /2 (и, о) и использовалась зависимость (15.117). В данном разделе применим симметричную зависимость, и подобно тому как при выводе функционала Ху—Вашицу поставили дополнительное условие (15.19), в рассматриваемом случае потребуем выполнения симметричного (см. табл. 15.2) условия (15.17), используя так же как и при построении функционала Ху —Вашицу множители Лагранжа для сведения условной вариационной проблемы к свободной. [c.527]

Численное моделирование нагруженности. Численное моделирование рассмотренньк вьпне условий эксплуатации АЭС, термомеханической и динамической нагруженности ее оборудования заключается в последовательном решении краевых задач гидродинамики и теплопереноса (3.26)-(3.34), несвязанных неизотермических динамических в общем случае краевых задач термоупругости или термопластичности. Последние в зависимости от используемых методов решения могут быть представлены в локальной форме в виде дифференциальньк уравнений, в вариационной или интегральной форме. [c.97]

Сформулированная выше вариационная задача не поддается решению регулярными методами. Однако линейность максимизируемого функционала (3) и всех уравнений и неравенств, входящих в систему ограничений, позволяет при некотором изменении формулировки задачи попытаться применить к ней методы линейного программирования [3, 10]. Изменение постановки задачи связано, прежде всего, с тем, что решение задачи линейного программирования не может быть получено в виде функциональной зависимости х = х (ф) оно дает только значения искомой функции в дискретном ряде точек. В данном случае такое видоизменение задачи несущественно, потому что профиль кулачка привода клапана быстроходного двигателя внутреннего сгорания всегда изготовляется на основе дискретного ряда значений подъема толкателя, сведенных в таблицу на чертеже кулачка. [c.164]

Замкнутую форму решений можно получить лишь в отдельных случаях, когда переменные Р, /, EJ, т определены специальными зависимостями, а в общем случае неизбежен переход к при-ближенны.м способам. В частности, возможен путь, основанный на сосредоточении распределенной массы в ряде точек по длине стержня после этого система сохраняет лишь конечное число степеней свободы, равное числу точек приведения. Широко используются изложенные ниже различные варианты вариационного метода, а также способ последовательных приближений. [c.134]

В настоящей книге предпринята попытка изложить, минимум сведений, необходимых для выполнения всех основных этапов прочностного расчета оболочечных конструкций из композиционного материала. В двух первых главах приведены зависимости для описания упругих свойств анизотропных тел и упругих характеристик однонаправленных и многослойных композиционных материалов. Кроме того, с помощью одной из наиболее простых структурнофеноменологических моделей дано наглядное представление о специфике деформирования волокнистого композиционного материала с полимерной матрицей. Основное внимание в книге уделено изложению вариационно-матричного метода расчета сложных оболочечных конструкций применительно к многослойным конструкциям из композиционных материалов. В приложениях даны некоторые специальные подпрограммы для ЭВМ. [c.5]

Так как вариация функций при расчете имеет ограничения, то по расчету всегда получаются значения частот несколько выше истинных. Достоинства вариационного метода — общность и наглядность решения, простота расчетных зависимостей. Недо-стагок метода — трудность оценки точности решения, понижение точности прн оценке распределения напряжений, неопределенность при выборе аппроксимирующих функций Последний недостаток устраняется с помощью применения вариационноразностного метода, близкого к методу конечных элементов. В этом методе в качестве основных неизвестных применяются значения кривизны на участке лопатки. При использовании линейного закона изменятся кривизны в пределах участка [c.235]

Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного (разбивка на конечные элементы) и вариационного (использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационньк методах. В классических вариационных методах, изложенных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурации рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влияние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравнительно простым. [c.54]

Вариационный принцип, соответствующий теореме Ху-Вашицу в теории термоупругости, формулируется следующим образом. Первая вариация ЪР функционала Д определяемого зависимостью (4.2.56), обращается в нуль тогда и только тогда, когда удовлетворяются все уравнения поля (4.2.51)-(4.2.53) и граничные условия (4.2.54). [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...