Аффинные точки

Так как P —аффинно, то VF(d ) не зависит от точки и обозначается VP. [c.173]

В дальнейшем будет предполагаться, что решение и принадлежит пространству (это верно для всякого f L (Q), если —выпуклый многоугольник, т. е. в данном случае прямоугольник). Так как всякое семейство прямоугольников Адини аффинно, то для регулярного семейства триангуляций [c.357]

По поводу первого случая естественно возникает вопрос, если при любом выборе плоскости тг конфигурации ф и ф° аффинны, то, может быть, используя произвол в выборе тг, можно достичь большего сходства между ф и ф°, например, сделать их подобными Мы сейчас покажем, что это действительно так. [c.101]

При рассмотрении задания плоскости на чертеже Монжа (п. 2.2) было показано, что моделью плоскости является родственное (перспективно-аффинное) соответствие, устанавливаемое между полями горизонтальных и фронтальных проекций точек данной плоскости. При этом были сформулированы его основные свойства, непосредственно вытекающие из свойств параллельного проецирования. Было отмечено, что родство имеет двойную прямую d = /2, называемую осью родства. Она представляет собой совпавшие проекции линии пересечения данной плоскости с биссекторной плоскостью четных четвертей. Отсюда следует широко используемый способ задания родства [c.197]

На плоскости (рис.32, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например,/>, А - А. Линия связи A-i [c.36]

Операция разметки в плоскости на пространственном эскизе требует известных навыков работы в аффинных преобразованиях. При необходимости студентам предлагаются специальные задания на построение перспективно-аффинного (родственного) соответствия. Предварительно сообщаются сведения об инвариантах точечного соответствия полей проекций, связанных такой закономерностью. Указывается на сохранение следующих базовых свойств аффинного соответствия коллинеарности, параллельности прямых, простого отношения трех точек прямой. [c.113]

Особое внимание обращается на практические способы задания аффинного соответствия двух полей (точечных структур изображения) совмещенное, определяемое осью родства и парой соответствующих точек, и произвольное точечное, определяемое тремя базовыми инвариантными свойствами (рис. 3.213). [c.114]

Перспективно-аффинное соответствие представляет собой частный случай перспективной коллинеации, когда центром проецирования является бесконечно удаленная точка. [c.11]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

В проективной геометрии доказывается следующее если две любые фигуры порознь аффинно соответствуют третьей фигуре, то они состоят в аффинном соответствии между собой. Например, если данная фигура состоит в родственном соответствии с одной фигурой и в подобном соответствии с другой, то все эти фигуры в любом сочетании являются аффинно-соответственными [9]. [c.6]

В дополнение к отмеченному следует напомнить, что подобные фигуры, а следовательно, и плоскости, определяемые подобными фи- гурами, обладают не только теми инвариантами, которые присущ вообще аффинно-соответственным фигурам и плоскостям, но и еще одним весьма ценным свойством равенством углов между парами лю бых соответственных прямых, лежащих в этих плоскостях. Эти соображения приводят к выводу любой паре взаимно перпендикулярных,, равных между собой и выходящих из одной точки отрезков прямых, лежащих в одной из подобных плоскостей, однозначно соответствует в другой плоскости единственная и вполне определенная, родственная пара подобных и подобно расположенных, взаимно перпендикулярных, выходящих из одной точки и равных между собой отрезков прямых. Каждая пара этих отрезков может быть принята за сопряженные радиусы соответствующих окружностей, лежащих в этих плоскостях. [c.14]

Во введении к данной главе упоминалось, что все параллелограммы (а следовательно, и все разновидности параллелограмма — квадрат, прямоугольники и ромбы) находятся в аффинном соответствии между собой, а потому по одной и той же горизонтальной проекции параллелограмма можно построить фронтальную его проекцию, удовлетворяющую требованию, чтобы проекции его определяли квадрат или любые прямоугольники, ромбы и параллелограммы. Во всех этих случаях необходимо предварительно построить фигуру, подобную искомой (этого нет надобности делать для квадрата). Форму искомой фигуры следует определить теми ее параметрами, пользуясь которыми можно построить фигуру, подобную искомой. [c.23]

Если фигура, подобная искомой, не задана, то ее следует построить, пользуясь основными инвариантами аффинного соответствия. В 7 сначала строились трапеции, аффинно-соответствующие искомой, а потом по одной из построенных трапеций и горизонтальной проекции искомой трапеции находилась ее фронтальная проекция. [c.27]

Но так как любых аффинно-соответственных, а значит и одноименных, т. е. трех-, четырех-, п-угольных фигур можно построить бесчисленное множество, то в каждой из таких задач по одной и той же данной горизонтальной проекции фигуры можно построить бесчисленное множество различных одноименных фронтальных проекций фигур, а значит и бесконечное множество самих одноименных фигур. [c.27]

Построение фигур, аффинно-соответственных искомой, можно выполнить, исходя из следующих соображений из теории параллельного проецирования известно, что любая пара треугольников, а также и любая пара параллелограммов инвариантны, так как две плоскости, в каждой из которых произвольно расположены три точки, не лежащие на одной прямой, можно привести в такое взаимное положение, при котором три точки одной плоскости будут параллельными проекциями любых трех точек другой плоскости. На этом основании всегда можно по горизонтальной проекции любой фигуры построить бесчисленное множество фигур, аффинно-соответствующих тем, фронтальные проекции которых требуется построить. [c.27]

Мы знам, что аффинное соответствие точечных полей двух плоскостей полностью устанавливается заданием пары произвольных, лежащих в них треугольников, соответствующих один другому. Отсюда заключаем, что взаимное однозначное соответствие между точками го- [c.33]

В 1 гл. I говорилось о том, что если две различные фигуры Ф и 02 порознь аффинно соответствуют третьей фигуре Фз> то фигуры [c.37]

Натуральная величина Ф искомой фигуры состоит в аффинном соответствии с фигурой 0j, так как они подобны. Фигура 0з та кже аффинно соответствует фигуре Ф% так как является параллельной проекцией 02- Значит 01 (натуральная величина искомой фигуры) и Фз (горизонтальная проекция фигуры, подобной искомой) должны быть аффинно-соответственными, т. е. они должны удовлетворять инвариантным свойствам аффинного соответствия (сохранение параллельности прямых и простого отношения трех точек соответственных прямых). Без этого необходимого условия задачи не имеют решения. [c.37]

На рис. 103 дана цилиндрическая поверхность, определяемая горизонтальным следом А—III—IV—В—V—С— VI—VII и направлением ааи а а/ ее образующих. Требуется построить сечение цилиндрической поверхности плоскостью, любые точки Ло, Во и Со (рис. 104) которой аффинно соответствуют произвольно взятым в горизонтальной плоскости проекций точкам а, Ь и с. Точки Ло, Во и Со, как и точки а, Ь и с, должны удовлетворять только одному требованию они не должны лежать на одной прямой. Для простоты построения фигуры, подобной фигуре искомого сечения и, следовательно, аффинно-соответственной горизонтальному следу цилиндрической поверхности, точки а, Ь п с возьмем на горизонтальной проекции следа. [c.117]

И, наконец, гипербола с аффинной точки рении представляет собой кривую второго порядка, пересекающую несобственную прямую, или, иначе, гипербола — кривая второго порядка, имеющая две несобственные точки, т. е. чтобы получить гиперболу, нужно секущую плоскость взять параллельной двум прямолинейн1.1м образующим. В частном случае, когда секущая плоскость проходит через вершину конической пове )хнос1и, гипербола распадается на две пе1)есекаюп и-еся прямые. [c.137]

Общая идея метода такова если до сих пор предполагался разъединенным один шарнир и по трем ложным положениям определялось геометрическое место изобра- кений скорости разъединенного шарнира или же непосредственно истинное положение этой точки, характеризующей скорость (метод полюса аффинности), то для более сложных цепей приходится разъединять не один шарнир, а несколько. Поэтому будет и большим число ложных данных в общем случае произвольно задается число изображений, вдвое большее числа разъединяемых шарниров. [c.146]

Если в уравнении Е(х,у)=Оили у = / (х) величины X и у рассматривать как координаты (прямоугольные или общие аффинные), то совокупность всех точек М, координаты которых X, у удовлетворяют данному уравнению, называют графиком данной функции. [c.194]

При л / — на прямой 1 = 1 устанавливается неинволюционное аффинное соответствие, а при л = —1 — инволюционное. В последнем случае все пары Л . 4 , В В, . .. соответственных точек являются симметричными относительно двоййон точки О. [c.210]

Если центр проецирования удашпъ в бесконечность, то получим параллельное проецирование по направлению s (рис.32, а). Перспективная коллинеа-ция с несобственным центром называется перспективно-аффинным, или родственным, соответствием двух плоских полей. [c.36]

Рассмотрим плос1сие поля П и П, аффинное соответствие которых задано осью родства р и соответственными точками О -> О. Точку О примем за центр окружносп поля П (рис.124,.о). Два диаметра (АВ и СО), каждый из [c.121]

В нашем примере (см. рис. 131, а) совместим катет [ОА] с радиусом преобразуемой окружности и построим катет [АА ] [ОА] и [АА ] = [ОА ] = = К[ОА]. Гипотенуза [О А ] будет масштабной шкалой. Если через точку 1 провести пряьг) ю (1 - Г) II (АА ), то [О - Ь] = [1о - 1] II (ОА), т е. произошло откладывание полухорды точки 1 на катете [ОА], а результат умножения [1о-Г ] II [АА ] откладываем от диаметра [С В ] отрезком [1о - Г] и получаем точку Г. Симметрично ей относительно (С В ) отмечаем точку 1 . Далее берём точку 2 окружности, замеряем отрезок [2о - 2 ] (АА ), откладываем его отточки 2о на оси (010]) и получаем точки 2 и 4 эллипса. На продолжении прямой (2 - 2) можно пол>"чить точку 6, а затем 6, которая симметрична точке 2 относительно большой оси. Молшо использовать центральн> ю симметрию [О - 2 ] = [О - 5 ] для второй половины эллипса. Рассмотренное преобразование является частным случаем аффинного преобразования, в котором прямая (С В ) является осью родства, а направление родства перпендикулярно оси. [c.128]

Соответствие при одноразовом проецировании фигуры пучком параллельных между собой лучей называется перспективно-аффинным или родственным. При многократном проецировании фигуры каждая последующая фигура находится в перспективно-аффинном соответствии с предыдущей. Поэтому последняя фигура обладает инвариантными свойствами не только по отношению к пре-дйдущей фигуре, но и по отношению к первой, исходной фигуре, однако родственной по отношению к исходной фигуре ее назвать нельзя, так как прямые, проходящие через соответственные точки этих фигур, могут быть непараллельными между собой. Такое соответствие между фигурами называют аффинным. [c.6]

Так, все треугольники находятся в аффинном соответствии друг с другом. Фигурой, аффинно соответствующей четырехугольнику, является тоже четырехугольник если данный четырехугольник является трапецией, то и соответственный четырехугольник тоже будет трапецией квадраты, ромбы, прямоугольники и параллелограммы — афинно-соответственные фигуры. Эллипс является кривой, аффинно соответствующей окружности. [c.6]

Обеспечение цельности каждого из этих чертежей и необходимой их жесткости осуществляется следующим образом продолжим прямую 0 М до пересечения ее со сторонами А В и A i треугольника соответственно в точках li и 2и прямую OiA i —до пересечения ее с продолжением стороны Bi i в точке 5i. Этим построением мы объединили две различные фигуры в одну, единую. Теперь остается построить в горизонтальной плоскости проекций фигуру, ей соответственную (рис. 7). Для этого следует, используя инварианты аффинного соответствия , построить точку 1, делящую отрезок аЬ (см. рис. 7) в том же отношении, в каком точка h на рис. 6 делит отрезок AiBi. Таким образом находим точку 2, лежащую на отрезке ас (см. рис. 7), соответствующую точке 2 на рис. 6, лежащей на отрезке A i. Через точки I VI 2 проводим прямую, на которой находим способом пропорционального деления точки т и О, соответствующие точкам Mi и [c.15]

Если точка делит отрезок прямой, лежащий в одной из аффинно-соответствеи-иых плоскостей, в некотором отношении, то соответствующая ей точка делит соответствующий отрезок прямой, лежащий в другой плоскости, в том же отношении, [c.15]

Трапеции, принимаемые в качестве подобных трапеции AB D, можно построить и другим способом. Чтобы любые четырехугольники были аффинно соответственны, необходимо и достаточно, чтобы обе диагонали точкой взаимного пересечения их делились на пропорциональные части. Этим свойством аффинно соответственных четырехугольников можно воспользоваться для построения трапеций, подобных искомой. [c.26]

Построение кривой, аффинно-соответствующей искомой и принимаемой за кривую, подобную искомой, можно осуществить различными способами. Наиболее простым будет следующий пересекаем проекцию кривой линии и стороны треугольника аЬс рядом прямых, параллельных какой-нибудь стороне треугольника, например ас строим в плоскости треугольника АаВоСц соответственные им прямые. Для этого сторону AqBq делим на отрезки, пропорциональные отрезкам стороны аЬ треугольника проекции, и через точки деления проводим прямые, параллельные прямой ЛоСо. На параллельных прямых, лежащих в плоскости подобия, строим кривую подобия по отдельным ее точкам. В качестве примера рассмотрим построение точек //о и ///о, соответствующих точкам 2 1 3. Отмечаем точки 4 5 п соответствующие им точки /Vo и Уо на сторонах базисных треугольников, строим точки //о и ///о, делящие отрезок /Vo—Vq в том же отношении, в каком точки 2 и [c.34]

Решение этой задачи принципиально ничем не отличается от решений предыдущих задач данной главы. Следует только учесть то обстоятельство, что заданная горизонтальная проекция aibi id и натуральная величина искомого четырехугольника AB D абсолютно произвольными быть не могут. Они должны аффипно соответствовать друг другу. Это условие — единственное, но без него задача не имеет решения. Некоторые способы построения аффинно-соответственных фигур уже иллюстрировались чертежами. [c.46]

Рассматриваемая фигура AIBII 1II и фигура, ей подобная, аффинно соответствуют друг другу. Фигура, подобная рассматриваемой, и горизонтальная ее проекция находятся в таком же соответствии. В проективной геометрии доказывается если две фигуры порознь аффинно соответствуют третьей фигуре, то они тоже аффинно-соответственны. Поэтому горизонтальная проекция фигуры, подобной рассматриваемой, [c.47]

На рис. 57 изображена цилиндрическая поверхность с произвольным очертанием ее горизонтального следа. Таким образом, искомое сечение должно аффинно соответствовать следу поверхности. То же самое можно сказать и о плоскостях, в которых лежат упомянутые фигуры. Афинное соответствие плоскостей, как известно, вполне точно и однозначно устанавливается парой соответственных треугольников. [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...