Неподвижная точка оператора

Неподвижная точка оператора Т является пределом последовательности, определяемой итерационным процессом [c.70]

Теперь докажем единственность неподвижной точки. Выберем элемент х л. качестве начального и с помощью процесса (2.8) построим последовательность Хп. По доказанному, она имеет своим пределом неподвижную точку оператора Т. Выберем другой элемент Xq2 6 и построим вторую последовательность. Ее предел также является неподвижной точкой для оператора Т. Тогда [c.71]

Если проследить ход доказательства основной теоремы и вывод последующих формул, то обнаружится, что требование определенности и сжимаемости оператора Т всюду — избыточно. Достаточно, чтобы оператор Т был определен и число L было меньше единицы только в той окрестности корня, которой принадлежат все члены последовательности. Предположим, например, что оператор Т определен и является сжимающим в замкнутом шаре р (х, л о) < г и выполняется условие р (х , Тх ) (1 — L) г. Тогда, если центр шара Xq взять за начало последовательности, то все ее члены также будут принадлежать шару, внутри него будет существовать неподвижная точка оператора Т, и все сказанное ранее остается справедливым. Докажем это. Из условия теоремы очевидно, что принадлежит шару р (х,, х ) — р (Тх , Xq) с [c.72]

Итак, установлено, что эти две последовательности не могут разойтись слишком далеко. Теперь можно получить оценку расстояния п-го члена реальной последовательности от неподвижной точки оператора [c.73]

В заключение подчеркнем, что требование сжимаемости оператора Т является только достаточным условием для сходимости метода итераций и существования неподвижной точки оператора Т и не является необходимым. [c.73]

Зайделя 92 Неподвижная точка оператора 70 [c.312]

Следствие. Неподвижная точка оператора А совпадает с периодическим предельным режимом движения машинного агрегата [c.66]

Применение оператора В к последовательно получаемым функциям u)j. t), k=i, 2. . . имеет смысл, так как все они непрерывны и удовлетворяют неравенству О t) й, т. е. принадлежат тому же функциональному пространству С —со, -foo). В силу принципа сжимающих отображений последовательность [t) сходится к неподвижной точке оператора В, т. е. к предельной угловой скорости u)=u)o (г) движения ротора. Нетрудно убедиться в том, что эта сходимость является равномерной на всей числовой прямой. В самом деле [c.233]

Точечное отображение — Неподвижная точка — Оператор 92 — Определение 92 Трение — Виды, типы характеристик 14 — 19 [c.350]

В результате получаем x = Qx, т. е. х -г-неподвижная точка оператора Q. [c.56]

X — единственная неподвижная точка оператора Р в шаре 8 [c.408]

Мы, таким образом, установили, что инвариантные плотности являются неподвижными точками оператора Перрона — Фробениуса. [c.195]

Таким образом, если функция р конечна всюду (или почти всюду), то она является неподвижной точкой оператора Перрона — Фробениуса (см. определение 5.1.7) и потому задает плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Чтобы гарантировать, что р — функция из класса L и, следовательно, рП—конечная мера, достаточно показать, что р равномерно ограничена. Кроме того, если р также ограничена снизу некоторым положительным числом, то мера рП эквивалентна П. Таким образом, мы доказали следующий аналог теоремы 5.1.13 для необратимых отображений. [c.199]

Отображение /3, которое мы разыскиваем, — неподвижная точка оператора [c.568]

К указанным методам примыкают некоторые общие итерационные методы, основанные на непосредственном рассмотрении нелинейной системы (17.1) или на ее последовательных линеаризациях. К ним относятся мощный метод Ньютона — Рафсона и методы продолжений типа метода последовательных нагружений. Заметим, наконец, что большинство итерационных схем можно считать видоизменениями давно известного метода последовательных приближений, который органически связан с фундаментальным понятием неподвижной точки оператора и принципом сжимающих отображений. [c.297]

Тогда решение уравнения (17.12) будет неподвижной точкой оператора (X), введенного формулой (17.13). Точно так же задачу отыскания решения уравнения (17.4) можно свести к задаче [c.298]

Неподвижные точки оператора аР" (X) можно искать методом последовательных приближений. Пусть Хо — нулевое приближение, т. е. какое-то пробное решение уравнения (17.11). Если (Хо) несущественно отличается от Хо, то естественно считать Х = = (Хо) уточнением Хо. Далее, точно так же X = (Х ) служит возможным уточнением Х . Продолжая этот процесс, мы строим последовательность X последовательных приближений к неподвижной точке X оператора (X) с помощью формулы [c.298]

Рассмотрим переход твердого тела из одного фиксированного положения в другое произвольное фиксированное положение, сохраняющий неподвижной некоторую точку О тела. Такое движение согласно следствию 2.4.2 может быть представлено как конечный поворот тела на некоторый угол а вокруг оси с единичным вектором е собственного направления соответствующего оператора А. Пусть из конца вектора е угол а виден происходящим против хода часовой стрелки. Как и прежде обозначим х радиус-вектор точки твердого тела в его исходном положении, а г — радиус-вектор той же точки тела, получившийся в результате указанного перехода. Радиусы-векторы X и г имеют начало в неподвижной точке О. Построим преобразование X —> г. [c.96]

В рассматриваемом случае оператор Ах оставляет неподвижной точку Ох, совпадающую с концом вектора г х, а оператор Аз — точку Оз, совпадающую с концом вектора г = Аху - - г х. Следовательно, основание вектора соответствующего оператору Ах, проходит через точку Ох, а основание вектора проходит через точку О3. Имеем два скользящих вектора угловых скоростей, основания которых могут, вообще говоря, не пересекаться. [c.127]

Так как оператор Т сжимающий, величина 1 — Z. > 0 и неравенство (2.10) означает, что р ( ,, ,) = О- По первой аксиоме метрики это влечет за собой т. е. оператор Т имеет единственную неподвижную точку. Оба утверждения сформулированной теоремы полностью доказаны. Для вычислительных целей необходимо оценить расстояние между пределом последовательности и ее п-м членом [c.71]

Будем рассматривать наряду с сжимающим оператором Т, неподвижную точку которого требуется отыскать, оператор Т, с которым фактически производятся вычисления. Область определения Т и область его значений — некоторое подмножество пространства R, элементы которого представлены в вычислительной машине. Будем считать, что для всех х, принадлежащих области определения Т, выполняется неравенство р (Тх, Т х) < б, где 6 является мерой ошибки, которая возникает при приближенном вычислении результата действия оператора Т. Других предполо- [c.72]

Последовательность бифуркационных значений параметра, соответствующих выходу в комплексную область мультипликаторов цикла периода 2", возникающего в каскаде удвоений, имеет вид e = 6 +0(6 a ), где б — константа Фейгенбаума, а — максимальное сжимающее собственное значение линеаризации оператора удвоения в неподвижной точке G, с — константа, зависящая от семейства. [c.85]

Точка а полностью определяется точкой а, а = Ua, причем оператор и в качестве неподвижной точки имеет точку а = 0. Матрица А линейного приближения к U (имеющая т — 1 строк и m — 1 столбцов) имеет вид [c.480]

Таким образом, оператор А удовлетворяет всем условиям принципа сжимающих отображений [31 ]. Поэтому существует, и притом единственная, неподвижная точка (ср) оператора А, т. е. [c.64]

Предельных циклов. Пусть периодическому движению соответствует т-кратная неподвижная точка М. Рассмотрим некоторую точку Мо в окрестности точки М И воздействуем на нее оператором точечного отображения T . Тогда получим точку На точку Ml снова подействуем оператором Г и получим точку и т. Д. Если предельный цикл асимптотически устойчив, то [c.93]

Теорема. 1.6 (принцип сжатых отображений). Если оператор сжатия отображает полное метрическое пространство в само себя, то он имеет единственную неподвижную точку х, которая может быть получена методом последовательных приближений при любой начальной точке Хо. [c.56]

Центр тяжести системы расположен выше неподвижной точки (рис. 28.1). Учитывается внешнее вязкое трение. Сопротивление отклонению оси тела от вертикали оказывает радиальная податливая опора, обладающая упругими свойствами и гистерезисом. Показано, что реакция этой опоры представляется силовым полем, получаемым в результате применения композиции оператора Гамильтона и оператора поворота к силовой функции (после линеаризации это поле позиционной неконсервативной силы). [c.192]

Автоквадратное отображение является неподвижной точкой оператора удвоения [c.82]

Если С-норма разности F—G не превосходит г/2, то отображение TF определено в D . Легко проверить, что отображение G является неподвижной точкой оператора Г и в этом смысле автоквадратно. [c.84]

Возьмем произвольную точку Xo I>q и положим Xi=QaTo. Возможен случай, что точка Хо и есть неподвижная точка оператора Q тогда мы получим xi==Xo. Однако, как правило, Х1ФХ0 при произвольном вы- боре Хо. [c.55]

Теорему 1 часто называют теоремой о неподвижной точке ввиду того, что решение Х(о) уравнения (7.1) является неподвижной точкой оператора S. Ниже в п. 3 мы применим для доказательства существования другие (неконструктивные) теоремы о неподвижной точке. Для наилучшего использования таких теорем о неподвижной точке будет удобно перейти к другим пространствам Банаха, определяемым различными функциями расстояния. Так, например, Лерэ [52], исследуя уравнения Вилла, вначале использовал норму [c.198]

Р Вд(а) я уе . Кроме того, Л — гомеморфизм на В (0) с С (У и(А)). Если V — неподвижная точка оператора [c.568]

Определение 3. Пусть А — оператор линейной части сильно однорезонансного векторного поля в особой точке или диффеоморфизма в неподвижной точке, или периодического дифференциального уравнения с автономной линейной частью, Я — спектр А. Оператору А соответствует вещественный резонансный моном, определяемый следующим образом. [c.72]

Пусть двумерная область Dr, оператор удвоения (26), его неподвижная точка G и его инвариантная гиперповерх- [c.85]

Оператор Т определен для точек ж, принадлежащих области D. Во всех рассматриваемых ниже случаях область D содержит начало координат, которое считается неподвижной точкой преобразования ГО = 0. Можно ввести определение устойчивости атталогично тому, как это было сделано в 21.12 [c.422]

Рис. 2, Гауссова неподвижная точка ц со значениями параметров rj = u = 0 и собственные векторы е, и е2 оператора Д на плоскости двух параметров (fo, и). Линии тока и стрелк указывают направления движения ростом s а — устойчивая точка (d>4)

Из лемм 13.2 и 13.4 следует, что оператор Ф, переводит пространство Q в себя. Лемма 13.5 показывает, что на этом пространстве оператор Ф представляет собой оператор сближения. Отсюда в силу принципа Банаха следует, что оператор Фе имеет на Q неподвижную точку = Ф . Следова-тельЕЕо, 7 = Тд, что и доказывает теорему. [c.213]

Метод неподвижной точки Лерэ. Весьма общая неконструктивная теорема существования основана на теории функциональных операторов Лерэ — Шаудера, которая была развита отчасти именно для этой цели. Интересующая нас теорема может быть сформулирована следующим образом [55, стр. 63]. [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...