Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье

Путем интегрирования (аналитическими или численными методами) дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при заданных краевых условиях находят температурное поле в рассматриваемой области 4=1 х, у, г, т) и вычисляют затем векторное поле теплового потока [c.17]

Математическое описание состоит из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье [c.26]

Математическое описание. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для рассматриваемой задачи записывается в виде [c.208]

Для решения на электронных АВМ задач, описываемых уравнениями в частных производных (каковым, например, является дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, см. п. 1.3.1), применяется метод дискретизации по пространственной переменной, т. е. в рассматриваемой задаче по координате X. Это означает, что в процессе решения определяется температура лишь в конечном числе точек, которые называются узлами сетки (см. п. 1.3.5). [c.216]

Выражение (11-17) называют дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье. [c.140]

Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье —Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды здесь а — коэффициент температуропроводности и — оператор Лапласа. [c.38]

Продифференцировав последнее уравнение по т, получим классическое дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье [c.155]

Таким образом, увеличение размера (высоты) микронеровности, угла ее наклона будут способствовать превышению исходной температуры поверхности шероховатости над средней температурой поверхности элемента, вступающего в контакт. Приработка поверхностей трения, приводящая к уменьшению и выглаживанию микронеровностей, уменьшает исходную температуру. Дифференциальное уравнение теплопроводности (Фурье) в декартовой системе координат при постоянных значениях X, 7, с имеет вид [c.175]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ [c.13]

Полученное выражение представляет собой дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье. Оно является основным уравнением математической теории распространения тепла в твердом теле. Его записывают также следующим образом [c.15]

Наглядным примером может служить вывод дифференциального уравнения теплопроводности Фурье. При выводе этого уравнения не учитывалась конкретная обстановка явления и рассматривался только выделенный дифференциальный объем тела dV. Для вывода уравнения потребовался единственный опытный факт, заключающийся в том, что перераспределение теплоты в среде.возможно только при наличии температурных градиентов, не равных нулю. Приняв для описания этого факта гипотезу (закон) Фурье, удалось приложить к изучению температурного поля тела за кон сохранения энергии. [c.17]

Чтобы связать температуру со временем, необходимо составить соответствующее дифференциальное уравнение теплового баланса. При этом, очевидно, новое дифференциальное уравнение будет значительно проще, чем дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, поскольку оно специально приспособлено к решению данной задачи и не содержит пространственной координаты как независимой переменной. [c.43]

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для одномерного поля имеет вид [c.46]

Связь между определяющей и средней интегральной температурами. Помимо определяющей существует еще средняя интегральная температура в р, характеризующая каждую кривую семейства в ( , Fo, Пг). Ее можно определить путем интегрирования решения дифференциального уравнения теплопроводности Фурье от нуля до единицы. Например, при линейном изменении температуры ва с течением времени в случае регулярного режима [c.55]

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье описывает механизм явления перераспределения тепла в вещественной среде (оно по существу является математической моделью этого механизма). Поэтому полученное дифференциальное урав нение представляет собой наиболее общую связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям данного класса (в нашем примере — класса явлений теплопроводности). Таким образом, все явления (незави- [c.282]

В качестве примера найдем критерии подобия из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье, выведенного в предыдущей главе. Это уравнение можно записать в следующем виде [c.297]

Для анализа задачи методами теории подобия необходимо знать дифференциальное уравнение процесса и условия однозначности (глава XI). Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье нам известно [c.308]

Предположим, что балка идеально изолирована. Так как сталь хороший проводник тепла, это линейное распределение температуры по сече- нию балки может существовать толь-ко мгновенно затем распределение температуры в балке должно быстро стать нелинейным В любой следующий момент времени t температура 6 должна удовлетворять дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье ) [c.21]

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в наиболее общем виде описывает распределение температуры в пространстве и времени и является основой для всех расчетов температурных полей. [c.23]

Выражение (46) является дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье для одномерного температурного поля. [c.23]

Получили дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для двухмерного температурного поля. [c.24]

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности Фурье были приняты за основу самые общие законы физики сохранения энергии и теплопроводности Фурье. Поэтому оно не связано никакими ограничивающими конкретными условиями теплообмена и является основным уравнением математической физики для расчетов различных условий теплопередачи в телах. Так, если внутри нагреваемого (охлаждаемого) тела имеется дополнительный самостоятельный источник теплоты с удельной мощностью со, ккал/(м -ч), то для описания процесса теплопередачи к дифференциальному уравнению прибавляется дополнительный член [c.24]

Исходное дифференциальное уравнение или система уравнений, составленные исходя из самых общих законов природы, является математической моделью класса физических процессов или класса явлений (например, класс теплопроводности, класс гармонических колебаний и т. д.). Интегрирование исходного дифференциального уравнения в общем виде дает бесчисленное количество решений, пригодных для данного класса явлений. Например, решение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье дает решение, пригодное в общем случае для описания класса теплопроводности, а именно для теплопроводности при нагреве кузнечных заготовок, в стене здания, при нагреве штампов от горячих заготовок и т. д. [c.144]

Для описания поля температур в нагреваемом металле используют дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье [c.157]

Для нагрева плоской загрузки при граничных условиях второго рода, т. е. при заданном законе изменения теплового потока, основное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье [c.130]

Вначале рассмотрим простейший случай нагревания тела, когда критерий Био мал (В -> 0). В этом условии распределение температуры внутри тела принимается равномерным (средняя по объему температура равна температуре в любой точке тела). Обычно этот случай нагревания тел называют нагреванием или охлаждением тела по закону Ньютона. Поскольку градиент температуры внутри тела практически равен нулю, то вместо дифференциального уравнения теплопроводности Фурье будем иметь балансовое уравнение тепла нт 4 [c.163]

Если пренебречь термодиффузией (кт — О, Q = 0), то из уравнения (16) получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье с источником тепла. Дифференциальное уравнение диффузии массы (15) аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье. Поэтому все решения, полученные для нестационарных задач теплопроводности, можно применять к расчетам нестационарной диффузии массы. [c.24]

Выражение(10-21) называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье [c.177]

Выведенное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье—Кирхгофа (2.16) в случае неподвижной среды и отсутствия внутренних источников тепла имеет вид [c.82]

Уравнение (1.3) называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье для уравнения твердого тела в декартовой системе координат. Если температурное поле стационарное - имеем дифференциальное уравнение Пуассона [c.15]

Наглядным примером может служить вывод дифференциального уравнения теплопроводности Фурье дНдх = a jH), нри котором не учитывалась конкретная обстановка явления и рассмагривался только выделенный дифференциальный объем тела dV. Для вывода уравнения потребовался единственный опытный факт, что перераспределение энергии в среде возможно только при наличии температурных градиентов, не равных нулю. Поэтому полученное дифференциальное уравнение представляет собой наиболее общую связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям данного класса (класса явлений теплопроводности). В дифференциальном уравнении нет никаких сведений о конкретных значениях отдельных величин, характерных для какого-либо единичного явления. Переменные, вхо-дяп иe в состав уравнения, могут принимать самые различные значения, каждое из которых отвечает какому-то единичному явлению. [c.409]

Известно, что в реальных условиях температурные неоднородности, возмущения температурого поля затухают во времени, — таковы внутренние свойства рассматриваемого процесса и его математической модели, т. е. дифференциального уравнения теплопроводности Фурье. Чтобы и явная численная схема обладала этим свойством апериодического затухания, необходимо выполнение следующих условий Ро 1/4 т А /4а. Явная схема называется условно устойчивой. [c.36]

Полученные на основе метода анализа размерностей критериальные соотношения желательно сравнить и дополнить зависимостями, вытекаю-пщми из решения тепловой задачи теории трения [40]. Воспользуемся дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье Э//9г = [c.161]

При теоретическом и экспериментальном исследовании температурных колебаний в прессформе установлено, что преобладающее количество теплоты переходит от отливки в прессформу непосредственно после запрессовки, к моменту удаления отливки ее температура сравнивается с температурой поверхности прессформы, а непосредственно с рабочей поверхности в окружающую среду отводится незначительное количество тепла. В соответствии с этими результатами для расчета температурных колебаний в поверхностном слое прессформы ее можно принять достаточно толстой пластиной (толщиной I), к одной из поверхностей которой периодически прикладывается мгновенный тепловой источник, а на другой поддерживается постоянная температура / а. Тогда температура t x, т) в поверхностном слое на расстоянии х от рабочей поверхности в любой момент времени т после очередной запрессовки (исключая продолжительность запрессовки и затвердевание отливки) определяется из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье [c.184]

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье описывает механизм явления перераспределения тепла в вещественной среде (оно по существу является математической моделью этого механизма). Поэтому полученное дифференциальное уравнение представляет собой наиболее общую связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям данного класса (класса явлений теплопроводности). Таким образом, все явления (независимо от их индивидуальных признаков), в основе которых леж ит один и тот же механизм перераспределения тепла, описываются эти>л общим уравнением. Именно по этой причине в дифференциально>1 уравнении нет никаких сведений о конкретных значениях отдельных величин, характерных для какого-либо единичного явления. Перемен-ные, входящие в состав уравнения, могут принимать самые различные V0 значения, каждое из которых отвечает какому-то единичному явленщр. 0 Соответственно этому при интегрировании любого дифференциаль- [c.17]

Анализ решений дифференциального уравнения теплопроводности Фурье указывает на то, что процесс нагревания тел простейших форм (пластин, цилиндров, шаров и др.), выполненных из КМ, включает в себя несколько стадий. Начальная стадия, при которой на распределение температур в стенке влияют начальные условия, называется иррегулярным режимом. Вторая стадия на-зьгаается регулярным режимом. Распределение температур здесь не зависит от начальных условий и описывается некоторой функцией координат и времени Т xt, г). [c.29]

Из решений дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при различных краевых условиях теплообмена и из критериальных уравнений обобщенных характеристик видно, что температурные поля в стенке образца и его предельные нагрузки являются функциями одних и тех же определяющих критериев теплового подобия — Pd, Bi, Ki и др. Например, если в одномерной задаче в = в е, Fo, Hj), то и Кр = iiirp(Fo, itj). От вида граничных условий теплообмена зависит распределение температур в стенке образца и, следовательно, его предельные нагрузки. Изменение граничных условий ведет, в свою очередь, к получению решений уравнений теплопроводности и критериальных уравнений обобщенных характеристик с другими определяющими критериями теплового подобия. Представляет значительный интерес исследование возможностей нахождения аналитических выражений обобщенных характеристик для режимов нагревания, определяемых критерием Xlj, если известно изменение предельных нагрузок образца при режимах нагревания, определяемых критерием Ilj. [c.47]

Примером может служить дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое в общем случае пестационарного режима и трехмерного температурного поля разрешено быть не может. В настоящее время получены точные решения лишь для некоторых простейших частных случаев. [c.284]

Расчеты с помощью метода сеток и конечных разностей основаны на замене дифференциального уравнения теплопроводности Фурье определенными арифметическими соотношениями значений температуры в данной точке тела и в точке, расположенной рядом с ней. Развитие метода конечных разностей дано в работе А. П. Ваничева (метод элементарных балансов) [7]. [c.45]

Таким образом, основная ценность выведенных выше неинтегриру-емых дифференциальных уравнений процесса конвективного теплообмена состоит в том, что они позволяют установить критерии подобия для описываемых ими явлений. В качестве примера найдем критерии подобия из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье (14.6) [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...