Фурье численное

Путем интегрирования (аналитическими или численными методами) дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при заданных краевых условиях находят температурное поле в рассматриваемой области 4=1 х, у, г, т) и вычисляют затем векторное поле теплового потока [c.17]

После решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепло- вые потоки. Заметим, что аналитическое решение данной задачи возможно лишь для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях такие задачи решаются численными или экспериментальными методами. [c.164]

Уравнение (2.1) является математическим выражением закона теплопроводности Фурье, а значение X характеризует интенсивность процесса теплопроводности и численно равно плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Количество теплоты Q,, теряемое произвольным объемом V внутри тела, можно определить путем интегрирования плотности теплового потока по замкнутой поверхности А, ограничивающей этот объем так, что [c.81]

На этой стадии определяющими являются условия на границах тела. Третья стадия соответствует режиму стационарной теплопроводности. Задачи нестационарной теплопроводности решаются как точными аналитическими, так и приближенными численными методами. Рассмотрим один из аналитических методов — метод разделения переменных или метод Фурье. При постоянных физических свойствах тела и = О уравнение (2.5) принимает вид [c.85]

По такого типа формулам можно провести численные оценки энергии образования точечных дефектов с применением как аппроксимации энергий взаимодействия атомов конкретными потенциалами, так и метода разложения смещений в ряды Фурье, а также с использованием найденных величин атомных смещений (см. 3). Эти оценки показали [60, 63], что энергия релаксации рел в случае вакансии составляет небольшую часть от энергии образования (порядка нескольких процентов). Лишь в случае внедренного атома матрицы она мон ет достигать величины 60% от Е , При этом главная часть рел обусловлена смещениями лишь ближайших к дефекту атомных слоев. Большие значения рел для вакансии были найдены в [56]. [c.100]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

Подставляя эти значения в формулу (5.11) и ограничиваясь в рядах Фурье четырьмя гармониками, получаем расчетную зависимость для q. При определении коэффициентов Lq, Ld и Lsj можно также, не прибегая к исключению t или ф , непосредственно воспользоваться численным интегрированием по формулам (4.71 ). [c.171]

Методика гармонического анализа применительно к геометрическим и кинематическим расчетам плоских механизмов приводится во многих работах, например [18, 75, 76, 86]. Для передаточных функций некоторых видов плоских рычажных механизмов получены аналитические выражения коэффициентов рядов Фурье, которые частично будут использованы ниже. Следует, однако, иметь в виду, что при динамическом расчете механизма аналитическое описание коэффициентов Фурье не является существенным, так как численные значения этих коэффициентов независимо от сложности механизма могут быть легко определены даже на малых ЭВМ. [c.250]

Затем были проведены эксперименты по определению динамических характеристик выхлопной трубы, с тем чтобы по ним подобрать соответствуюш,ее демпфирующее покрытие. Для нахождения передаточных функций и форм колебаний, необходимых для расчетов, использовались как аналоговые, так и цифровые ЭВМ, причем в первых применялся метод передаточных функций, а во вторых — численное разложение в ряды Фурье. Патрубок выхлопной трубы прикреплялся болтами к жесткой плите, что имитировало реальные граничные условия. [c.359]

Для получения исходных данных, необходимых для применения численного разложения в ряды Фурье, использовался метод импульсов. К патрубку прикладывался импульс внешней силы, причем одновременно замерялись величина этого импульса с помощью динамометрического датчика и динамическая реакция системы в этой же точке с помощью акселерометра. Входной и выходной сигналы затем пропускались через фильтры, преобразовывались в цифровую форму и использовались для численного преобразования Фурье, в результате чего были получены зависимости амплитуд и фаз от частоты колебаний. Затем вычислялось отношение динамической реакции к возбуждающей колебания силе и получали зависимость податливости от частоты колебаний, т. е. динамическую реакцию. Типичная зависимость податливости от частоты колебаний в точке приложения возмущающей силы показана на рис. 6.73. Вследствие большого числа наблюдаемых форм колебаний в дальнейшем были рассмотрены лишь типичные резонансные частоты колебаний и соответствующие им формы. Этими частотами были 52,7 84 207 и 339,8 Гц. Формы колебаний получались методом импульсов путем построения графиков передаточных функций для различных точек выхлопной трубы. Известно, что построе- [c.359]

Помимо численных методов определения коэфициентов ряда Фурье (см. стр. 268) существуют приборы для механического их определения — гармонические анализаторы [3]. [c.263]

Метод частотных характеристик основан на применении интегральных преобразований для решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа широко используются как для аналитического, так и для численного решения разнообразных теоретических и прикладных нестационарных задач в областях автоматического регулирования, связи, радио- и электротехники, теплофизики и во многих других [Л, 50, 62—65]. [c.98]

При изучении процессов теплопередачи и гидродинамики применяется главным образом феноменологический метод исследования. При этом методе исследования используются основные законы физики с привлечением некоторых дополнительных гипотез о протекании процесса (законы Фурье и Ньютона), что избавляет от необходимости рассматривать микроструктуру веществ. В результате применения этого метода получают дифференциальные или интегральные уравнения теплопередачи и гидродинамики. Эти уравнения в простых случаях можно решать аналитически или численно, а в более сложных можно применить методы подобия или размерностей для получения критериев подобия. Связь между критериями устанавливают экспериментальным путем. [c.12]

Каждое из количеств тепловой энергии, передающееся любым из этих способов, пропорционально разности температур и — и. Поэтому принимают, что математически суммарный процесс теплопередачи даже и в этом случае происходит согласно закону Фурье (8.4), но под л следует уже понимать условный коэффициент, который численно характеризует свойство материала передавать тепловую энергию одновременно всеми указанными способами. Уподобление технического [c.160]

Результаты численных расчетов по формулам (9-1-25)—(9-1-27) и (9-1-33)— (9-1-35) показывают, что бесконечные ряды, входящие в решения, сходятся достаточно быстро. Начиная с определенного значения критерия Фурье, из всего ряда можно использовать два-три первых члена. В среднем, начиная со значения Ро = 0,7, ошибка в расчете по первым двум-трем членам ряда не превышает 1—2%. На основе вышесказанного для практических расчетов решения (9-1-33)— (9-1-35) целесообразно упростить и представить в следующем виде [c.413]

Решение. Выполним два варианта численного интегрирования, различающиеся величиной шага по линейной координате и по времени. В первом случае принимаем число шагов по дс /г = 20, а шаг по времени Дт = 1 с во втором случае я = 50, Дт = 5 с. Критерий Фурье для отдельной ячейки сетки в этих случаях соответственно равен Fo = 0,8 и Fo = 11,25. При указанных [c.197]

Амплитудные спектры ударных воздействий. Важной дополнительной характеристикой импульса ускорения (t) является его амплитудный спектр, т. е. модуль изображения функции (t) по Фурье. Примеры амплитудных спектров типичных испытательных импульсов при простом и сложном ударе приведены в табл. 2 и на ри Ь и 7. Спектральная плотность на нулевой частоте (0) (табл. 2) не зависит от формы импульса и равна его площади, т. е. импульсу ударного ускорения, численно равному приращению скорости изделия в результате удара [c.480]

Численная реализация преобразования Фурье. Чтобы осуществить спектральный анализ колебательных процессов на ЭВМ, применяют численное преобразование Фурье. Для этого процесс u(t) подвергается дискретизации, т. е. процесс u t) на основном периоде Т задается УУ + 1 его значениями в моменты времени (рис. 6). Обычно выбирают равноотстоящие интервалы Л = TIN, причем число N выбирают [c.24]

Приближенные аналитические и численные результаты можно получить, рассматривая конечные определители, соответствующие усеченным рядам Фурье. В первом приближении (с точностью до членов порядка (л) границы областей неустойчивости находят по формуле [c.125]

Собственные формы Фурье анализ численный — Стандартные программы 25 Фурье преобразование 24 [c.351]

В данном контексте эта теорема приводит к очень важному результату, состоящему в том, что свертка в пространстве объекта (физическом пространстве) соответствует умножению в дифракционном пространстве (т.е. пространстве Фурье или взаимном пространстве). Это следствие не только позволяет наглядно объяснить процесс формирования изображения, но и служит мощным инструментом с точки зрения его численной обработки (разд. 5.5). [c.75]

По дискретным значениям пульсаций давления на стенке с помощью цифровой вычислительной машины рассчитывали приближенную автокорреляционную функцию Aq (т) для различных величин т. Из полученной функции Aq (т), используя косинус-нреобразование Фурье, численным методом определяли несглажен-ный энергетический спектр. Этот спектр затем сглаживали с помощью выбранного спектрального окна и нормировали, чтобы получить Р (/). [c.16]

Коэффициент теплопроводности к в законе Фурье (8.1) характеризует способность данного вещества проводить теплоту. Значения коэффициентов теплопроводности приводятся в справочниках по теплофизическим свойствам веществ. Численно коэффициент теплопроводности l==q/grad t равен плотности теплового потока при градиенте температуры 1 К/м. Понять влияние различных параметров, а иногда и оценить значение X можно на основе рассмотрения механизма переноса теплоты в веществе. Согласно молекулярно-кинетической теории коэффициент теплопроводности в газах зависит в основном от скорости движения молекул, которая в свою очередь возрастает с увеличением температуры [c.71]

Вычисление интегралов, необходимых для построения трансформант и оригиналов, можно проводить обычным численным интегрированием, исходя из тех или иных квадратурных формул. Неограниченность контура интегрирования не является серьезным затруднением, поскольку из существования интегралов следует, что можно брать достаточно большой, но конечный участок. Однако такой подход может быть весьма трудно реализуемым, в частности, из-за того, что ядра ряда интегральных преобразований (например, преобразований Лапласа и Фурье) являются осциллирующими функциями. Поэтому разработаны специальные квадратурные формулы, учитывающие структуру ядер [132]. [c.74]

Определение расхода теплоты. Для оценки расхода теплоты, после того как численно определено температурное поле, можно воспользоваться законом Фурье(1.3). Градиент температуры находится численным дифференцированием. Для сечения печи, изображенного на рис. 6.4, а целесообразно определять расход через внутреннюю (внешнюю) границу сечения, так как градиент температуры к ней (границе) иериендику-лярен. В узлах (х, у) внутренней границы Vg сечения модуль градиента температуры, умноженный [c.89]

Известно, что в реальных условиях температурные неоднородности, возмущения температурого поля затухают во времени, — таковы внутренние свойства рассматриваемого процесса и его математической модели, т. е. дифференциального уравнения теплопроводности Фурье. Чтобы и явная численная схема обладала этим свойством апериодического затухания, необходимо выполнение следующих условий Ро 1/4 т А /4а. Явная схема называется условно устойчивой. [c.36]

Уравнение (2.6) является математическим выражением ОСНОВНОГО закона теплопроводности — закона Фурье. Множитель пропорциональности X [ВтДм К)] называется теплопроводностью и является физическим параметром вещества. Теплопроводность численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. [c.163]

I Поверхность, во всех точках которой температура одинакова, называется изотермической. Быстрее всего температура изменяется при движении в направлении, перпендикулярном изотермической поверхности. Вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению, есть градиент температуры — grad t. Согласно закону Фурье вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален градиенту температуры [c.74]

Коэффициент теплопроводности % в законе Фурье (8.1) характеризует способность данного вещества проводить теплоту. Значения коэффициентов теплопроводности приводятся в справочниках теплофизических свойств веществ. Численно коэффициент теплопроводности А== =ц/gгad t равен плотности теплового потока при градиенте температуры 1 К/м. Понять влияние ра.з-личных параметров, а иногда и оценить значение X можно на основе рассмотрения механизма переноса теплоты в веществе. [c.74]

Задача изгиба шарнирно опертой прямоугольной пластины, нагруженной произвольным нормальным давлением, решалась в двойных рядах Фурье в работах Уитни [179], Уитни и Лейсса [185, 186]. Получено точное решение для давления, распределенного равномерно и по одной волне синусоиды. Численные результаты, приведенные для ортогонально- и перекрестно-армированных стекло- и углепластиков, показали, что учет смешанных коэффициентов жесткости приводит к значительному (до 300%) увеличению максимального прогиба пластины. Были построены также графики, иллюстрирующие влияние удлинения пластины [179—182] и отношения Ец1Е [186] на максимальный прогиб. Позднее Уитни [183 ] рассмотрел защемленные прямоугольные пластины, нагруженные равномерным нормальным давлением, и получил результаты, подтверждающие сделанные ранее выводы. В частности, им было установлено, что учет смешанных коэффициентов жесткости приводит к значительному уменьшению изгиб-ной жесткости несимметричных по толщине пластин и выявлено существенное влияние характера закрепления пластины в своей плоскости на деформированное состояние при некоторых перекрестных схемах армирования. [c.182]

Аренц [3, 4] применил метод коллокаций к одномерным и двумерным задачам о распространении вязкоупругих волн в изотропной среде. Было обнаружено, что в точках, достаточно удаленных от поверхности нагружения, решение имеет колебательный характер, что объяснялось явлением дисперсии, связанной с зависимостью комплексных модулей от частоты. Впоследствии Кнаусс [60] решил ту же самую одномерную задачу методом Фурье и не обнаружил подобных осцилляций решений. Автор также занимался этим вопросом, и его неопубликованные исследования показали, что осцилляции, обнаруженные Аренцом, являются результатами погрешностей в численных расчетах и, в частности, обусловлены ошибками округления. [c.147]

Простота применения и точность метода Фурье была отмечена и другими авторами, изучавшими распространения волн в монолитных полимерных материалах. Например, Кнаусс [60] проанализировал нестационарные колебания аморфных полимеров в вязкоупругой переходной зоне из стеклообразного в каучукоподобное состояние. Мао и Радер [65] использовали этот метод для исследования распространения импульсов напряжений в стержнях из полиметилметакрилата, обладающего малым тангенсом угла потерь. Однако пока в литературе не встречаются результаты исследования методом Фурье влияния микроструктуры на стационарные волновые процессы в композитах. Для изучения этого вопроса можно было бы прямо применить описанные в предшествующем пункте приближенные методы по-видимому, в них можно было бы учесть различные представления вязкоупругих характеристик компонентов композиционных материалов. Хотя при использовании численного решения график функции изменения импульса напряжений от времени может иметь большую кривизну, вязкоупругое затухание обычно устраняет этот недостаток, за исключением окрестности точки приложения нагрузки. Применение так называемого метода быстрого преобразования Фурье [79] так же могло бы существенно упростить исследование. [c.182]

Так называется эффективная численная процедура преобразования Фурье, Далее в переводе использовано сокращение, принятое в оригинале FFT (Fast Fourier Transform). — Прим. перев. [c.180]

Воспользовавшись численным методом разложения функции в ряд Фурье по 24 ординатной схеме, представим функцию t) в виде [c.21]

Для оболочек вращения разложением йскбмы) функций в ряды Фурье по угловой координате оказывается возможным разделить переменные и свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут решаться численно обыч ными приемам и е применением ЭВМ. [c.260]

Основываясь на соотношении между преобразованиями Лапласа и Фурье, эту методику можно реализовать на ЭВМ путем расчета частотных характеристик. При этом переменная перобразования Лапласа рассматривается как комплексный параметр, принимающий ряд ио-следовательных значений из некоторого диапазона. Для каждого значения этого параметра проводится решение системы изображающих уравнений и определяются численные комплексные значения изображений 2(s). Эти значения могут определяться как путем численного решения системы изображающих уравнений, так и расчетом по явным выражениям передаточных функций, если их удается определить аналитически. Совокупность значений изображения каждой из выходных координат во всем диапазоне изменения комплексного параметра преобразования Лапласа (частоты) определяет частотную 7 99 [c.99]

При коэффициенте теплопроводности X, изменяющемся вместе с температурой, распределение последней не будет линейным. Действительно, стационарность процесса требует в каждом конкретном случае одинаковости количества теплоты, проходящей через все возможные изотермические плоскости внутри пластины. Но при этом согласно закону Фурье в местах, где л больше, значение dt/dx должно быть меньше. Если считать, как это обычно бывает для теплоизоляционных материалов, что I изменяется в одну сторону с температурой, то качественную сторону задачи будет отражать линия 2 на рис. 2-1. В практических расчетах чаще всего пользуются формулами, полученными при л = onst, но численное значение к определяют по средней температуре пластины. [c.24]

Вывод уравнений для алгоритма численной реализации задачи о температурных напряжениях в корпусе. Для построения алгоритма численного решения полученной системы воспользуемся тем обстоятельством, что внешние нагрузки , ( , г) и температура /( ь 2) в силу осесимметричности обечайки могут рассматриваться как периодические функции координаты 2 с периодом 2я и, следовательно, могут быть представлены в виде рядов Фурье, т. е. в виде суммы (вообще говоря, бесконечной) отдельных гармоник [c.258]

Стандартные программы для численного анализа Фурье периодических функций. Для численного анализа Фурье заданной периодической функции в области (О, 2я) в математическом обеспечснни ЭВМ серии ЕС предназначена подпрограмма F0R1F [60], которая осущесгвляег вычисление заданною числа коэффициентов ряда Фурье [c.25]

На рис. 7.4.9 штриховая линия иллюстрирует применение метода обобщенных определителей Хилла для численного анализа динамической устойчивости консольного стержня, натруженного следящей периодической силой. В разложении Фурье (7.4.9) удержано четыре гармоники. [c.494]

Уравнение (8.4.46) дает способ вычисления 8j (или, что то][же самое, Gj), Решение этого уравнения могло бы основываться на применении рядов Фурье. Такой подход привел бы к получению бесконечного набора значений б при удовлетворении уравнения (8.4.46) во всех точках на границе (т. е. при О < 0 < 45 ). К сожалению, характер уравнения (8.4.46) таков, что применять к нему анализ Фурье неудобно, так что вместо этого уравнение рассматривалось в конечном числе точек на границе. Выбирая I таких точек, получаем систему из I уравнений для 6i, 62,. . S . При этом в рядах удерживается число членов, достаточное для вычисления распределений скорости и касательного напряжения с хорошей точностью. Численные значения полученные таким способом, позволяют рассчитать распределение скорости, а также в конечном итоге и макроскопические параметры, представляющие интерес для техники. Спэрроу и Лёффлер приводят аналогичные расчеты также для цилиндров, расположенных в вершинах равносторонних треугольников. [c.460]

Равенства (6.10)-(6.12) свидетельствуют о том, что для каждого семейства кривых 9( , Fo, Pd), характеризуемых постоянным значением обобщенного числа Фурье, существует определенное значение температуры 6t, соответствующей равномерному распределению температур по толш ине стенки образца. Следовательно, каждую кривую из рассматриваемых семейств можно заменить одной эквивалентной по несущей способности изотермой 9t = onst. Температуру 6t, при которой правомерна эта замена, назовем определяющей температурой. Численное ее значение равно произведению критической температуры на обобщенное число Фурье. [c.55]

Обратимся теперь к выбору фокусного расстояния фурье-объектива. Ясно, что при заданных значениях радиуса транспаранта / т и его максимальной пространственной частоты Отах ВО всех случаях можно найти достаточно большое фокусное расстояние объектива, обеспечивающее практическое отсутствие аберраций, а также приемлемый минимальный период структуры ДЛ Гшт = 1/(4отах) из выражения (4.46) при /tomax Rt- Однако, как и в подавляющем большинстве задач, желателен минимальный габаритный размер фурье-анализа-тора, т. е. минимальное фокусное расстояние объектива. При уменьшении последнего прежде всего, как следует из выражения (4.46), уменьшается период структуры ДЛ. Помимо трудностей изготовления это приводит к увеличению углов дифракции лучей на ДЛ и, как следствие, к росту аберраций. Одновременно аберрации растут и за счет увеличения апертурного угла объектива, сопровождающего уменьшение f при постоянном Rr- Таким образом, по мере уменьшения фокусного расстояния качество изображения падает, поэтому каждую пару значений параметров транспаранта R и Отах можно сопоставить с минимальным значением фокусного расстояния /min, при котором качество изображения в фурье-плоскости еще может считаться практически совпадающим с дифракционно ограниченным (разрешение в спектре пространственных частот по мере уменьшения / незначительно ухудшается). Найдем это значение численно методом расчета хода лучей, уменьшая f до получения на краю спектра качества изображения, соответ-ствующего лучевому критерию Q4 = 0,7.. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...