Топологически инвариантные свойства

Предположим для определенности, что рассматриваются только динамические системы с конечным числом состояний равновесия и конечным числом предельных циклов. Тогда, очевидно, число состояний равновесия и число предельных циклов являются топологически инвариантными (т. е. остаются неизменными при всевозможных отождествляющих отображениях). Топологическими свойствами являются, например, также при наличии замкнутых траекторий их взаимное расположение, наличие (или отсутствие) кольцевых областей, сплошь заполненных замкнутыми Траекториями, наличие определенного числа состояний равновесия типа фокус и узел и др. С другой стороны, например, расстояние между состояниями равновесия и предельными циклами, точная форма замкнутых траекторий не являются топологически инвариантными свойствами, они могут изменяться при отождествляющих отображениях. [c.129]

Другой аспект качественного исследования разбиения на траектории в целом заключается в отыскании эффективных приемов илп методов качественного исследования, т. е. эффективных методов определения топологической структуры разбиения или тех и других топологически инвариантных свойств его при заданных конкретных правых частях динамической системы ). [c.133]

I. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя- [c.410]

Топологически инвариантные свойства 412 [c.914]

Свойства сферы, сформулированные в последней теореме, топологически инвариантны, т. е. сохраняются при всех топологических отображениях сферы. [c.548]

Ключевая идея контурной динамики заключается в идеализации, основанной на замене реальных непрерывных распределений полей плотности и завихренности такими распределениями этих полей, которые, оставаясь в ходе эволюции топологически инвариантными объектами, обладают особыми динамическими свойствами. Эти свойства подразумевают, что уравнения движения для этих объектов можно сформулировать замкнутым образом в терминах специальных переменных, идентифицирующих только сам объект, игнорируя описание всей остальной жидкости. [c.181]

Свойство траектории быть особой или неособой является свойством топологически-инвариантным. Именно, имеет место следующая теорема [c.420]

Мы получили уравнения (6-4.37) и (6-4.38) из уравнений линейной вязкоупругости применительно к описанию поведения некоторых реальных материалов, выходящих и за пределы малых деформаций. Ввиду этого уравнения (6-4.37) и (6-4.38) описывают различное реологическое поведение, хотя они и эквивалентны в предельном случае малых деформаций (см. обсуждение, следующее за уравнением (6-3.1)). С другой стороны, уравнения такого же типа можно получить при рассмотрении простых одномерных моделей, включающих пружинки и амортизаторы , и соответствующем обобщении этих моделей на трехмерную форму относительных механических уравнений, инвариантных относительно системы отсчета. По-видимому, имеет смысл проиллюстрировать этот метод, который оказывается полезным для понимания топологических свойств получающихся функционалов. [c.239]

Сплавы с аморфной структурой привлекают к себе внимание, с одной стороны, как материалы с уникальным комплексом свойств, а с другой — как объект для изучения структуры и свойств неупорядоченных сред. Аморфное состояние — предельный случай термодинамической устойчивости кристаллической решетки металлов [426]. Общее для этих двух крайних состояний (кристаллическое и аморфное) — наличие ближнего порядка. Он является характеристикой топологического (расположение атомов в пространстве независимо от их сорта) и композиционного (распределение атомов различного сорта) упорядочения. Со времени открытия аморфных металлических материалов произошла значительная эволюция представлений о структуре аморфного состояния — от предположения об абсолютной неупорядоченности аморфной структуры до представления о локальной упорядоченности (ближний порядок, микрокристаллическое строение), не идентифицируемой существующими методами структурного анализа. Наконец, установлена масштабная инвариантность аморфных структур в широком диапазоне пространственных масштабов. [c.269]

Как уже отмечалось выше, объектом описания теории фракталов являются самоподобные множества дробной топологической размерности. Наряду с наличием дробной размерности одним из наиболее значимых свойств фракталов является их самоподобие, т. е. локальная инвариантность относительно полугруппы (для регулярных фракталов дискретной полугруппы) дилатаций (сжатий) с параметром X. регулярных фракталов зто точное свойство, для [c.28]

Теория динамических систем является фундаментальной математической дисциплиной, тесно связанной с большинством основных областей математики. Ее математической сердцевиной является изучение глобальной структуры орбит отображений и потоков, в особенности свойств, инвариантных относительно замен координат. Понятия, методы и представления теории динамических систем существенно стимулируют исследования во многих других отраслях знания, что уже привело к появлению обширной новой науки, называемой прикладной динамикой (а также нелинейной динамикой или теорией хаоса). Теория динамических систем включает несколько основных дисциплин, но мы рассматриваем в первую очередь конечномерную дифференциальную динамику. Эта теория тесно связана с рядом других дисциплин, в особенности с эргодической теорией, символической динамикой и топологической динамикой. До сих пор не существовало достаточно полного изложения дифференциальной динамики, в полной мере отражающего взаимосвязи с этими областями. Данная книга представляет собой, попытку заполнить этот пробел. Она содержит последовательное и исчерпывающее описание основ теории гладких динамических систем, а также связанных с этой теорией областей из других разделов динамики как фундаментальной математической дисциплины. В то же время исследователи, заинтересованные в приложениях, смогут найти здесь описание нужных им методов и представлений. Данная книга содержит введение и последовательное развитие центральных понятий и методов теории динамических систем и их приложения к широкому и разнообразному ряду тем. [c.12]

Мы уже встречались с такими свойствами, связанными с наличием некоторого возвраш ения траекторий, как топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2). Топологический тип замыкания множества Рег(/) всех периодических точек представляет собой другой инвариант того же типа. Кроме того, из определения 1.6.2 нам известны понятия ш-пре-дельного и а-предельного /-инвариантного множества х для каждой точки X. Некоторые инварианты топологического сопряжения можно получить, изучая топологический тип совокупности а-и w-предельных множеств например, топологическая транзитивность эквивалентна тому факту, что одно из этих множеств содержит все пространство. Объединение всех а-или w-предельных множеств не обязано быть замкнутым. Топологический тип [c.138]

Каждое измеримое множество, рассматриваемое в малом масштабе, сконцентрировано точнее говоря, оно заполняет некоторые маленькие шары или кубы почти полностью и практически не пересекается с другими, потому что это множество может быть аппроксимировано сколь угодно хорошо (по мере) конечными совокупностями кубов. Зафиксируем инвариантное множество А и число е > О и найдем такой маленький куб Л, что Л(Л П Л) > (1 — е)Л(Л). Образы Д под действием итераций нашего отображения обладают тем же свойством, поскольку и мера А, и множество А инвариантны. Так как наше отображение является изометрией, любой образ А представляет собой куб того же размера. В силу топологической транзитивности можно найти совокупность образов, покрывающих все фазовое пространство почти равномерно, без большого числа перекрытий. Для завершения доказательства достаточно установить, что каждая точка покрывается не более, чем N раз, где N не зависит от е, потому что в этом случае мера множества А превосходила бы 1 — Так как е может быть выбрано произвольно малым, мы заключаем, что множество А имеет полную меру. [c.159]

В предыдущих параграфах мы видели, что основные свойства, связанные со статистическим поведением орбит, а именно наличие возвращения для почти всех относительно инвариантной меры точек, эргодичность, строгая эргодичность и перемешивание, могут рассматриваться как более сильные количественные аналоги качественных свойств, описывающих возвращение, а именно возвращения орбит, топологической транзитивности, минимальности и топологического перемешивания соответственно (см. предложение 4.1.18 и замечание после определения 4.2.8). Теперь рассмотрим статистический аналог глобального инварианта скорости роста орбит — топологической энтропии. Это число называется энтропией сохраняющего меру преобразования или энтропией относительно инвариантной меры (см. определения 4.3.7 и 4.3.9). В случае эргодической меры энтропия может быть определена, подобно ее топологическому аналогу, как показатель экспоненциальной скорости роста числа статистически значимых отрезков орбит, различимых с произвольно хорошей, но конечной точностью ]. [c.170]

Связь между понятиями топологической энтропии и энтропии относительно инвариантной меры более полна и точна, чем для таких пар понятий, как рекуррентность орбит — типичное относительно инвариантной меры возвращение, топологическая транзитивность — эргодичность, минимальность — строгая эргодичность, топологическое перемешивание — перемешивание. Для этих случаев данная связь односторонняя статистическое свойство влечет топологический аналог, но, вообще говоря, не наоборот. В случае энтропий связь между ними описывается вариационным принципом (теорема 4.5.3), который утверждает, что топологическая энтропия непрерывного отображения равна точной верхней грани энтропий этого отображения по всем инвариантным мерам. Таким образом, не только статистическое свойство (скажем, положительность энтропии относительно инвариантной меры) влечет топологический аналог (в этом случае положительность топологической энтропии), но и наоборот, из положительности топологической энтропии следует существование инвариантной меры с положительной энтропией (это свойство представляет собой количественное усиление теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1 для случая отображений с положительной топологической энтропией). [c.170]

В п. 3.2 д было отмечено, что в большом количестве случаев экспоненциальный рост числа p(f) периодических орбит равен топологической энтропии /ц р(/). В 18.5 мы покажем, что равенство величин p f) и — общее свойство динамических систем с гиперболическим поведением. Для более общих классов систем периодические орбиты могут не быть изолированными, так что можно ожидать лишь неравенства p(f) Наша главная цель теперь состоит в том, чтобы показать, что для отображений отрезка топологическая энтропия в самом деле является нижней границей скорости роста числа периодических орбит. Кроме того, мы покажем, что энтропия аппроксимируется энтропией инвариантных множеств, подобно тому как это происходит в теореме 15.1.5. Условимся, что в дальнейшем слово интервал может означать одну точку, а также собственно интервал, полуинтервал или отрезок. [c.496]

В этой части книги мы построим систематическую теорию локально максимальных (базисных) гиперболических множеств для гладких динамических систем (см. определения 6.4.1 и 6.4.18). Мы будем исследовать и топологические, и метрические свойства сужений динамических систем на такие множества либо на их окрестности, а также и стохастические свойства различных важных инвариантных мер с носителями на локально максимальных гиперболических множествах. [c.532]

В п. 5.4 е были установлены некоторые свойства геодезических потоков на компактных факторах гиперболической плоскости, характерные для систем с гиперболическим поведением, а именно плотность периодических орбит, топологическая транзитивность и эргодичность относительно гладких инвариантных мер. Теперь мы хотим показать, что геодезический поток на компактном факторе гиперболической плоскости является потоком Аносова. Будем использовать обозначения из 5.4. Рассмотрим геодезический поток на компактном факторе т полуплоскости Н, т. е. геодезический поток на поверхности т, полученной в результате факторизации Н по такой дискретной группе изометрий без неподвижных точек Г, что фактор Г И компактен так как пространство т локально изометрично Н, мы получаем, используя предложение 5.4.13 и компактность т, следующую теорему. [c.549]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

Определение VI. Топологическим качественным) свойством разбиения области С, на траектории или множества траекторий или тчкжг топологическим инвариантом разбиения на траектории называется свойстзо или величина, остающиеся инвариантными при всевозможных отождествляющих отображениях. [c.128]

Фракталами называют самоподобные объекты, инвариантные относительно локальных дилатаций, т.е. объекты, которые при наблюдении при различных увеличениях повторяют один и тот же (самоподобный) рисунок. Фракталы обладают также свойством универсальности. Слово "универсальный" означает "всеобъемлющий", а самоподобный означает подобный сам себе (подобно матрешкам, вложенным друг в друга). Понятия универсальность и самоподобие с развитием синергетики и теории фрактальных структур получили новую жизнь, так как принципы синергетики и фрактальной геометрии объединяют все науки. Универсальность фракталов заключается в том, что они инвариантны к природе объекта - физической, химической, биологической или какой-либо другой. Свойство универсальности фрактальных структуф позволяет использовать фрактальную размерность как единую количественную меру разупорядоченности структуры различной природы. В материаловедении традиционно используется евклидова размерность d, позволяющая описывать точечные дефекты размерностью d=0, отрезки прямых линий - d=l, плоских элементов - d=2, объемных - d=3. Однако, природа изобилует объектами с дробной размерностью, т.е. не отвечающей ни одной из указанных значений. Их структура может быть количественно оценена фрактальной размерностью, которая в силу того, что объект разрежен, всегда больше топологической размерности. [c.77]

Очевидно, что компонентные и топологические уравнения в системах различной физической природы отражают разные физические свойства, но могут иметь одинаковый формальный вид. Одинаковая форма записи математических соотношений позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных и топологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических поступательных, механических вращательных, электрических, гидравлических (пневматических), тепловых объектов. Наличие аналогий приводит к практически важному выводу значительная часть алгоритмов формирования и исследования моделей в САПР оказывается инвариантной и может быть применена к анализу проектируемых объектов в разных предметных областях. Единство математического аппарата формирования ММС особенно удобно при анализе систем, состоящих из физически разнородньпс подсистем. [c.88]

Использование методов традиционной статистической физики для описания стохастизации световых пучков под влиянием случайных неоднородностей или в результате проявления нелинейного лучевого резонанса не всегда приводит к исчерпывающим результатам. Это во многом связано с тем, что статистические методы не учитывают свойства масштабной инвариантности (скейтлинга), которыми при определенных условиях могут обладать амплитудно-фазовые распределения или лучевые структуры световых пучков. Указанный пробел восполняет применение фрактальных моделей. В математике фрактал представляет собой множество точек в метрическом пространстве, для которого невозможно определить какую-либо из традиционных мер с целой размерностью -длину, площадь или объем (их размерности - соответственно первая степень, квадрат и куб длины). Измерение, например, длины фрактальной кривой может дать бесконечный результат, а заметаемой ею площади -нулевой. Задача измерения таких множеств решается введением мер Хаусдорфа с любой (в том числе нецелой) размерностью. Наибольшая размерность меры Хаусдорфа называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (РХБ) этого множества. Используя эти представления фрактал можно определить, как масштабно-инвариантный, т.е. самоподобный объект, РХБ которого превышает топологическую размерность (1 - для линии, 2 - для поверхности и т.д.). [c.120]

Книга представляет собой сборник переводов недавних работ известного американского математика. В них исследуются топологические и метрические свойства классических динамических систем, удовлетворяющих условию гиперболичности (пернолические траектории, энтропия, инвариантные меры). Исследование проводится методами символической динамики, иитенсивно развивающимися в последнее десятилетие. Теория, излагаемая в книге, интересна своими связями с различными задачами дифференциальных уравнений, эргодической теории, статистической физики. [c.4]

Замечание. Еще одио определение топологической энтропии можно получить, еслн мы будем оценивать разнообразие траекторий рассматриваемой динамической системы при помощи понятия 8-энтропии (подробнее см. [6]). Известно также, что асимптотические свойства е-энтропии связаны с хаусдорфовой размерностью пространства. В этой связи представляет интерес следующее утверждение. Пусть X — замкнутое подмножество в пространстве 2 односторонних т-ичных последовательностей, инвариантное относительно гомеоморфизма сдвига о. Обозначим через М образ X прн обычном отображения ф 2т- [О, определяемом равенством [c.200]

Таким образом, мы показали, что типичное поведение относительно инвариантной меры является статистическим аналогом рекуррентности, эргодичность — аналогом топологической транзитивности, а строгая эргодичность — минимальности. Очень важно подчеркнуть, что утверждения, обратные к любому из утверждений предложения 4.1.18, неверны, даже если предположить дополнительно, что / — диффеоморфизм компактного многообразия. Другими словами, вообще говоря, замыкание объединения носителей всех /-инвариантных мер может быть меньше, чем замыкание множества всех рекурентных точек отображения, топологически транзитивное отображение может не иметь эргодической меры с полным носителем (т. е. меры, положительной на всех непустых открытых множествах) и минимальное множество может быть носителем более чем одной инвариантной меры. Однако, хотя соответствующие контрпримеры не могут быть названы патологическими, они все же должны рассматриваться как несколько нетипичные. (См., например, упражнение 4.1.9 и следствие 12.6.4.) Так, мы покажем, что для всех примеров из гл. 1 имеет место естественное соответствие между топологическими и статистическими свойствами. [c.153]

Второе направление имеет дело с описанием (или вычислением) основных асимптотических инвариантов различных классов систем, а также систем из конкретных примеров. Среди этих инвариантов можно указать на скорость роста числа периодических орбит, топологическую энтропию, гомотопические и гомологические свойства, свойства возвращаемости и статистические свойства, выражающиеся через различные свойства инвариантных мер. [c.385]

Аттракторы и наборы Морса. Замкнутое инвариантное множество А топологической ДС называется аттрактором (буквально — притягивателем ), или асимптотически устойчивым множеством, если оно обладает следующими свойствами [c.206]

Нашей конечной целью является построение семейства решений уравнения (1), исследование которого можно проводить методами символической динамики. Поскольку, однако, в предыдущей части речь шла лишь об отображениях, первым нашим шагом должно быть построение секущей поверхности в смысле Пуанкаре и соответствующего отображения (функции последования) 5. При этом используются лишь самые общие свойства функции Я, сформулированные ниже как основные предположения . При выполнении еще и дополнительных предположений для отображения 5 удается построить инвариантное множество достаточно сложной структуры, на котором действие 3 изоморфно топологической марковской цепи . Переходя обратно от отображения 3 [c.73]

Хорошо известно, что эта конструкция корректно определена, инвариантна относительно сохраняющих ориентацию топологических сопряжений и обладает следующим свойством. (Ср. Коддингтон и Левинсон или де Мело и ван Штриен и см. задачу 15-d.) [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...