Отображение необратимое

Сценарий Фейгенбаума (1978— 79) появление странного аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим такие бифуркации сначала на примере одномерного необратимого (однозначного и непрерывного) отображения л п+1 = П хп, 1) отрезка О л 1 в себя, причем этом отрезке один квадратичный [c.132]

Необратимые отображения. Метод марковских разбиений может быть использован при изучении с топологической и метрической точек зрения некоторых динамических систем, формально не являющихся А-системами. [c.235]

Еще один класс необратимых отображений, при изучении которого оказался полезным метод марковских разбиений,— это дифференцируемые необратимые отображения окружности или отрезка в себя. [c.236]

Теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Как показывает название, фазовое пространство в соответствующей теории обладает структурой гладкого многообразия, например является областью или замкнутой поверхностью в евклидовом пространстве (более детальное описание см. в 3 приложения). Эта теория, которая является основной темой данной книги, изучает диффеоморфизмы и потоки (гладкие однопараметрические группы диффеоморфизмов) на таких многообразиях и итерации необратимых дифференцируемых отображений. Мы будем рассматривать главным образом конечномерные ситуации. Интерес к бесконечномерным динамическим системам, который в большой степени стимулирован проблемами гидродинамики, статистической механики и других областей математической физики, непрерывно возрастал в течение последних двух десятилетий и продолжает расти. Несколько направлений бесконечномерной динамики успешно разрабатываются в значительной степени по аналогии с различными направлениями конечномерной динамики. [c.22]

Рассмотрим следующее необратимое отображение Е2 окружности в мультипликативном представлении [c.53]

О — неподвижная точка отображения /. Трудность заключается в необратимости отображения Е,.. Мы обходим эту трудность, переписывая уравнение (2.4.8) в другой форме. Пусть — пространство всех таких непрерывных отображений к отрезка [0,1], что /1(0) = О, /1(1) = 1, рассматриваемое как пространство с равномерной метрикой. Это в точности пространство отображений, проектирующихся в отображения окружности степени один, т. е. гомотопных тождественному. Тогда мы можем переписать уравнение (2.4.8) как [c.89]

Более обш 1м образом, рассмотрим гладкую компактную -мерную клетку в т-мерном компактном многообразии М, т. е. вложение замкнутого стандартного шара из в М, и вычислим экспоненциальную скорость роста объема его образов для данной гладкой динамической системы на М. Если она необратима, объем следует вычислять с учетом соответствующих кратностей. Взяв точную верхнюю грань по всем f -мерным клеткам, получим инвариант гладкого сопряжения, который дая фиксированного к, вообще говоря, не является инвариантом топологического сопряжения. Оказывается, что для С°°-отображений максимум этих чисел по f , О f т, равен топологической энтропии р]. [c.125]

Случай г = dim М представляет интерес только для необратимых отображений ориентируемых многообразий. Если М ориентируемо, то Я,(М, R) = = К и умножение на целое число deg(/), называемое степенью / [c.128]

Докажите утверждение, аналогичное следствию 3.2.13, для необратимых отображений. [c.138]

Определение 4.1.21. В обозначениях предыдущего определения отображение S называется (метрическим) фактором отображения Т, если существует такое сохраняющее меру отображение R X Y (вообще говоря, необратимое), что R,fj. — и и [c.154]

Существует класс инвариантных мер, которые естественны для гладких систем. Это абсолютно непрерывные меры, т. е. меры, задаваемые плотностями в локальных координатах. В 1 этой главы устанавливаются общие критерии существования таких мер для трех классов динамических систем в случаях дискретного обратимого и необратимого времени и в случае непрерывного времени. Мы показываем, как эти критерии могут использоваться при установлении существования и единственности инвариантных гладких мер для растягивающих отображений. В оставшейся части этой главы описываются несколько классов динамических систем, возникающих в классической механике и дифференциальной геометрии. Благодаря наличию дополнительной структуры все эти системы сохраняют естественно определенную инвариантную гладкую меру. По ходу дела мы обогащаем нашу коллекцию стандартных примеров несколькими новыми экземплярами. [c.192]

Таким образом, если функция р конечна всюду (или почти всюду), то она является неподвижной точкой оператора Перрона — Фробениуса (см. определение 5.1.7) и потому задает плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Чтобы гарантировать, что р — функция из класса L и, следовательно, рП—конечная мера, достаточно показать, что р равномерно ограничена. Кроме того, если р также ограничена снизу некоторым положительным числом, то мера рП эквивалентна П. Таким образом, мы доказали следующий аналог теоремы 5.1.13 для необратимых отображений. [c.199]

Понятие числа вращения впервые встречается в гл. 15 третьего мемуара Пуанкаре [258]. Это понятие допускает несколько полезных обобщений. С одной стороны, можно определить интервалы вращения для необратимых отображений окружности и множества вращения для [c.730]

В случае необратимого отображения с соответствующими условиями гиперболичности могут возникнуть трудности при определении неустойчивых направлений, поскольку прообраз не единственен. В данном случае такой проблемы не возникает, поскольку по предположению все касательное пространство растягивается. [c.751]

В 7.2 рассматривается динамика необратимых одномерных отображений, начиная с их периодических точек, линейной устойчивости и структуры бифуркаций. Затем исследуется хаотическое движение и его связь с показателями Ляпунова, асимптотическими распределениями, спектром мощности, а также инвариантные свойства движения. [c.410]

В некоторых предельных случаях из обратимых отображений с ТУ > 2 можно получить одномерные необратимые отображения. Их поведение исследуется в 7.2. Для таких отображений связь растяжения фазового объема с расходимостью близких траекторий нарушена, и при а >0 возникает ограниченное хаотическое движение. Как будет показано, многие многомерные диссипативные системы приближенно можно свести к одномерным отображениям. [c.413]

Одномерные необратимые отображения 7.2а. Основные свойства [c.426]

Рис. 7.8. Типичный пример одномерного необратимого отображения.

Однако при определенных законах вариации параметров двумерное отображение может вести себя как одномерное и соответственно система, скорее всего, будет описываться одномерным необратимым отображением. Для экспериментатора из этого вытекает следующая мораль если физическая задача существенно характеризуется более чем одной безразмерной комбинацией параметров, то следует исследовать соответствующее пространство параметров, чтобы выявить весь диапазон возможных нелинейных динамических режимов. [c.113]

Рис. 5.9. Необратимые разностные уравнения (отображения), задаваемые функцией с одним горбом , в которых происходит удвоение периода.

Универсальное свойство (универсальность) Свойство динамической системы, остающееся неизменным в пределах некоторого класса нелинейных задач. Например, число Фейгенбаума для последовательности бифуркационных параметров при удвоении периода является одним и тем же для некоторого класса нелинейных необратимых одномерных отображений. [c.274]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

Важность работы Фейгенбаума состояла в том, что он показал типичность удвоения периода для всех одномерных отображений с одним горбом , или с одной г<ч>изонтальной касательной, как на рис. 5.9 [такие отображения необратимы существуют два значения дг , которые, если их подставить ь /(х ), дадут одно и то же значение x ]. Фейгенбаум также показал, что если заданицая отображение функшм / зависит от некоторого параметра Л, т. е. [c.172]

Эти особенности отображения (19.24) позволяют понять возникновение хаотического движения в детерминированной системе, описываемой уравнением (19.16). Прежде всего, необходимо определить понятие случайности. Согласно теории сложности алгоритма случайная последовательность а1й2. . не может быть сжата — не существует правила вычисления последовательности, которое было бы короче, чем ее копирование. Иными словами, последовательность закодирована необратимо, и единственный способ восстановить последовательность — предъявить ее копию. Цифры в таких последовательностях невычислимы, а значит, непредсказуемы [115]. С другой стороны, если набор цифр 0102. .. не является случайным, то ошибка в начальных данных экспоненциально растет. [c.178]

Вернемся к конструкции 1.7. В ходе доказательства предложения 1.7.2 мы в явном виде построили полусопряжение одностороннего 2-сдвига с отображением Е (см. (1.7.2)). Таким образом, Е2 является фактором сдвига. Эта конструкция, очевидно, обобщается на и Е для произвольного А , [А I > 1, и по теореме 2.4.6 мы можем заменить Е произвольным растягивающим отображением окружности степени к. Необратимость этого полусопряжения возникает из-за того, что любое двоично-рациональное число тп/2 имеет два различных двоичных представления, с нулями либо с единицами в конце. Полусопряжение к 5, сопоставляющее последовательности нулей и единиц ш число между О и 1, двоичное разложение которого задается последовательностью ш, очевидно, не является гомеоморфизмом это полусопряжение имеет счетное плотное множество точек, в которых оно перестает быть инъекцией. Это самый простой случай естественной полусопряженности между символической и гладкой системами. Другой, не столь самоочевидный случай, связанный с гиперболическими автоморфизмами двумерного тора, будет обсуждаться в следующем параграфе. [c.89]

Если каждое пересечение (2.5.1) содержит не более чем одну точку, можно определить такое непрерывное отображение h замкнутого подмножества A Qjy на X, что foh = коа . Таким образом, в этом случае отображение / есть фактор некоторой символической системы. Эта конструкция особенно содержательна, когда множество А имеет достаточно понятную структуру, например, если A = iix 0,1-матрицы А (см. определение 1.9.3), и, кроме того, множество различных кодирований данной точки не очень велико и может быть как-то разумно описано. Например, удобно, если на некотором большом множестве отображение h взаимно однозначно. Ясно, что полусопряжения, описанные в предыдущем параграфе, удовлетворяют всем этим условиям, модифицированным очевидным способом для необратимых систем. Правда, в этом случае нам следует несколько изменить формулу (2.5.1), поскольку множества в доказательстве предложения 1.7.2 [c.92]

Распространение понятия гиперболического множества на необратимые системы представляет любопытную проблему. В то время как сжимающаяся часть Е гиперболического разложения определяется поведением вдоль положительной полуорбиты точки х и в этом случае легко может быть определена, определение растягивающейся части Е требует рассмотрения отрицательной полуорбиты х, которая определена неоднозначно для необратимых отображений. Это делает общее понятие гиперболичности менее удобным, и потому мы не будем его вводить. Однако существует специальный случай, когда неоднозначность в выборе растягивающейся части отсутствует, а именно когда сжимающаяся часть отсутствует вовсе и, следовательно, растягивающаяся часть представляет собой все касательное пространство. Мы уже рассматривали растягивающие отображения в п. 2.4 а (см. определение 2.4.1). Такие отобрасжения встречаются довольно редко, как и диффеоморфизмы Аносова, представляющие собой их обратимый аналог. Более общее понятие, подобное гиперболическим множествам для обратимых отображений, описывается в следующем определении. [c.269]

Если гомеоморфизм f не транзитивен, то поворот является топологическим фактором отображения f (см. определение 2.3.2) соответствующее полусопрягающее отображение h S S необратимо, непрерывно и монотонно. [c.401]

Наш следующий результат описывает отображения интервала с нулевой топологической энтропией в терминах инвариантных мер. В определенной степени этот результат может рассматриваться как аналог классификации гомеоморфизмов окружности с иррациональным числом вращения с точностью до метрического изоморфизма (теорема 11.2.9). Их топологическая энтропия также равна нулю, и повороты образуют полную систему моделей для классификации гомеоморфизмов в измеримой категории, а также с точностью до полусопряженности. Мы покажем, что для необратимых отображений интервала имеется лишь одно модельное отображение с неатомарной мерой и нулевой энтропией. Важным ингридиентом нашего доказательства служит то наблюдение, что по следствию 15.1.11 подковы являются источниками положительной топологической энтропии. Этот факт будет неоднократно использоваться, чтобы исключить различные осложнения в комбинаторной структуре орбит. Мы начнем с описания стандартной модели таких отображений, которая впервые появилась в упражнении 1.3.3. [c.508]

Как мы видели в предыдущей главе, необратимые отображения отрезка могут иметь периодические точки различных периодов. Для /-периодической точки р областью притяжения В этой точки называется совокупность всех точек, положительно асимптотичных кр р может быть притягивающей нли полуустойчивой точкой). Мы называем объединение компонент связности, которые содержат точку орбиты 0 р), областью непосредственного притяжения точки р. Области притяжения, равно как и области непосредственного притяжения, очевидно, являются открытыми множествами. Рассмотрим объединение К полуустойчивых точек и дополнения к объединению всех областей притяжения периодических точек отображения /. Это множество называется универсальным отталкивающим множеством отображения /. По построению оно замкнуто и /-инвариантно. Это множество также / -инвариантно в том смысле, что f- R) = R. Очевидно, все сложные явления динамики происходят на R. Например, носители всех неатомарных /-инвариантных мер лежат в Л, так что по вариационному принципу 4.5.3 ьр(/) — 1ор(/1д)- Если существует лишь конечное множество притягивающих периодических точек, то Л — отталкивающее множество в традиционном смысле слова, т. е. для каждой малой окрестности П множества Л н точки X е U R существует такое п е N. что / х) 11. Это служит мотивировкой для анализа гиперболических отталкивающих множеств. Отталкивающее гиперболическое множество (см. определение 6.4.3) называется локально максимальным, если оно обладает открытой окрестностью, которая не содержит никакого большего инвариантного множества. [c.522]

Пусть F ->Т — необратимый и иерастягнвающий гиперболический эндоморфизм тора, т. е. отображение, задаваемое целочисленной матрицей с определителем, абсолютное значение которого больше единицы, ио одно из собственных значений по модулю меньше единицы. Покажите, что отображение Р не является структурно устойчивым. [c.575]

Результат моделирования этой системы на аналоговой вычислительной машине для х = 5,7 представлен на рис. 7.3, а [368], где показана проекция странного аттрактора на плоскость X, Y (ср. рис. 1.18, б). Рассмотрим сечение аттрактора по линии (0,1), как показано на рис. 7.3, а. Тогда последовательные значения в этом сечении определяются приближенно одномерным необратимым ) отображением, представленным на рис. 7.3, б. Таким образом, хаотическое движение на аттракторе Рёслера приближенно описывается отображением для X. [c.417]

И согласно (7.1.19), для трех разных двумерных отображений и трехмерного потока. Были выбраны отображения Хенона (7.1.14), (необратимое) отображение Каплана и Йорке [c.425]

Покажем, что последовательность бифуркаций удвоения является тем механизмом, с полющью которого происходит переход от регулярного движения к хаотическому в широком классе двумерных обратимых отображений. Более того, оказывается, что вблизи перехода движение системы можно локально описать одномерным необратимым отображением. Эти результаты были получены на основе точной теории ренормализации [83]. Однако мы будем по-прежнему использовать приближенную теорию Хеллемана [180— 182]. [c.453]

Трехмерные потоки приближенно описываются обычно с помощью одномерных необратимых отображений, для которых и определяется численно инвариантное распределение [324, 368]. Мы уже знаем два таких примера аттрактор Лоренца ( 1.5) и аттрактор Рёслера (п. 7.16). Однако прямое сравнение действительного распределения и одномерного приближения проводится не часто. Израйлев и др. [210] сравнили полученные численным методом распределение Pi (х) и распределение [c.467]

Отвлекаясь на минуту в сторону, сформулирую часть теоремы Купки—Смейла для необратимых каскадов. В пространств стве гладких отображений М на себя, снабженном С -топологи ей, типичны (т. е. образуют множество второй категории) отображения, у которых периодические точки не имеют нулевых собственных значений и являются гиперболическими (в том же смысле, что и раньше).) [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...