Отображение гладкое

Рис. 5.2. Векторы Аг, Рис. 5.3. Отображение гладкой кривой г = z(t) при

Аналогично определяется многообразие Р М, N) fe-струй отображений гладкого многообразия М в гладкое многообразие N. [c.14]

В. Поведение дифференциальных форм при отображениях. Пусть / М —> N — дифференцируемое отображение гладкого многообразия М в гладкое многообразие N п ы — дифференциальная к-форма на N (рис. 149). [c.160]

Определение 6.6.2. Отличный от нуля член с х , входящий в выражение для г-й координаты, обязанный своим происхождением наличию резонанса = Л, называется резонансным членом. Под нормальной формой отображения понимают отображение, гладко эквивалентное /, степенной ряд которого содержит только линейные и резонансные члены. [c.286]

Предположим, что отображение / - -гладко, /(0) = О и линейная часть [c.292]

Полиномы Тома для отображений гладких многообразий [c.198]

Рассмотрим отображение гладкого многообразия в симплектическое пространство. Такое отображение называется изотропным, если оно индуцирует нулевую форму из симплектической структуры. [c.150]

К -отображения гладких регулярных локальных участков всех типов поверхностей Д и) (см. рис. 7.13) представляют собой точки, по-разному расположенные в разрешенной области плоскости координат К.д(и)К.д(и) - на граничной прямой к = к2 и ниже нее. [c.384]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Пусть п = , / (1,1) = 1, / (1, 2) = 1, S (1, 1) = 1 и s(l, 2) = 2. Соответствующее этому случаю отображение схематически изображено на рис. 7.77. Оно может быть гладко расширено на всю плоскость, как, опять же схематически, показано на рис. 7.78. При таком расширении [c.336]

Условие (7.97) можно выполнить, если в отображениях Ьц в качестве функции -ф (у) взять кусочно-гладкую функцию такую, что график функции ( ), где = имеет вид, изображенный на рис. 7.82. [c.339]

Для гладкого отображения Т условие (7.97) не выполняется. В связи с этим у отображения Т возможны устойчивые установившиеся дви-жения. В некоторых случаях это так и есть, но, по-видимому, возможны и случаи, когда таких движений нет. Во всяком случае, если они и есть, то их области притяжения необычайно малы и их не удается обнаружить путем численного счета на ЭВМ. [c.340]

Т отрезок кривой у перейдет в отрезок кривой у с уравнением V = v "9 (к "и). При возрастании т в зависимости от того, однозначна функция <р или многозначна, возможны два разных случая. В первом случае последовательные отображения отрезка у составляют гладкую кривую, входящую в точку Oj, касающуюся оси t = О (рис. 7.108). [c.363]

При гладкой зависимости правых частей уравнений (7.104) от параметров X и ц и переменных хну точечное отображение и сепаратрисные кривые и S7 также гладко зависят от параметров X и j, и сами кривые и 5Т являются гладкими. [c.371]

Замечательно, что не только значения б и а, но и предельный вид самого бесконечно кратно итерированного отображения оказываются в определенном смысле независящими от вида начального отображения j /+i = f (j , >-) достаточно, чтобы зависящая от одного параметра функция /(х I) была гладкой функцией с одним квадратичным максимумом (пусть это будет в точ- [c.175]

В силу предположенных свойств допустимых функций /(х), функция g x) должна быть гладкой и иметь квадратичный экстремум в точке л = 0 никакого другого следа от конкретного вида f(x) в уравнении (32,13) или в налагаемых на его решение условиях не остается. Подчеркнем, что после произведенных при выводе масштабных преобразований (с сст > 1) решение уран-нения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной х от —оо до +оо (а не только на интервале —1 s 1). Функция g(x) автоматически является четной по х она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций f(x) имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций. [c.176]

Отметим, как это следует из теоремы Римана, что конформное ото бражение многосвязной области на односвязную невозможно, а допустимо отображение друг на друга только областей одинаковой связности. Например, область S, ограниченную двумя замкнутыми гладкими контурами, можно всегда однолистно отобразить на круговое кольцо, отношение радиусов граничных окружностей которого должно быть определенной величины, зависящей от вида области S. [c.170]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Соотношение (5.16) показывает (см. рис. 5.3), что аргумент производной аналитической функции равен углу, на который поворачивается гладкая кривая С при ее отображении с помощью аналитической функции г/у = ш (г). Но угол а не зависит от вида кривой С и ее направления в точке г. Следовательно, все кривые, проходящие через точку г, поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол а, в силу чего угол пересечения любых двух кривых, проходящих через точку z, сохраняется. Как видим, отображение с помощью аналитической функции обладает свойством сохранения углов по величине и направлению в точках, где производная отлична от нуля. [c.184]

Обозначим через (U, W) пространство г-гладких отображений и в W. [c.14]

Слабая теорема трансверсальности для областей пространства R". Пусть С — гладкое подмногообразие в В пространстве 0(11, W) всюду плотное счетное пересечение открытых множеств образуют. отображения [c.14]

Пусть М и N — гладкие многообразия (или области в векторных пространствах). С каждым отображением связано его k-струйное расширение f М- Р(М, N)-, точке х из М сопоставляется fe-струя отображения / в точке х. [c.15]

М Множество особых точек полей семейства имеет вид. (х, e) v x, е)=0 . По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого —6 — некритическое значение отображения v. Множество v x, е)=—6 —гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v х, е) +6. [c.15]

Проектирование построенного многообразия равновесий на пространство параметров является гладким отображением. Теория особенностей гладких отображений (в частности, проекций) доставляет классификацию критических точек типичных отображений (а следовательно, и бифуркаций положений равновесия в типичных семействах). [c.15]

Рассмотрим окрестность автоквадратного отображения G в подходящем функциональном пространстве отображений области Dr в себя. Эта окрестность расслоена на орбиты действия группы аффинных замен переменных (точнее, разбита на классы аффинно эквивалентных отображений допуская вольность речи, будем называть эти классы орбитами , хотя они представляют лишь куски орбит). Орбита отображения G, как и близких к G отображений, — гладкое многообразие, размерность которого совпадает с размерностью аффинной группы пространства С". Поэтому окрестность отображения G факторизуется по действию аффинной группы пусть п — проектирование этой окрестности на соответствующее факторпространство. Оператор удвоения переставляет орбиты действия аффинной группы поэтому он опускается до оператора, действующего на факторпро-странстве. Точка яС является неподвижной для этого нового [c.84]

Ситуация по существу не меняется для дифференцируемых отображений гладких многообразий. Единственное отличие состоит в том, что вместо стандартной системы координат в R нужно использовать соответствующие локальные системы координат в окрестности точки и ее образа. Ту же идею можно выразить более инвариантным способом, описывая дифференциал Df отображения f М М как линейное отображение касательного пространства Т М в пространство Если / является диффеомор- [c.28]

Теорема Тома о существовании полиномов Тома. Пусть f — отображение гладких многообразий. Пространства ТМ, ТМ всех касательных векторов к этим многообразиям являются векторными расслоениями над М, Ы, а следовательно (см. п. 2.6.2), определяют элементы Штифеля—Уитни > 22), =0,1,..., т w, N)QW N, 22),/-0, 1,..., п. Отображение f позволяет поднять классы на М. Соответствующие классы f Wj(N) Wj(f TM) будем обозначать через - - - -------. - - [c.200]

Но на самом деле любое отображение гладких многообразий N- P можно рассматривать как проекцию его графика нз пря-Л10Г0 произведения NxP на базу Р. Классификация таких проектирований равносильна классификации отображений N- -P >с точностью до диффеоморфизмов образа и прообраза, то есть с точностью до si-эквивалентности. Даже коразмерности ростков соответствующих объектов в функциональных пространствах, как легко видеть, совпадают. Если же разрешить проектируемому подмногообразию иметь особенность, то мы тем самым получаем естественное распространение понятия л -эквивалент-ности на отображения многообразий с особенностями в гладкие. [c.42]

Возьмем подобласть со в й, как показано на рис. 1, и преобразу->м ее с помощью диффеоморфизма в цилиндрическую область (локальные отображения гладки и влияют лишь на константы в последующих в авенствах, что несущественно). [c.17]

В отличие от К-отображений гладких регулярных локальных участков поверхностей Д И), представляющих собой только различным образом расположенные в плоскости координат К,д и)К.д и) точки (см. рис. 7.13), К-отображение поверхности Д И) вцелом (см. рис. 7.15) представляет собой закрытый или открытый участок плоскости координат К,д(и)К.д и) только в частных случаях вырождающийся в линии или в точки. Этим К-отображение поверхности Д И) принципиально отличается от К-отображения ее локальных участков. [c.390]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые траектории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность а,, oj-, или oi2 отображается в какие-то другие поверхности о], ш/, (0/1 или (0/2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о/ в сод, будем обозначать через Т(а/- (О д). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкое. Это последнее утверждение следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений. [c.276]

Эти случаи соответствуют притягивающим гомоклини-ческим структурам, состоящим из двух седловых неподвижных точек с различным образом пересекающимися инвариантными кривыми. Соответствующие им отображения Т, так же как и в предыдущем случае, могут быть гладко распространены на всю плоскость. [c.338]

Для неподвижных точек достаточно гладкого в их окрестности точечного отображения справедливы следующие утверждения. В окрестности неустойчивой (устойчивой) узловой неподвижной точки существует заполняющее ее множество несамопересекающихся гладких выходящих [c.359]

Лемма Сарда и теоремы трансверсальности. Рассмотрим гладкое отображение f U- W. Точка-прообраз называется нерегулярной, если образ производной в этой точке — не все ка-сателньое пространство к образу [c.14]

Лемма Сарда. Множество нерегулярных значений гладкого отображения имеет лебегову меру нуль. [c.14]

Слабая теорема трансверсальности для многообразий. Пусть А — компактное многообразие и С — компактное подмногообразие в многообразии В. Тогда отображения f А- В, трансверсальные к С, образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех г-гладких отображений Ав В (r>max(dimfi—dim Л—dim С, 0)). [c.15]

Ч Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства U в R". Пространство / (f/, R") состоит из точек вида х, у. А), где xW, 6R", ЛеНот(К", R"). Образ фазового пространства V под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v x), dv/dx x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в P U, R"), состоящее из точек вида ((х, О, Л) оператор А имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п-Ь1 оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообще говоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше tt+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v(U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. > [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...