Форма дифференциальная квадратичная

Пусть f — регулярная (по крайней мере дважды дифференцируемая) поверхность. Это значит, что на поверхности может быть введена криволинейная координатная сеть и, V так, что вектор-функци я г (и, и), задающая поверхность в этих координатах, является регулярной (по крайней мере дважды дифференцируемой) функцией . Линейным элементом поверхности, отвечающим данной параметризации и, V, называется дифференциальная квадратичная форма [c.35]

Кроме обычных, более или менее стандартных курсов высшей математики, для этого потребуются лишь небольшие дополнения из линейной алгебры (сведения по теории матриц и квадратичных форм), дифференциальных уравнений, а также аналитической динамики (уравнения Лагранжа и Гамильтона). Впрочем, в ряде втузов эти дополнения входят в обязательные программы по математике. Программа же по устойчивости движения предполагает всего 30— 40 часов. [c.12]

Дифференциальная квадратичная форма [c.409]

Рассмотрим квадратичную дифференциальную форму [c.542]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Во всех устойчивых состояниях тела за исключением критической точки разности 65, 6V таковы, что члены второго порядка превышают сумму всех членов более высокого порядка. В этом случае состояние будет устойчивое, если квадратичная дифференциальная форма от 6S и бУ существенно положительна, т. е. [c.192]

Введем метрику в координатном пространстве (qi,, q ), определив квадрат длины дуги ds с помощью положительно опре деленной квадратичной дифференциальной формы [c.133]

Выражение такого рода называется квадратичной дифференциальной формой переменных Xi, Xz, Х3. Коэффициенты этой суммы п.-.чй зз — не постоянные величины, а функции трех переменных х , Х2, х . Сумма (1.5.3) может быть записана в более компактной форме [c.41]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

Когда говорят малые колебания , то обычно имеют в виду движения, описываемые системой дифференциальных уравнений, полученной в результате линеаризации полных (нелинейных) уравнений движения. В случае движений в окрестности положения равновесия консервативной системы линеаризация сводится, как мы видим, к получению Т и П в виде квадратичных форм (5) и (3). [c.501]

Отметим, что в принципе Гаусса мы имеем дело с простой алгебраической задачей о минимизации квадратичной формы. Осуществляя эту минимизацию, мы получаем дифференциальные уравнения движения. [c.56]

Эта квадратичная дифференциальная форма согласно равенству (44.26) всегда имеет неотрицательное значение, причём может обратиться в нуль лишь тогда, когда все db нули. [c.484]

Выбор в каждом случае единственного решения основан на минимизации некоторого функционала качества F (ф, ф). В зависимости от критерия оптимизации можно использовать функционалы различного вида [1, 3]. Если F (ф, Ф) является положительно определенной квадратичной формой по ф, то алгоритм его минимизации приводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. [c.9]

Учитывая выражения (4.9), (4.11), кинетическую энергию планетарного дифференциального ряда можно представить в виде канонической квадратичной формы [c.130]

Сначала рассмотрим случай, когда кинетическая и потенциальная энергии могут быть представлены в виде квадратичных форм (2.5) и (2.12). После подстановки этих выражений в уравнения Лагранжа (2.15) получаем систему Н дифференциальных уравнений второго порядка [c.61]

При фиксированных параметрах d = d/ нелинейной части функция (137) не является квадратичной формой относительно параметров с линейной части, поэтому необходимо применить численные методы оптимизации (28). Градиент функции (137 по параметрам с линейной части вычисляют, как в случае оценивания параметров линейных дифференциальных уравнений. При этом в соответствующих уравнениях (99) и (100) вместо входного сигнала х (f) используют сигнал v () = fi [л (if)], где fi (х) — оценка характеристики нелинейного элемента на 1-м этапе поиска, которая получается подстановкой d = d в (119). [c.369]

Дифференциальные соотношения по х, у, г нетрудно привести к новым координатам при помощи коэффициентов Гауссовой квадратичной формы [c.176]

И Т. Д. ПО схеме (7.1) с учетом (1.6), (1.12), (1.23) и (1.29). При этом аналогия в вариационной форме имеет место между квадратичными частями двумерных интегралов, подобно тому как аналогия в дифференциальной форме существует между однородными частями дифференциальных уравнений. Входящие в функционалы Лагранжа и Кастильяно контурные интегралы оказываются полностью аналогичными, если между статическими и геометрическими граничными величинами установить соответствие [c.134]

Ввиду малости лицевых граней элемента dsi 2 0) возможно использование третьей квадратичной (дифференциальной) формы [c.26]

Если же резная линейчатая поверхность Монжа задана в виде параметрических уравнений (1.141) с коэффициентами квадратичных форм (4.34), то дифференциальные уравнения равновесия (6.23) примут вид [c.245]

Пользуясь известными соотношениями дифференциальной геометрии поверхностей, для поверхности приведения оболочки вращения нетрудно получить выражения компонент тензоров первой Оов и второй бав квадратичных форм и ненулевых символов Кристофеля (Г12 , Гм ). [c.278]

Система дифференциальных уравнений ) так же, как и система .17), допускает разложение ее на ряд независимых дифференциальных уравнений типа (11.16). Для этого следует квадратичную форму ) преобразованием [c.48]

Если квадратичная форма — ж Лх выпуклая (вогнутая), то задача квадратичного программирования может быть решена, т. е. может быть найден максимум (минимум) целевой функции. Выпуклость или вогнутость квадратичной формы определяется по критерию Сильвестра, который использовался в методах дифференциального исчисления. После проверки определенности квадратичной формы для решения задачи оптимизации могут быть использованы методы Билла, Баранкина—Дорфмана или Франка— Вольфа [65]. [c.195]

Функция 5 представляет собой квадратичную форму с коэффициентами, являющимися почетными степенями вещественных частей собственных чисел матрицы А. Составим полную производную от 5 по в силу дифференциальных уравнений системы (3.11), [c.56]

Можно показать (подробности см., например, в работах [265, 300, 426]), что матрица A t) квадратичной формы для функции Беллмана V z,t) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению Риккати стандартного вида [c.368]

С целью нахождения дифференциального алгоритма оценивания неизвестных параметров следует выбрать матрицу A t) — матрицу квадратичной формы, определяюш ую функцию Беллмана, в виде матрицы, линейно зависяш ей известным образом от вектора настраиваемых параметров f(t), т.е. надо дополнительно потребовать, чтобы A t) = A t, f). [c.368]

Дифференциальные уравнения (1.7) совпадают по своей форме с дифференциальным уравнением процессов свободной теплопроводности и свободной диффузии. Следовательно, при отбрасывании квадратичных членов инерции вектор-вихрь будет распространяться по законам свободной диффузии. [c.157]

Определяя в пространстве QT элемент действия А х, dx), мы превращаем его в пространство Финслера (выражаясь на геометрическом языке). Если Л(а , dx) — квадратный корень из однородной дифференциальной квадратичной формы, то QT — пространство Римана. [c.212]

Параллельно с описанными направлениями выявилось и другое направление в разработке методов изучения систем с неголономными связями путем использования дифференциальной квадратичной формы второго порядка — энергии ускорений. В 1898 г. известный французский ученый П. Аппель, автор не менее известного пятитомного трактата по классической механике, опубликовал уравнения движения, применимые как к голономным системам, так и к неголономным. Приведем их содержание. [c.10]

Необычность уравнений Нильсена состоит, как видно, в том, что они составляются не только через кинетическую энергию системы, но и через ее полную производную по времени, т. е. через дифференциальную квадратичную форму второго порядка по отношнию к обобщенным координатам. Уравнения Нильсена, опубликованные им в его книге Lehrbu h der Me hanik (1935 г.), оставались некоторое время не замеченными. [c.10]

Возвратимся вновь к кинетической и потенциальной энергиям, выраженным формулами (11.170) и (11.173). В некоторых простейщих задачах можно непосредственно, без упрощений, выразить кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами. В этих случаях, а также тогда, когда членами высщих порядков малости в выралсениях кинетической и потенциальной энергии можно обоснованно пренебречь, закон движения системы определяется из системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если из некоторых соображений невозможно произвести упрощение выражений кинетической и потенциальной энергий, дифферехчциальные уравнения движения будут системами нелинейных уравнений второго порядка. [c.230]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Эта задача тесно связана с вопросом о геометрической структуре фазового пространства. Мы уже видели, как помогло динамической теории введение определенной геометрической структуры лагранжевого пространства конфигураций. Там был введен рпманов линейный элемент ds, квадрат которого задавался в виде некоторой квадратичной дифференциальной формы переменных qi. Величина ds была одновременно основным инвариантом лагранжевого точечного преобразования и тем бесконечно малым расстоянием, которое — при соответствующем выборе граничных условий — определяло геометрическую структуру пространства конфигураций. [c.241]

Решение задачи о минимизации среднеинтегральных ускорений ведомого звена для случая установившегося неравно-кернрго вращения ведущего звена позволяет получить минимум максимальной скорости ведомого звена при симметричной относительно середины рассматриваемого интервала скорости ведущего звена. В частности, при равномерном вращении ве- дущего звена оптимальная передаточная функция является симметричной квадратичной параболой. Это решение, полученное интегрированием дифференциального уравнения Эйлера, обеспечивает движение без жестких ударов. Однако использование точных методов не дает возможности удовлетворить дополнительным граничным условиям, которые могут оказаться важными в некоторых случаях. Оптимальный закон движе ния, полученный в 1 этой главы, имел разрыв непрерывности второй производной функции положения в граничных точках рассматриваемого интервала, что приводило бы к мягким ударам в работе механизма в этих точках. В настоящем параграфе задача об определении оптимальной передаточной функции механизмов из условия минимума среднеинтегральных ускорений ведомого звена в классе функций, обеспечивающих движение как без жестких , так и без мягких ударов, решается методом Ритца. При этом скорость ведущего звена принимается постоянной. В данной задаче для закона движения механизма используем форму инвариантов подобия. Вы- [c.29]

Выражение, стоящее в правой части формулы (1.6), называют первой квадратичной формой поверхности. В курсах дифференциальной геометрии (см., например, [59]) доказывается, что первая квадратичная форма не изменяется при изгибании поверхности без растяжения. В дальнейшем в данной книге рассматриваются исключительно ортогональные системы координат, для которых os й = О (п = баХбр). [c.16]

Для удобства расчетов криволинейные координаты выбираем ортогональными и безразмерными. Через них в дифференциальной геометрии выражается так назьгва-ем ая квадратичная форм а — квадрат элемента длины. В криволинейных координатах эта форма примет вид [c.176]

Математически уравнение (45.3) представляет собой квазилинейное дифференциальное уравнение втррого порядка относительно потенциала скорости. Тип этого уравнения определяется свойствами квадратичной формы 4i i — где i — произвольный вектор с действительн )Ши компонентами. Начиная с этого места, мы ограничимся рассмотрением дозвуковых течений. При этом предположении з равнение (45.3) [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...