Отображение конечно определенное

Конечная определенность ростков отображений и их версальные деформации [c.176]

Теорема (о конечной определенности). Для любого ростка отображения / и любой группы Э следующие утверждения равносильны [c.177]

Предложение. Лево-правая классификация конечно определенных ростков отображений прямой в плоскость эквивалентна контактной классификации уравнений их образов. [c.63]

Переходим к определению положения центра конечного вращения при перемещении шатуна из положения ср5 = 1г/2 в положение (р2 = Зтс/2 (рис. в). Как видно из построения, точки 5 и 7 в этом случае совпадают. Точка О является серединой отрезка AA . Если восставить в точке О перпендикуляр к отрезку АА,, то на нем должен находиться центр конечного вращения. Ввиду того, что конечное положение шатуна является зеркальным отображением его начального положения, конечным центром вращения является точка В, где пересекаются прямые АВ и А В1- [c.371]

Пусть Л и В —два множества и каждому элементу а е Л поставим в соответствие один единственный элемент Ь е В. Обозначим это соответствие буквой /. Говорят, что / — отображение множества Л в множество В, и записывается это таким образом— f-.A- B, или fB = А. Множество Л называется областью определения отображения, а В —областью значений. Если элемент аеЛ отображается на элемент Ь В, то пишут, что b = fa. Элемент Ь называется образом элемента а. В случае, когда Л и В состоят из одинакового и конечного числа элементов и при этом между элементами Л и В уста- [c.10]

Применение конформных отображений области течения позволяет упростить вычисление комплексного потенциала и, в частности, свести расчет периодического течения через решетку к расчету течения в односвязной области. При последовательном применении метода прямая задача сводится к нахождению конформного отображения внешности заданной решетки на особенно простую (каноническую) область, после чего определение комплексного потенциала производится по простым конечным формулам при любых условиях обтекания. В расчете используется тот факт, что при любом конформном отображении внешности решетки из плоскости д на некоторую вспомогательную область в плоскости Z — Z(z) комплексные потенциалы в соответствующих точках равны (с точностью до несущественной постоянной), а комплексная скорость выражается как производная сложной функции [c.65]

Для определения Аф можно выбрать наиболее удобные состояния поляризации. На рис. 5 в качестве отображений начального и конечного состояний поляризации света приняты точки и М р. В характеристическом переходе отображение совершает положительный поворот Дф около Хр из положения М-р в положение М на той же параллели с последующим перемещением ЗАу по параллели до положения М р. [c.29]

Отметим также работы, в которых решались задачи теории трещин для криволинейных (некруговых) областей. Метод сингулярных интегральных уравнений использовался при определении напряженного состояния около трещин в конечной криволинейной области [377, 418] или в бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием [16, 60, 95, 154]. В работах [15, 348, 403) решались задачи о трещинах в эллиптической [15, 3481 и полукруглой [403] пластинах. В случае односвязной области, когда трещины выходят на край области, широкое применение нашел метод конформного, (отображения (см. обзор в работе [160], а также [74]). При [c.155]

Главным методом, используемым при определении аэродинамических характеристик крыла, обтекаемого несжимаемым потоком, является привлечение основных результатов гидродинамической теории вихрей и способа конформных отображений, разработанного теорией функций комплексного переменного. Однако приложение этого метода к конкретным задачам часто приводит к неудобным для практического применения формулам и громоздким, трудоемким вычислениям. Должно быть особо отмечено стремление автора при изложении такого рода вопросов получить конечные результаты в простой, удобной для применения форме, его умение достигнуть этой цели путем выбора подходящей схемы исследования и соответствующих упрощающих предположений. [c.6]

До сих пор мы рассматривали только такие области, граница которых состоит из (конечных) замкнутых контуров. Изучение случая, когда граница есть разомкнутая линия, уходящая в бесконечность в обе стороны ( полубесконечная область ), не представляет новых существенных затруднений. В подобных случаях удобно применять конформное отображение области не на круг, а на полуплоскость ). Не останавливаясь здесь на общем случае, мы ограничиваемся решением основных задач для полуплоскости и для полубесконечных областей определенного класса ). [c.338]

Рассмотрим реально существующее течение газа. Его отображение в плоскость годографа скорости / (х,у) u v) в общем случае не взаимно однозначно, поскольку в разных точках физической плоскости может быть один и тот же вектор скорости. При этом множество точек г, прообразов точки V, может быть конечным, счетным или даже несчетным. Такая ситуация, вполне допустимая с физической точки зрения, приводит к определенным неудобствам, если продолжать рассматривать плоскость годографа как двумерное евклидово пространство. [c.28]

Предположим для определенности, что рассматриваются только динамические системы с конечным числом состояний равновесия и конечным числом предельных циклов. Тогда, очевидно, число состояний равновесия и число предельных циклов являются топологически инвариантными (т. е. остаются неизменными при всевозможных отождествляющих отображениях). Топологическими свойствами являются, например, также при наличии замкнутых траекторий их взаимное расположение, наличие (или отсутствие) кольцевых областей, сплошь заполненных замкнутыми Траекториями, наличие определенного числа состояний равновесия типа фокус и узел и др. С другой стороны, например, расстояние между состояниями равновесия и предельными циклами, точная форма замкнутых траекторий не являются топологически инвариантными свойствами, они могут изменяться при отождествляющих отображениях. [c.129]

Таким образом, по крайней мере для маленьких значений Ь, преобразование однозначно определяется векторным полем. Для больших 4 следует рассмотреть композицию отображений, определенных в локальных координатах. Если решения существуют для всех вещественных значений 4, векторное поле называется полным. Следует иметь в виду, что если 4 велико, то мы вынуждены работать на многообразии в различных локальных системах координат, но это не порождает особых трудностей. Если многообразие М компактно и не имеет границы, то оно может быть покрыто конечным числом координатных карт. Внутри любой карты решения существуют для некоторого фиксированного интервала времени. Так как каждая точка X еМ принадлежит некоторой не очень маленькой координатной окрестности, отсюда следует, что любое С -гладкое векторное поле на замкнутом компактном многообразии без границы полно и, таким образом, определяет гладкий поток, т. е. однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия М. [c.25]

Принимая во внимание предложение 1.1.4, легко видеть, что всякая периодическая точка р отображения /, спектр которой не содержит единицы, определяет некоторые С -модули. Если мы предположим для простоты, что собственные значения Df просты, то сами эти собственные значения могут служить модулями. Так как такие периодические орбиты отделены друг от друга, их спектры могут быть возмущены независимо, по крайней мере для любой конечной совокупности точек. Таким образом, модули, полученные из различных периодических орбит, в определенном смысле независимы. [c.71]

Таким образом, если функция р конечна всюду (или почти всюду), то она является неподвижной точкой оператора Перрона — Фробениуса (см. определение 5.1.7) и потому задает плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Чтобы гарантировать, что р — функция из класса L и, следовательно, рП—конечная мера, достаточно показать, что р равномерно ограничена. Кроме того, если р также ограничена снизу некоторым положительным числом, то мера рП эквивалентна П. Таким образом, мы доказали следующий аналог теоремы 5.1.13 для необратимых отображений. [c.199]

Мы видели, что отображения возвращения на трансверсали для сохраняющих меры потоков изоморфны перекладываниям отрезков. Существует конструкция, показывающая, что по крайней мере в ориентируемом случае любое перекладывание отрезков получается таким образом, т. е. для любого ориентируемого перекладывания отрезков (см. определение 14.5.1) существуют компактная ориентируемая поверхность М, гладкий сохраняющий площадь поток р с конечным числом неподвижных точек седлового типа и такая трансверсаль т, что отображение возвращения для потока р на г гладко сопряжено с Таким образом, в этом смысле данные теории эквивалентны. [c.485]

Интересующая нас ситуация такова. Предположим, что нам уже известно, что росток некоторого отображения / конечно -определен. Нам нужно оценить порядок его -определенности. Для этого мы можем рассмотреть аффинное пространство струй достаточно высокого порядка г (главное — что конечномерное) и действие на нем группы / Э. Нам хотелось бы, чтобы / -орбита точки / / сод8 ржала проходящее через эту точку аффинное подпространство г-струй отображений, имеющих ту же струю как можно более низкого порядка, что и f. [c.187]

В настоящей главе мы излагаем общую теорию эквивалентности дифференцируемых отображений. Приводятся классические результаты Мазера по устойчивости отображений. Формулируются стандартные теоремы версальности и конечной определенности. Указываются условия, которые достаточно наложить на отношение эквивалентности, чтобы эти стандартные теоремы были справедливы. Наконец, в различных ситуациях, когда отношение дифференцируемой эквивалентности становится обременительным для гладких отображений, мы рассматриваем, к чему приводит расширение этой эквивалентности до топологической. [c.155]

В [132] эта гипотеза доказана для 0-мерных полных пер сечений, для однородных и для тех, у которых порядс Г-определенности не слишком высок. Напомним, что порж ком определенности ростка отображения f относительно гру1 пы эквивалентности называется такое наименьшее число к, чт любой другой росток с такой же й-струей, что и у /, эквив лентен Росток с конечным порядком определенности наз1 вается конечно определенным. [c.30]

Группы 52-, и /-эквивалентности проектирований на прямую являются хорошими геометрическими подгруппами группы контактной эквивалентности отображений из в С [22, 3.2]. Поэтому для них верны теоремы конечной определенности и версальности. Например,. -миниверсальной деформацией проектирования / является [c.57]

ОБУЧЕНИЕ РАСПОЗНАВАНИЮ ОБРАЗОВ - процесс изменения параметров распознающей системы или решающей функции на основании экспериментальных данных с целью улучшения качества распознавания. Применяют в тех случаях, когда имеющиеся априорные сведения о распознаваемых объектах или, точнее, о множествах сигналов, принадлежащих к одному классу, недостаточно полны, чтобы по ним найти определенную решающую функцию. Экспериментальные данные обычно имеют вид обучающей выборки, представляющей собой конечное множество наблюдавшихся значений сигналов, причем для каждой реализации указан класс, к которому она должна быть отнесена. На основании этих данных необходимо выбрать решающую функцию, классифицирующую сигналы из выборки в соответствии с указанными для них классами. Подобный выбор решающей функции с помощью выборки имеет практический смысл лишь тогда, когда можно на основании тех или иных отображений рассчитать, что выбранная функция будет осуществлять правильную классификацию также и для значений сигнала, не представленных в обучающей выборке, но наблюдаемых при тех же условиях, при которых была получена выборка. Наиболее важным при этом является вопрос о том, что считать правильной классификацией. Дпя того, чтобы это понятие имело смысл, необходимо предположить, что объективно существует некоторая закономерность, в соответствии с которой появляется сигнал, соответствующий кажцому из классов. Обычно предполагают, что сигнал является многомерной случайной величиной и каждый класс характеризуется вполне определенным распределением вероятностей. Существуют два различных подхода к обучению, различающиеся прежде всего по характеру сведений об указанных распределениях вероятностей. Параметрический подход применяют в тех случаях, когда эти распределения известны с точностью до значений некоторых параметров. Например, известно, что распределение сигнала для каждого класса является нормальным распределением с независимыми компонентами и с неизвестным средним, которое является неизвестным параметром. Тогда задача обучения, называемая парамет- [c.47]

Предложен и реализован в составе САПР подход к определению установившихся электромагнитных процессов, использующий метод конечных элементов для расчета распределения магнитного поля в поперечном сечении машин. Кроме того, разработаны цифровые модели явнополюсных машин классической конструкции, с гребенчатым ротором, неявнополюсных синхронных машин, индукторных машин с пульсирующим и постоянным потоком, машин с внешне- и внутризамк-нутым потоком и др. на основе инженерных методов расчета. Созданы проблемно-ориентированные пакеты программ Модель и Поле , включающие программы, соответствующие названным математическим моделям электрических машин, программные модули аналитической аппроксимации одно- и двумерных функций, набор программных средств численного решения нелинейных задач и графического отображения распределения магнитного поля. [c.287]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Одно из основных достоинств программы NASTRAN - компактный и исчерпывающий набор (библиотека) конечных элементов высокой точности. В главе подробно описаны все элементы этой библиотеки и ее отображение средствами FEMAP. При описании материалов даны основные определения терминов из области теории упругости и пластичности на русском И английском языках. [c.15]

В своей работе Э. Л, Блох [2] развил метод расчета обтекания плоской решетки, составленной из профилей конечной толщины, путем отображения решетки профилей на решетку кругов густоты д=211 (рис. 11). Для определения скорости и ее потенциала на поверхности решетки кругов Э. Л. Блох тредложил приближенный прием, основанный на замене кругов контурами, весьма близкими к кругу. [c.80]

Берлинском университетах. В 1854-1866 гг. работал в Геттингенском университете (с 1857 г. — профессор). Несмотря на раннюю смерть, внес значительный вклад в мировую науку. Ввел строгое понятие определенного интеграла и доказал его существование. Создал геометрическое направление теории аналитических функций, ввел ри-мановы поверхности и разработал теорию конформных отображений. Создал (1854 г.) риманову геометрию и ввел понятие обобщенных римаяовых пространств. Аппарат теории квадратичных дифференциальных форм, разработанный Риманом, широко применяется в теории относительности. Работы по теории фигур равновесия вращающейся жидкости, по газовой динамике ( О распространении волн конечной амплитуды ), ввел понятие иивари-аитов в газовой динамике и объяснил необходимость образования ударных волн в сверхзвуковых потоках. [c.79]

Конечно, во всех определениях этого параграфа компактность соответствующих фазовых пространств несущественна. Кроме того, можно естественным образом модифицировать эти определения для случаев, когда для некоторых точек динамическая система определена только на конечном отрезке времени, как это имеет место, например, в окрестности гиперболической неподвижной точки линейного отображения. Такое обобщение ведет к понятиям локальной и полулокальной (в окрестности инвариантного множества) структурной устойчивости подобно 4 введения. [c.82]

Как мы видели в предыдущей главе, необратимые отображения отрезка могут иметь периодические точки различных периодов. Для /-периодической точки р областью притяжения В этой точки называется совокупность всех точек, положительно асимптотичных кр р может быть притягивающей нли полуустойчивой точкой). Мы называем объединение компонент связности, которые содержат точку орбиты 0 р), областью непосредственного притяжения точки р. Области притяжения, равно как и области непосредственного притяжения, очевидно, являются открытыми множествами. Рассмотрим объединение К полуустойчивых точек и дополнения к объединению всех областей притяжения периодических точек отображения /. Это множество называется универсальным отталкивающим множеством отображения /. По построению оно замкнуто и /-инвариантно. Это множество также / -инвариантно в том смысле, что f- R) = R. Очевидно, все сложные явления динамики происходят на R. Например, носители всех неатомарных /-инвариантных мер лежат в Л, так что по вариационному принципу 4.5.3 ьр(/) — 1ор(/1д)- Если существует лишь конечное множество притягивающих периодических точек, то Л — отталкивающее множество в традиционном смысле слова, т. е. для каждой малой окрестности П множества Л н точки X е U R существует такое п е N. что / х) 11. Это служит мотивировкой для анализа гиперболических отталкивающих множеств. Отталкивающее гиперболическое множество (см. определение 6.4.3) называется локально максимальным, если оно обладает открытой окрестностью, которая не содержит никакого большего инвариантного множества. [c.522]

Определение 18.3.13. Предположим, что tp — поток на множестве X. Спецификация S = (г, Р) состоит из конечной совокупности т = I,,..., 1 ограниченных отрезков = [а , bj С R и такого отображения Р Т(г) = и I X, что для f,, 2 I т выполнено равенст- [c.582]

Пространство R является гладким многообразием с тождественным отображением в качестве карты, равно как и открытые подмножества этого пространства. Интересный пример получается при рассмотрении линейного пространства (п х п)-матриц как R". Условие det А О тогда определяет открытое подмножество, следовательно, многообразие, которое известно как общая линейная группа GL(n, R) обратимых (п х п)-матриц. Простые гладкие кривые н поверхности в R являются многообразиями любая локальная параметризация задает отображение, обратное к карте. В частности, стандартная сфера является многообразием (в качестве карт можно взять шесть параллельных проекций полусфер на координатные плоскости или стереографические проекции сферы за вычетом полюсов). Вложенный тор (бублик) является многообразием (с очевидной параметризацией в качестве карт). (Заметим, что даже негладкие кривые могут рассматриваться как гладкие многообразия, например, простая кривая с углом (типа - ) гомеоморфна R, так что эта единственная глобальная карта задает дифференцируемую структуру. Конечно, эта структура несовместима со структурой пространства, в которое данная кривая вложена, так что эта кривая не может рассматриваться как гладкое подмногообразие R .) Многообразия, определенные уравнениями, а именно множества уровней дифференцируемых функций со значениями в R нли R", соответствующие регулярным значениям, представляют собой интересный обшлй класс многообразий. Существование карт в этом случае обеспечивается теоремой о неявной функции. В качестве примера можно рассмотреть сферу в R" н специальную линейную группу SL(n, R) п х п)-матриц с определителем единица. Если рассматривать пространство (п х п)-матрнц как R", можно получить SL(n, R) как многообразие, определенное уравнением det Л = 1. Легко проверить, что единица является регулярным значением определителя. Таким образом, это многообразие, определенное одним уравнением. Примеры многообразий, определенных несколькими )фавнениями, — симплектн- [c.702]

В этом параграфе мы рассматриваем группы, снабженные топологией, инвариантной относительно групповых операций. Топологическая группа — это группа с такой топологией, что все левые сдвиги g - ддд, правые сдвиги д -> дд к отображение 31- д являются гомеоморфизмами. Хорошо известные элементарные примеры — это К" с операцией сложения, окружность и тор. В этих случаях групповые операции, очевидно, являются диффеоморфизмами. Другие важные примеры включают группы матриц относительно умножения, напрнмер ОЦп, ), 5Ь(п,К) и другие группы, описанные после определения П 3.1. Топологическая группа называется локально компактной, если любая точка (или, что эквивалентно, единичный элемент) имеет окрестность, замыкание которой компактно. На такой группе имеется единственная с точностью до скалярного множителя локально конечная борелевская мера, инвариантная относительно правых сдвигов, которая называется правой (илн правоинвариантной) 1 мерой Хаара. Аналогичным образом, левая (илн левоинвариантная мера Хаара — это единственная с точностью до скалярного множителя борелевская мера, инвариантная относительно всех левых сдвигов. Эти меры конечны тогда и только тогда, когда группа компактна. Наиболее интересны и важны для нас ситуации, когда правоинвариантная мера Хаара является также и левоинварнантной. Это имеет место для всех коммутативных групп, компактных групп и, что особенно важно, для унимодулярных линейных групп, т. е. замкнутых подгрупп группы ЗЦп, К) всех (п х п)-матрнц с определителем единица. Группы, для которых левая и правая меры Хаара совпадают (и естественно называются просто мерой Хама), называются унимодулярными, и мы будем обсуждать только такие группы. [c.719]

Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим шумом соответствует реальной динамике системы Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ). [c.308]

Для близких к интегрируемым классических систем, в которых регулярные и стохастические траектории сосуществуют в сколь угодно малых масштабах, квантовые аналоги не ясны. Некоторое понимание достигнуто в отношении квантования классических систем с полностью стохастическим поведением (/ -систем). Примерами являются отображение Арнольда [27 ] и бильярд Синая, в частности стадион , образованный двумя параллельными прямыми, замкнутыми полуокружностями [59, 287 [. Берри [24,25] и Заславский [440] предположили, что уровни энергии стохастической системы должны отталкиваться, так что распределение расстояний между ними имеет максимум при некотором конечном значении, а не в нуле, как для интегрируемой системы ). Отталкивание наблюдалось в численном юдeлиpoвaнии для бильярда Синая и стадиона [27, 28, 59, 80, 287 ] и иногда принимается в качестве определения квантовой стохастичности. [c.496]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Для определения характера движения (хаотическое оно или периодическое) было использовано отображение Пуанкаре. Движение измерялось датчиками деформации, прикрепленных к защемленному концу балки, а в качестве фазовой плоскости была выбрана плоскость деформация — скорость деформации. Отображение Пуанка ре таких сигналов были синхронизованы с частотой вынуждающей силы. Наступление хаоса определялось по тому, что конечное множество точек в сечении Пуанкаре (за которым можно наблюдать помощью осциллоскопа см. гл. 4) становилось неустойчивым и на экране возникала картина, напоминающая по виду канторовское множество. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...