Задача двух тел равновесии (вторая задача

Обратим внимание на то, что для плоской системы параллельных сил получаем два уравнения равновесия, т. е. для того, чтобы задача могла быть решенной, число неизвестных сил должно быть не больше двух. Вообще говоря, все задачи на равновесие системы сил, в которых число неизвестных не превосходит числа уравнений статики для этой системы, называются статически определимыми. Если же число неизвестных сил превышает число уравнений статики, которые возможно составить для данной системы, то задача называется статически неопределимой. Решение подобных задач рассмотрено во втором разделе учебника. [c.45]

Приводятся расчеты условий динамического равновесия пузырей пара и воздуха в перегретой воде, показывающие, что радиусы пузырей, находящихся в неустойчивом равновесии, ограничиваются определенной областью значений, которые зависят от температуры воды и начального содержания воздуха в пузыре. Рассматриваются два аналитических решения задачи о скорости роста этих пузырей, находящихся в неустойчивом равновесии а) решение уравнения роста радиуса пузыря в предположении, что диффузия тепла через стенки пузыря отсутствует б) решение с учетом диффузии тепла через его стенки. Эти решения сильно отличаются друг от друга. Сопоставление обоих решений с результатами экспериментального исследования скорости роста пузырей в перегретой воде показывает, что второе решение, учитывающее диффузию тепла через стенки пузыря, ближе совпадает с результатами экспериментального исследования. [c.226]

В общей теории упругости используются два пути решения задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. [c.52]

Из примеров, рассмотренных в 25 и 26, мы видим, что в общем случав при равновесии плоской системы сил, приложенных к данному твердому телу, мы имеем три уравнения в том же случае, если к данному телу приложена уравновешивающаяся система параллельных сил, мы располагаем только двумя уравнениями. Отсюда следует, что в первом случае задача является статически определенной, если число неизвестных сил не превышает трех во втором же случае число неизвестных сил не должно быть больше двух. В противном случае задача становится статически неопределенной, так как число уравнений окажется меньше числа неизвестных. Так, например, задача определения опорных реакций в случае балки, нагруженной перпендикулярными к ней силами и лежащей па трех опорах, является статически неопределенной, так как неизвестных реакций будем иметь в этом случае три, а уравнений только два. Точно так же, если бы ферма, рассмотренная в примере 33 ( 25), имела два неподвижных опорных шарнира и D, то задача оказалась бы статически неопределенной, так как мы имели бы в этом случае четыре неизвестные реакции (по две в каждом шарнире), а уравнений только три. [c.118]

При всем разнообразии практических задач о равновесии выделяют два основных их типа. Первый тип — это задачи о равновесии тела, которое благодаря связям находится в покое независимо от активной системы сил. В этом случае с использованием уравнений равновесия определяют реакции связей. Второй тип задач связан с вычислением условий равновесия систем сил, приложенных к свободным телам или к несвободным, но имеющим возможность перемещаться, телам. В этих задачах выявляют условия, которые должны быть наложены на активную систему сил, и находят реакции связей, если они есть. В общем случае число неизвестных (реакций и параметров активной системы сил) должно быть не более шести. [c.38]

Задача 42-8. При помощи стержневого устройства АВС (в точках А, Ва С соединения шарнирные) удерживаются В равновесии два груза — первый весом Gi = 6 кН и второй весом Сз = 8 кН. Угол а = 60° (рис. 54). Определить усилия, которые испытывают стержни АВ и ВС. [c.60]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

В более общем случае, когда в результате разрушения шарнира нормальная цепь с жестким закреплением концов всех поводков распадается на два механизма, что имеет место для всех подобных цепей первого и второго классов, Ассур предлагает вариант этого же метода. Предполагая, что обе части механизма находятся в равновесии, он раскладывает уравновешивающую силу на две составляющие, одна из которых имеет произвольное направление, а вторая — перпендикулярна к скорости разъединенного шарнира на одном из механизмов. Тогда графическое решение задачи проводится с помощью построения жестких рычагов, изображающих планы скоростей механизмов. Ассур приводит в качестве примера определение давления в шарнире разъема для четырех поводковой цепи первого класса. [c.165]

Задача о разложении вектора (силы) по шести заданным направлениям может быть решена способом моментов. Для этого за оси моментов принимают линии, пересекающие четыре заданных направления. В этом случае в уравнения равновесия будут входить лишь два усилия, направления которых не пересекаются с выбранной осью моментов. Проводя вторую ось моментов, пересекающую следующие четыре направления, будем иметь второе уравнение с двумя неизвестными. Чтобы провести ось, пересекающую четыре заданных прямых, целесообразно воспользоваться линейчатой поверхностью гиперболоида. Выше было указано, что любая ось, движущаяся по трем заданным прямым, не параллельным одной и той же плоскости, образует гиперболоид. Четвертая прямая из 6 заданных будет пересекать поверхность гиперболоида в двух точках. Очевидно будет и вторая образующая, которая пересечет остальные три прямые. Четвертая прямая в этой системе также пересечет гиперболоид в двух точках. Равенство моментов относительно указанных двух осей дает два линейных уравнения для определения усилий по двум остальным направлениям. Однако решение поставленной задачи этим способом в общем случае довольно сложное. [c.227]

Задача 1.36. Человек весом Q 600 Н удерживается в равновесии на доске весом Р = 400 Н с помощью веревки, перекинутой через два блока, как показано на рис. а. С какой силой F человек должен тянуть веревку, чтобы удержать доску в горизонтальном положении Как далеко может пройти по доске второй человек, весящий также 600 Н, чтобы первый еще мог удержать систему в равновесии [c.95]

Существуют два пути решения контактных задач. Первый заключается в интегрировании уравнений равновесия каждого объекта в области контакта S, вне ее и склеивании решений на границе и поверхности контакта. Этот путь наталкивается на значительные математические трудности и даже для одномерных контактных задач приводит к большому числу уравнений. Второй способ является более простым, если удается построить функцию влияния для пластины или мембраны. Наличие функции влияния значительно сокращает объем вычислительной работы благодаря тому, что заранее выполняются краевые условия оболочек и условия сопряжения решения на границе контакта Г области S. Остается поставить статические и геометрические условия совместности перемещений или деформаций на S. [c.128]

Обмен энергией между двумя подсистемами. Предположим, что интересующую нас систему можно разделить на две подсистемы, обмен энергией между которыми происходит достаточно медленно ). Тогда можно считать, что процесс релаксации протекает в два этапа. Длительность первого этапа примерно равна времени релаксации = max ri,T2 , где и Г2 — характерные времена установления частичного равновесия в подсистемах. В конце этого этапа макроскопические состояния подсистем характеризуются неравновесными температурами Ti t) и T2 t). Второй, более медленный, этап релаксации всей системы описывается на шкале времени с физически бесконечно малым интервалом А , удовлетворяющим неравенству > г ,. Тогда вообще нет необходимости рассматривать, как именно возникает частичное равновесие в подсистемах, и эволюцию системы можно описать релаксационными уравнениями для температур Ti t) и Т 2( ), которые при t оо стремятся к равновесной температуре Т. Нашей задачей будет вывод закона изменения со временем неравновесных температур подсистем. Для определенности рассмотрим квантовый случай. [c.90]

Точный учет всех выделений и потерь тепла сложен. Для упрощения задачи по выявлению влияния температурных деформаций на точность механической обработки можно рассматривать два периода в работе станка. Первый период—от начала пуска станка до получения теплового равновесия системы — период нестационарного теплового состояния далее до окончания обработки протекает второй период— стационарного теплового состояния, [c.278]

Ур-ие Бесселя встречается в задаче интегрирования ур-ий с частными производными второго порядка в задачах математич. физики и техники ур-ие Бесселя при этом получается в случае, если задачи допускают осевую симметрию и следовательно удобно решаются применением цилиндрич. координат (колебания круглой мембраны, волны жидкости в круглом сосуде, тепловое равновесие круглого цилиндра, колебания цилиндров и т. п.). Как показывает общая теория линейных диференциальных ур-ий, в случае, если индекс п ур-ия Бесселя не целое число, то ур-ие Бесселя имеет два частных интеграла, выражаемых бесконечными рядами [c.295]

Задача 2. Два тела, соединенных гибкой нитью, находятся в предельном случае равновесия. Первое тело лежит на горизонтальной поверхности, а второе — на поверхности, наклоненной под углом а (рис. 1.65). [c.67]

Уравнение Больцмана. В общих чертах положение с математическим исследованием уравнения Больцмана можно описать следующим образом. Имеется два хорошо изученных предельных режима. Первый из них — свободномолекулярное течение, при котором частицы не взаимодействуют между собой. Второй — термодинамическое равновесие, которое описывается распределением Максвелла. Почти все известные сейчас теоремы гарантируют разрешимость краевых задач в ситуациях, достаточно близких к какому-нибудь из указанных режимов. Единственная задача, для которой разрешимость в целом удается доказать без серьезных ограничений на данные задачи,— задача Коши для пространственно-однородного газа. [c.285]

В процессе работы температурный режим системы СПИД изменяется. Расчетным путем определить влияние тепловой деформации детали на точность ее изготовления весьма трудно. Однако это влияние может оказаться существенным, поэтому его необходимо учитывать при проектировании технологических процессов и предусматривать соответствующие меры, ослабляющие влияние температуры на точность обработки. Для упрощения задачи принимают два периода в работе станка первый период (I) — от начала пуска станка до получения теплового равновесия системы — период нестационарного теплового состояния второй период (И) — стационарного теплового режима. [c.35]

Идеализируя задачу, мы можем представить себе бесконечно тонкое, нерастяжимое гибкое полотнище прямоугольной формы, перегораживающее канал прямоугольного же сечения. Вода наполняет капал только с одной стороны от полотнища. Два противоположных края его должны быть закреплены, причем возможны два способа закрепления. Во-нервых, два противоположных края могут быть закреплены на стенках канала в вертикальном положении. В этом случае задача пе представляет трудностей, и можно показать, что под действием давления воды полотнище должно принять форму кругового цилиндра. Мы этим случаем заниматься не будем. Во-вторых, могут быть закреплены два горизонтальных края полотнища, один — на дне канала, другой — на уровне воды или выгае. В этом случае гаирина полотнища должна быть равна гаирине канала, длина же должна превыгаать глубину воды. Формой равновесия полотнища и теперь будет цилиндрическая поверхность, но образующими последней будут служить горизонтальные прямые, направляющая же будет расположена в вертикальной плоскости, параллельной стенкам канала. Совергаенно очевидно, что в этом случае достаточно ограничиться регаением плоской задачи (для указанной выгае вертикальной плоскости) и этим свести вопрос к определению формы равновесия нити иод действием некоторой определенной системы сил. [c.230]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Введение. В этой главе мы займемся некоторыми задачами равновесия цилиндрического изотропного тела, вводя при этом особые ограничения, касающиеся распределения напряжений. Мы проводим координатную ось г вдоль цилиндра и прежде всего предполагаем, что напряжение не за йсит 0т г, затем, что оно выражается линейно относительно г и, наконец, что оно выражается при помощи функции второй степени относительно г. Мы найдем, что первые два предположения приводят к результатам, полуяеииым в предыдущей главе ), и что допущение квадратичной зависимости напряжения от г дает решение задачи о равновесии балки, равномерно нагруженной вдоль своей длины. [c.366]

В лредыдущем параграфе показано, что анализ общих условий равновесия в химически реагирующих системах приводит к условиям равновесия типа (11-15). Задача конкретного расчета равновесных концентраций компонент в таких системах при заданных параметрах, например р и Г, включает два аспекта. Во-первых, для каждой системы нужно определить значение АФ = (р, Т). Возможные пути его определения будут кратко рассмотрены ниже. Во-вторых, зная АФ<= (р, Т), т. е. зная термодинамическую константу равновесия, надо суметь вычислить искомые равновесные концентрации. Эту последнюю задачу мы и рассмотрим для простейшего случая идеально-газовой химической реакции. [c.230]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Сравнение расчетов с экспериментами. В работе [31] для определения деформаций и напряжений во фланцевом соединении сосудов без нажимных колец использовались также два расчетных метода. Приближенный метод осуществлялся путем разбиения фланцевого соединения на базисные элементы - кольца, оболочки, балки. Поперечные силы и моменты в местах их соединений определялись из уравнений равновесия и совместности деформаций. Второй подход использует метод конечных элементов, для чего применялась программа MAR для ЭВМ /5Л/-370. Наличие в программе специальных люфтовых элементов позволяет моделировать нелинейную контактную задачу, связанную с локальным смыканием и (или) раскрытием зазора между поверхностями фланцев и проклад- [c.153]

Для решения этой задачи составим два уравнения первое будет выражать условие равновесия стержня второе, составленное на основании формулы (51), явится условием равенствз- [c.215]

В 1743 г. был опубликован основной труд Даламбера по механике — его знаменитый Трактат о динамике . Первая часть Трактата посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер фор.мулирует основные принципы механики , которыми он считает принцип инерции , принцип сложения движений и принцип равновесия . Принцип инерции сформулирован отдельно для случая иокоя и для случая равномерного прямолинейного движения. Принцип сложения движений представляет собой закон сложения скоростей по правилу параллелограмм,а. Принцип равновесия сформулирован в виде следующей теоремы Если два тела, обладающие скоростями, обратно пронорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь мест равновесие . Во второй части трактата, называемой Общий иринциидля нахождения движения многих тел, произвольным образом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа , Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнешгй движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи динамики К статике. Здесь для любой системы материальных точек формулируется правило, названное впоследствии принципом Даламбера , согласно которому приложенные к точкам системы силы мон<но разложить на действующие , т. е. вызывающие ускорение системы, и потерянные , необходимые для равновесия системы. [c.195]

В первой главе показано, что малые собственные колебания ою)ОЦ> состояния равновесия, возникающего при действии стагических нагрузсЯ описываются уравнением (1.63). Расчет нагруженной конструкции использовании этого уравнения следует проводить в два этапа 1) реше1Ш статической задачи, вычисление начальных напряжений и перемещений ц соответствующих матриц К и [АГ ]) 2) определение частот и фо А собственных колебаний из уравнения (1.63). Матрица жесткости [К] при переходе от первого этапа ко второму при этом не изменяется. [c.122]

Другой метод решения задачи о тонкой оболочке был показан на примерах уравнения (4.1 3) для плоской пластины и уравнения Сб.17) для круговой цилиндрической оболочки. Согласно этому методу решение для мембранных напряжений (или сил) выражается через, функцию напряжений ф(а, которая удовлетворяет первым двум уравнениям (6.24) и после подстановки в третье уравнение (жодит число неизвестных функций к двум Ф и U . Подобное удовлетворение уравнений равновесия должно быть дополнено удовлетворением условия непрерывности в направлениях а и которое может быть сведено к приравниванию выражений для трех мембранных деформаций, выраженных через функцию ф, их выражениям че]рез непрерывные функции перемещений и, v, w. Получающиеся в результате три зфавнения сводятся к одному путем исключения и я V, таким путем получается второе из двух уравнений, содержащих только две неизвестные функции ф и W, которые находятся из решения этих уравнений. Подобно уравнениям (4.13) и (4.18) для плоских пластин эти два зфавнения будут иметь четвертый порядок и теоретически будут содержать такое же число функций для удовлетворения краевых условий, как и обсуждавшиеся выше три уравнения относительно функций и, v и w. [c.443]

При решении динамических задач механики жестких тел, т. е. задач, связанных с определением сил инерции, так же как и при решении статических задач сопротивления материалов, применяются два метода. Первый из них аналогичен геометро-физико-статическому методу (см. 6). Здесь попутно с геометрическим рас- смотрением деформаций связей тела необходимо учесть кинематические условия движения тела, затем применить физические законы механики и, наконец, составить уравнения условного статического равновесия с учетом сил инерции. Второй метод основан на применении энергетических теорем. [c.452]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...