Хаара мера

Хаара мера 159, 164 Характеристическая функция 37 Хопфа расслоение 158 [c.238]

Локально компактные группы. Это такие Г., в к-рых каждый элемент обладает компактной окрестностью. Этот класс Г. очень широк он содержит все дискретные и все компактные Г., а также все конечномерные группы Ли (см. ниже). Характеристическим свойством локально компактной Г. является наличие инвариантной меры на ней (т. н. меры Хаара). К классу локально компактных относится большая часть Г., используемых в физике. [c.542]

Меры Хаара на и совпадают с мерами-произведениями и 1/JV)- Немного изменяя наши предыдущие обозначения для мер Ха- [c.167]

Предположим далее, что группа G унимодулярна, т. е. на ней существует локально конечная борелевская мера, инвариантная по отношению к левым и правым умножениям (сдвигам) одновременно. Пусть Г с G является решеткой в G (см. П 8). Так как правые сдвиги на G коммутируют с левыми сдвигами, они определяют преобразования Г С. Так как группа G унимодулярна и Г — решетка, правые сдвиги на Г С сохраняют конечную меру Хаара на Г С. Полученное таким образом преобразование Т Г С - Г С обычно называют сдвигом на однородном пространстве однопараметрическая группа таких сдвигов обычно называется потоком на однородном [c.240]

Другой класс динамических систем с четко выраженной алгебраической структурой представлен растягивающими линейными отображениями окружности ( 1.7), а также автоморфизмами и эндоморфизмами торов ( 1.8). В силу единственности вероятностной меры Хаара на коммутативной компактной группе любой автоморфизм такой группы сохраняет эту меру и эндоморфизм умножает ее на константу. В последнем случае мера Хаара все еще инвариантна в смысле определения, приведенного в конце п. 4.1 б. В упражнении 17.1.2 рассматривается интересный пример автоморфизма компактной коммутативной группы, отличной от тора. [c.241]

Пусть О — группа Ли, х —мера Хаара и Г — равномерная решетка. Покажите, что если Р 0- 0 — такой автоморфизм, что (Г) = Г, то Р,х = Х- [c.545]

Покажите, что любая мера Хаара на группе Гейзенберга пропорциональна элементу объема <1х 1у йг. [c.545]

Неравномерная решетка — это такая решетка, для которой однородное пространство некомпактно, но тем не менее имеет конечную меру Хаара. Самый простой, но исключительно важный пример, в особенности для теории чисел, — это подгруппа 5Ь(2, X) всех целочисленных матриц в группе ЗЬ(2, К) (2 х 2)-матриц с определителем единица. Этот факт обобщается на высшие размерности 8Г(п,2) является неравномерной решеткой в ЗЬ(п,К). [c.719]

Используйте представление a-jf как группового автоморфизма (см. п. 4.2 ж) и тот факт, что однородная мера Бернулли является мерой Хаара, и рассмотрите действие соответствующего унитарного оператора 7, на характерах. [c.742]

Упражнение 17.3.2 показывает, что отображение F сохраняет меру Хаара, так что согласно упражнению 17.3.3 его определитель равен единице, а это в силу упражнения 17.3.1 означает, что 7 = 1. [c.750]

Матричные элементы присоединенного представления группы Ли G играют важную роль во многих разделах теории представлений. Как будет видно из дальнейшего, они связывают между собой инфинитезимальные операторы левых и правых сдвигов на G, через них выражается весовая функция инвариантной меры Хаара на G. Для полупростых групп Ли с их помощью строятся старшие векторы неприводимых представлений, полностью определяющие структуру пространства представления G. [c.58]

Здесь dg — (нормированная) мера Хаара на О, а аф — мера Лебега на Тн- Легко видеть, что о1 = 11 11- Окончательно для Р е мы полагаем [c.19]

Следствие 1. Если группа С унимодулярна, то фазовый поток системы (3.3) сохраняет меру Хаара на С. [c.164]

Снабдим это множество структурой линейного векторного пространства над полем комплексных чисел, задав на нем обычные законы композиции комплексных функций. Однако инволюцию мы определим соотношением Г(д) = (д ) А(д ), где Д (д) — действительная положительная функция, определяемая соотношением с/ц = Л (Л) с/ц ( ) и называемая модулярной функцией на группе О относительно левоинвариантной меры Хаара ц. Наконец, введем на группе свертку [c.221]

Пусть М есть от-мерный тор с мерой Хаара, Г—групповой сдвиг. В аддитивной записи Тх= , Хт+ т) Для х= х, ...,хт), где сложение понимается по модулю 1. Тогда Т эргодичен, если числа 1, ai,, От линейно независимы над полем рациональных чисел. [c.25]

Более общим образом, М есть коммутативная компактная группа, (А—мера Хаара на М, Т—групповой сдвиг, т. е. Tx = x+g, geM. Через % обозначим характеры группы G(ra = 0, 1, 2,... Хо=1). Тогда Т эргодичен, если 1п )Ф ни при каком пфО. При этом же условии Т строго эргодичен и минимален. [c.25]

Хаара мера 216 Характер группы 269 Хаусдорфово пространство 78 [c.420]

Для вычисления форм Э/ можно воспользоваться любой матричной реализацией группы G матричная 1-форма g dg левоппварпантна, а её коэф. являются левоинвариантными скалярными 1-формами, из к-рых и выбирается искомЫ11 базпс. Напр., полная матричная группа GL n, R) упимодулярна и мера Хаара на ней задаётся формой (det g)- А dg j. [c.137]

В случае когда ф --постоянная функция, является едннстоенной инвариантной мерой, максимизирующей энтропию (ф = 0 и ф имеют одно и то же равновесное состояние). Для гиперболического автоморфизма двумерного тора является мерой Хаара, а конструкция 4.1 принадлежит Адлеру и Вейсу [1], Эта статья играет важную роль в развитии предмета к хорошо читается. Еслн = ь С, мера t максимальной энтропией все же имеет следующий геометрический смысл периодические точки па Й равномерно распределены относительно [5]. К. Зигмунд [19] рассмотрел типичные свойства мер па i2j. [c.90]

Пусть G — компактная метрнзуемая абелева группа. Существует единственная борелевская вероятностная мера Лд, инвариантная относительно всех умножений L д д д. Эта мера называется мерой Хаара. Для тора Т" мера Хаара — это обычная мера Лебега. Мы докажем следующий статистический аналог предложения 1.3.4. [c.157]

Предложение 4.2.3. Если сдвиг L на компактной метризуе-мой абелевой группе G эргодичен относительно меры Хаара Ад, то он строго эргодичен. [c.157]

В этом параграфе мы рассматриваем группы, снабженные топологией, инвариантной относительно групповых операций. Топологическая группа — это группа с такой топологией, что все левые сдвиги g - ддд, правые сдвиги д -> дд к отображение 31- д являются гомеоморфизмами. Хорошо известные элементарные примеры — это К" с операцией сложения, окружность и тор. В этих случаях групповые операции, очевидно, являются диффеоморфизмами. Другие важные примеры включают группы матриц относительно умножения, напрнмер ОЦп, ), 5Ь(п,К) и другие группы, описанные после определения П 3.1. Топологическая группа называется локально компактной, если любая точка (или, что эквивалентно, единичный элемент) имеет окрестность, замыкание которой компактно. На такой группе имеется единственная с точностью до скалярного множителя локально конечная борелевская мера, инвариантная относительно правых сдвигов, которая называется правой (илн правоинвариантной) 1 мерой Хаара. Аналогичным образом, левая (илн левоинвариантная мера Хаара — это единственная с точностью до скалярного множителя борелевская мера, инвариантная относительно всех левых сдвигов. Эти меры конечны тогда и только тогда, когда группа компактна. Наиболее интересны и важны для нас ситуации, когда правоинвариантная мера Хаара является также и левоинварнантной. Это имеет место для всех коммутативных групп, компактных групп и, что особенно важно, для унимодулярных линейных групп, т. е. замкнутых подгрупп группы ЗЦп, К) всех (п х п)-матрнц с определителем единица. Группы, для которых левая и правая меры Хаара совпадают (и естественно называются просто мерой Хама), называются унимодулярными, и мы будем обсуждать только такие группы. [c.719]

Подгруппа Г группы О называется дискретной, если она замкнута и все ее точки изолированы в С. В этом случае однородное пространство С/Г орбит д еТ (соответственно пространство Г С, орбит Ьд Т), называется правым (соответственно левым) фактором С по Г. Еслн один из этих факторов (а следовательно, и другой) компактен в топологии факторпространства, Г называется равномерной нли кокомпактной решеткой. Нетрудно видеть, что для равномерной решетки любая правая (соответственно левая) мера Хаара по О проектируется в конечную борелевскую меру на однородном пространстве С/Г (соответственно Г С). Более общим образом, дискретная подгруппа Г называется решеткой в С, еслн правая мера Хаара на С проектируется в конечную меру на С/Г. [c.719]

Кроме того, по ходу развития самого метода интегрирования зачастую возникала потребность в специальном исследовании ряда разделов теории Ли, что привело, в частности, к новому способу упорядочения корней простых алгебр Ли и асимптотическому методу в теории представлений некомпактных групп Ли [50]. Благодаря этому удалось получить явные выражения для многих алгебраических и групповых величин теории, таких, как, например, мера Хаара на компактных группах и старшие векторы их неприводимых представлений, инфинитезимальные и инвариантные операторы, векторы Уиттекера и мера Планше-реля полуиростых групп Ли, сплетающие операторы и другие. Многие из этих результатов, полученных сравнительно недавно и не нашедших пока отражения в литературе (помимо оригинальных статей), существенным образом используются при изучении нелинейных динамических систем. [c.10]

Из анализа структуры системы положительных корней простых алгебр Ли (см. табл. II) следует существование такого упорядочения, при котором каждый суммарный корень располагается между своими составляющими. Фиксированное этим принципом расположение корней (вообще говоря, не единственное) будем называть Е+-упорядочением. Оно обладает следующим важным свойством. Именно, совокупность положительных (отрицательных) корней, расположенных правее любого наперед взятого корня в S+, и отрицательных (положительных) корней, расположенных левее его, образует корневую систему подалгебры . (Действительно, из определения S+-yno-рядочения с очевидностью вытекает, что сумма р 7 е / + любых двух положительных Р и 7 корней, лежащих левее некоторого корня а, расположена между р и v и, следовательно, левее ос.) Это упорядочение играет выделенную роль среди других способов расположения корней (не только по причине наиболее жесткой их фиксации). Оно обладает целым рядом замечательных особенностей, в частности, как мы увидим в дальнейшем, приводит к универсальной параметризации элементов всех компактных простых групп Ли Ж в обобщенных углах Эйлера, которая позволяет довольно просто получить факторизованные по этим углам выражения для инвариантной меры Хаара на Ж, старших векторов их неприводимых представлений, и т. п. [c.33]

Таким образом, для эффективного использования в приложениях метода гармонического анализа необходимо знать в явном виде основные ингредиенты формул (5.1) — (5.4), т. е. матричные элементы конечных преобразований основных серий унитарных представлений О, инвариантную меру Хаара на Ь и меру Планшереля. В ряде случаев для информации об отдельных свойствах физической системы оказывается достаточной формулировка метода, в которой зависимость от квантовых чисел Ж) просу.ммирована, в частности, — спектральный состав разложения единицы , т. е. (5.3) в виде [c.103]

Напомним, что на каждой компактной группе имеется единственная (с точностью до множителя) биинвариантная мера, которая называется мерой Хаара [61]. Инвариантую меру системы (2.10) можно также представить в виде интеграла [c.159]

Напомним, что на каждой группе Ли имеется единственная (с точностью до постоянного множителя) мера, инвариантная при всех левых (правых) сдвигах. В случае унимодулярной группы эта мера (называемая обычно мерой Хаара) биинвариантна. Аналитический критерий унимодулярности заключается в выполнении следующих соотношений для структурных постоянных алгебры Ли [c.164]

Напомним прежде всего, что фундаментальным свойством локально компактных групп является существование левоинва-риантной меры, единственной с точностью до постоянного множителя (очевидно, что существует также правоинвариантная мера, единственная с точностью до постоянного множителя). Эта мера, называемая мерой Хаара, конечна [т. е. ц (G) < оо] в том и только в том случае, если группа G компактна. Для компактной группы G интеграл по мере Хаара ц [c.216]

Предложение. Пусть G — локально компактная группа и — мера Хаара на ней. Тогда G усреднима, если для каждой [c.219]

Предложение. Локально компактная группа С с заданной на ней мерой Хаара усреднима в том и только в том случае, если для всякого компактного множества К и любых чисел е, 6> О существует компактное множество и изме- [c.220]

Поясним сказанное примером. Рассмотрим гильбертово про странство 2 [О) всех ц-измеримых функций на С, интегрируе мых с квадратом по мере Хаара. Для каждой функции Ф из 2 (О) и любого элемента определим элемент и Ф про- [c.222]

М—коммутативная компактная группа, (i—мера ХаарЗ на М. Если Т — групповой сдвиг на М, т. е. преобразование вида Tx=x+g x,g M, то мера ц инвариантна относительно Т. Это следует непосредственно из определения меры Хаара (А. Haar). [c.12]

Пусть теперь Т — групповой эндоморфизм группы М, т. е., такое однозначное непрерывное отображение М на себя, что-T(xj+X2) =Txi + Tx2 для всех хихгбм. В этом случае из единственности меры Хаара р, на ЛГ вытекает, что ji. инвариантна относительно Т. [c.12]

По-прежнему, М есть /п-мерный тор с мерой Хаара, Г — юднопараметрическая группа сдвигов, т. е. Т х= ... -.., Xm- -a.mt) Иногда такой поток называется условно-периодическим, или условно-периодической обмоткой тора. Поток Г эргодичен, если ai,..., От линейно независимы над полем рациональных чисел. [c.26]

Групповой автоморфизм. Пусть ЛГкоммутативная компактная группа, ц — нормированная мера Хаара, Т — групповой автоморфизм группы М. Через Т обозначим сопряженный автоморфизм, действующий в группе характеров М группы М по формуле Т у) х)=% Тх). Т эргодичен тогда и только тогда, когда из равенства (7 ) х=х при пФО вытекает, что х — тривиальный характер. В частности, если -М — т-мерный тор и Т задается целочисленной матрицей aij , то приведенное условие означает, что среди собственных значений llatjil нет корней из единицы. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...