Метод разложения по волновым

Поскольку мы здесь рассматриваем лишь слабую пространственную дисперсию, чему и отвечает метод разложения по степеням волнового вектора, входящие в разложения типа (4.19) тензоры гу(ш), (ш) и т. д. определяются [c.203]

Что же касается возможности построения доказательства существования уединенных волн с помощью метода разложения по малому параметру, то было установлено Жерменом, что получающиеся ряды являются расходящимися и могут служить лишь для получения асимптотических формул [102]. Эти формулы дают возможность, однако, выявить главные черты изучаемого волнового движения. [c.643]

Этот же результат может быть получен классическим методом разложения решений волнового уравнения по сферическим функциям путем гораздо более громоздких выкладок.) [c.248]

Это позволяет при вычислении волнового сопротивления тела в сверхзвуковом потоке применять тот же метод разложения в тригонометрические ряды, что при расчете индуктивного сопротивления крыла конечного размаха по теории несущей линии. [c.330]

Общая формулировка метода. Одним из основных аспектов приложения теоретико-группового подхода к изучению динамических систем является метод гармонического анализа на группе (или на однородном пространстве с данной группой движения). В качестве обобщения классического анализа Фурье он оказывается особенно полезным и эффективным применительно к квантовым системам, у которых основными объектами выступают волновые функции и разложения по ним. Эти функции задаются на группе С (или на однородном пространстве), [c.101]

Дополнительный псевдопотенциал, возникающий вследствие внесения примеси, оказывается слабым возмущением по тем же причинам, по которым малы сами формфакторы. Различие же в потенциалах примесного и основного ионов в то же самое время может быть большим. Если, например, поместить в алюминий ион галлия, то разница в потенциалах будет настолько большой, что у волновой функции вблизи примеси появится дополнительный узел. Это соответствует тому обстоятельству, что галлий в качестве валентных имеет 45- и 4р-электроны, в то время как валентные электроны алюминия находятся в 35- и Зр-состояниях. Поэтому было бы неправильно рассматривать в качестве возмущения разницу в истинных потенциалах идеальной решетки и решетки с дефектом, так как фазы оказались бы больше я и разложение по ним было бы несправедливым. В методе же псевдопотеициала, с другой стороны, этот дополнительный узел учитывается процедурой ортогонализации и разница в псевдопотенциале оказывается действительно малой. [c.221]

И действительно, существует формальный способ построения асимптотических разложений по обратным степеням ш (или большого параметра, пропорционального ш) решений краевых задач для уравнений (2) и (6). Этот способ, впервые в простейшем случае указанный Зоммерфельдом и Рунге, получил впоследствии название лучевого метода. Главный член лучевых разложений содержит в себе не только лучевое описание волнового движения (собственно геометрическую оптику), но и дает амплитудные характеристики волны. [c.10]

В настоящей работе метод функционала плотности используется для описания волновых движений межфазной границы в жидкой многокомпонентной смеси. Из общей системы уравнений гидродинамики для изотермических течений, полученных ранее в [3] на основе функционала свободной энергии, выводится одно уравнение типа Шредингера, описывающее капиллярно-гравитационные волны. Излагается рекуррентная процедура построения решения методом разложения в ряд по малому параметру, имеющему смысл отношения толщины переходной зоны к длине волны. [c.145]

Казалось бы, что к ДОЭ, имеющим структуру с размерами деталей, сравнимыми с длиной волны, приближение геометрической оптики неприменимо. Однако при разложении поля дифрагированного света по порядкам дифракции оказывается, что каждый порядок в отдельности характеризуется достаточно плавным волновым фронтом, к которому можно применить это приближение. В связи с этим ДОЭ и оптические системы с ДОЭ будем рассматривать в основном в рамках геометрической оптики, используя там, где это необходимо, волновые методы решения задачи дифракции. [c.10]

Функции, по которым производилось разложение в методе Релея, сами удовлетворяют однородным волновым уравнениям. Мы находили эти функции разделением переменных и этим их свойством не пользовались. Однако, как будет показано в этой главе, в задачах, к которым метод разделения переменных неприменим, функции, в ряд по которым целесообразно разлагать искомые решения, можно определить именно из этого свойства, как собственные функции некоторых вспомогательных однородных задач. Ниже различным задачам дифракции сопоставим несколько таких однородных задач. Одному и тому же телу можно сопоставить различные системы собственных функций. Для каждой конкретной задачи дифракции один из возможных вариантов выбора этой системы дает наиболее удобное для исследования решение. [c.84]

Изложение некоторых математических методов решения уравнений Лапласа. Пуассона, волнового уравнения в призматических, цилиндрических и сферических областях. Подробно исследован, в частности, предложенный автором вариант метода разделения переменных, где функции, по которым производится разложение, удовлетворяют однородным граничным условиям — независимо от граничных условий для искомого решения. Большое внимание уделено электростатике, в частности, впервые установлен характер поля на ребре диэлектрических клиньев. Исследованы некоторые нестационарные задачи, фокусировка электронных пучков с учетом пространственного заряда и т. д. [c.270]

Таким образом, рассматриваемый оптический метод позволяет находить комплексные коэффициенты разложения волнового фронта по ортогональному базису и восстанавливать волновой фронт. [c.635]

М. Р. Mortell [3.1371 (1969) изучал реакцию сферической оболочки при симметричном относительно вертикальной оси деформировании. Рассмотрена оболочка с центральным вырезом (0 = 0о), к краю которой мгновенно прикладывается распределенный изгибающий момент Mq. Исследуется распространение волновых фронтов методом преобразования Лапласа при малых временах. В отличие от обычно применяемой процедуры искомые функции сразу представлены в виде асимптотических разложений по обратным степеням параметра преобразования р и подставлены в исходные уравнения, которые сильно упрощаются и поэтому легко решаются. Решение получено в промежутке 6o<0движения волнового фронта до 0=я и обратно. Выделены и исследованы сингулярные решения при 0 = л. Для больших времен решение выгодно строить методом разложения по собственным функциям, при этом, однако, анализ распространения волновых фронтов оказывается затруднительным. [c.226]

В случае разрезов конечных размеров наиболее эффективным образом Является метод асимптотических разложений искомого решения уравнений (465) по малым и большим волновым числам. Разложение по малым параметрам k и приводит к цепочке стандартных граничных задач статической теории упругости с объемными силами, определяемыми предыдущим приближением. При больших волновых числах (малый параметр при старшей производной) вблизи фронта трещины возникает пограничный слой, где требуется точный анализ задачи для полубеско-нечного разреза вне пограничного слоя решение по аналогии с геометрической оптикой строится элементарно. Склеивание асимптотических разложений при малых и больших частотах позволяет получить эффективное решение для всей области частот. [c.144]

Для решения амплитудных уравнений в работах р2.23] применялся метод Джефриса Р], основанный на разложении амплитуд и и 0 в ряды Фурье по вертикальной координате г (именно этим и оправдывается выбор тригонометрической аппроксимации (6.18)). Минимальное критическое число Рэлея Рт и критическое волновое число кт зависят от параметра неоднородности у. При малых V (слабая неоднородность) и кт можно представить в виде разложений по степеням у- При этом оказывается, что в симметричном случае (обе границы свободные или обе твердые) эффект квадратичен [c.49]

По аналогии со случаем вязкой смеси в описываемой ситуации можно ожидать термоконцентрационной длинноволновой неустойчивости. Эта неустойчивость исследовалась в работе [78] методом малого параметра (разложение по степеням волнового числа к). Рассуждения вполне аналогичны описанным в 19 и приводят к формуле для критического числа Рэлея [c.163]

Пытаясь выяснить влияние потенциала на волновую функцию электрона, мы сталкиваемся с той же проблемой сходимости, что и при расчете энергетической зонной структуры. Снова приходится разложение по плоским волнам заменять разложением по какой-то другой, более подходящей системе функций. Так же как существует много методов расчета зонной структуры, существует и много способов введения псевдопотенциала. Наша формулировка основывается на методе ортогонализованных плоских волн. [c.111]

Отметим, что вычисления, основывающиеся на к-р методе, южнo провести (опять-таки без всяких приближений, кроме разложения по к) для волновых векторов с одной мнимой и двумя действительными компонентакш. Если возникают описанные выше поверхностные состояния, то наряду с ними появляются и состояния, которым отвечает экспоненциальное спадание волновой функ- [c.195]

Этот ПОДХОД включает в себя метод разложения волновой функции по ортогонализованным плоским волнам, так как каждая OPW есть просто сумма плоской волны и волновых функций сердцевины . Успех метода OPW и метода псевдопотеициалов для простых металлов показывает, что такое разложение можно сделать быстросходя-щимся. Вряд ли целесообразно воспроизводить сейчас в деталях формулировку псевдопотеициалов для простых металлов, поскольку она будет частным случаем метода псевдопотеициалов для переходных металлов, который мы хотим построить. [c.226]

Рассматривая простые металлы, мы требовали, чтобы состояния сердцевины были собственными состояниями гамильтониана в металле. Для металлов, подобных меди, мы не можем включить атомные d-состояния в число состояний сердцевины , так как они не являются решениями уравнения Шредингера в металле, и в то же время состояния d-типа достаточно сильно локализованы, так что их разложения по плоским волнам сходятся довольно медленно. Таким образом существенное преимущество метода псевдопотенциалов при конструировании состояний d-типа теряется. С точки зрения разложения по переполненной системе функций кажется естественным попытаться описать переходные металлы, используя переполненную систему, включающую не только плоские волны и волновые функции сердцевины , но также и атомные d-функции. Хотя атомные d-состояния и не являются собственными состояниями гамильтониана в металле, но вполне возможно, что они как раз дадут дополнительные члены, которые необходимы для получения быстро-сходящихся разложений волновых функций d-типа. Действительно такой метод был с успехом использован Диганом и Твоузом 1501, которые обобщили метод OPW применительно к расчету зонных структур переходных металлов. [c.226]

При разложении по пробным функциям требуется знать вид этих функций. В качестве остовных орбиталей 1а> следует взять те остовные функции, которые существуют в изолированном атоме влияние кристаллического иотепциала на этп состояния сводится к смещению их энергий (остовпый сдвиг) нри неизменной форме волновых функций. В принципе, для повышения точности расчета можно составить из этих функций блоховские колг-бннации метода ЛКАО. Так действительно делается ири расчетах методом ОПВ энергетических зон кристаллов, когда используется секулярное уравнение (см. [298, 299]). [c.152]

Переполненность базиса. Отметим, что пмеется большое сходство между (5.41) и (4.38). Поскольку (5.41) полиостью эквивалентно исходной задаче как в методе ККРЗ, так и в методе ККР, то мы видим, что в методе функции Грина волновая функция в точке г = В оказывается одновременно разложенной как по плоским волнам, так и по решениям поскольку имеет в [c.206]

Вспомним теперь, что если мы проводим фурье-преобразование в некотором подпространстве, используя базис, полный для всего пространства, то он в этом подпространстве является сверх-полным. Введение псевдопотенциала как раз и означало, что какая-то часть пространства заменена черным ящиком , дэйстви-тельные свойства которого совершенно не важны он должеа имитировать реальный рассеиватель. Это означает, что внутри данного черного ягцика разложение волновой функции проводится не по плоским волнам, а по каким-либо другим функциям, т. е. при проведении фурье-преобразований эта область пространства не включается в рассмотрение. Разложение по плоским волнам в теории псевдопотенциала тем самым проводилось всегда в некотором подпространстве координатного пространства, что и означает, что все методы, связанные с псевдопотенциалом, должны быть сверхполны. [c.206]

При наложении граничных условий методом сшивания волновой функции мы имеем два типа разложений, так сказать — по двум базисам (подчеркнем, что (5.46) не есть разложение по трехмерному базису, в отличие от (5.47)). Оптимальным для расчета вариантол является выбор такого набора пробных функций Ф , по которому сходимость была бы не хуже, чем в (5.6). Однако реально этого добиться сложно. [c.211]

Если число Рейнольдса и волновое число достаточно далеки от нейтральной кривой, необходимы иные принципы построения нелинейной теории. В независимых работах [43, 44] таким принципом служит нелинейность критического слоя. Результаты [43, 44], получившие развитие в [186, 187], относятся к нестационарным колебаниям, фазовая скорость которых порядка скорости основного течения. Эволюция полученных в [43, 44] структур при уменьшении фазовой скорости периодических возмущений исследована в [188]. Математическая модель критического слоя волны Россби и ее связь с теорией [43, 44] обсуждаются в [189, 190]. Нелинейная эволюция волны Толлмина-Шлихтинга с параметрами из окрестности нижней ветви нейтральной кривой изучается в [191] с учетом непараллельности потока жидкости в пограничном слое. Полученные оценки для "быстрой" и "медленной" переменных метода двухмасштабных разложений по продольной координате приводят к амплитудному уравнению. [c.13]

Дучевые разложения. Из предыдущих разделов ясно, что полное волновое поле при акустическом каротаже можно получить численным интегрированием по частоте и волновому числу, если используется комплексная частота или затухание, или вклад нормальных мод в полное волновое поле оценивается по сингулярностям подынтегрального выражения без численного интегрирования по волновому числу. С целью оценки вклада продольных и поперечных волн в полное волновое поле подынтегральное выражение может быть разложено в степенной ряд, каждый член которого связан с некоторым лучом. В работе [133] приведено общее выражение для волнового поля, складывающегося из первых вступлений волн Р и 5 и из вторых вступлений, а именно многократно-рефрагированных воле, в случае когда источники и приемники расположены на оси скважины, заполненной жидкостью. Был сделан вывод, что первое вступление продольной волны затухает приблизительно как 1/г, а поперечная волна как 1/г2. Цанг и Рейдер [162] также использовали лучевое разложение, оценив главный член уравнения для продольной волны численным интегрированием вдоль разреза комплексной шюскости волновых чисел. Из рис. 5.33 видно, что этот результат хорошо согласуется с начальной частью полного волнового поля, вычисленного при использовании комплексной частоты и интегрирования вдоль вещественной оси. Как утверждают Цанг и Рейдер этот результат значительно отличается от асимптотического разложения, полученного Роувером и др. [133]. Янг [200] при оценке членов лучевого разложения применил метод Каньяра, получив волновое поле, которое находится в соответствии с результатами численного интегрирования. [c.198]

Таким образом, появляется возможность довольно четко определить форму дефекта по спектру эхо-сигйала. Однако возможны ошибки, связанные с тем, что дефекты могут иметь как плоские, так и округлые участки. Для наиболее точного распознавания образа дефекта следует совместить спектральный метод и метод индикатрисе рассеяния, т. е получать спектры сигналов от дефекта, рассматривая его под различными ракурсами. Этот способ является реализацией разложения эхо-сигнала по волновому вектору к. Обработка такой обширной информации о дефекте возможна с использованием ЭВМ. [c.218]

Квазиклассическое приближение — метод нахождения волновых функций и уровней энергии путем разложения их по степеням отношения длин деброй-левских волн частиц к характерным размерам системы. [c.268]

Приближение сильной связи — метод вычисления волновых функций и закона дисперсии одночастичных состояний в твердых телах, основанный на разложении волновых функций по ii refvie локализованных орбиталей и рассматривакзи мй кинетическую энергию в качестве возмун еш1я. [c.285]

Волновая теория удара начала развиваться благодаря работам Бусинеску и Сен-Венана. Ими впервые была рассмотрена теоретическая задача о поперечном ударе двух твердых тел в предположении, что, полный период удара определяется временем, необходимым для прохождения через тело и обратного возвращения волны упругого сжатия. В предположении, что после удара груз движется вместе с балкой, с помощью метода Фурье было найдено решение в форме разложения динамического прогиба балки в ряд по фундаментальным функциям. Допущение, принятое в работе о совместном движении груза и балки после удара, не соответствует истине, так как скорость балки с момента соударения и до получения балкой наибольшего прогиба монотонно убывает до нуля, а скорость груза после удара монотонно возрастает. Кроме того, теория Сен-Венана и Бусинеску не учитывает местных пластических эффектов. [c.8]

Центральное место занимают третья и четвертая главы, посвященные изложению математиче ских методов анализа волновых процессов в ограниченных системах с движущимися границами. В третьей главе основное внимание уделено способам получения точных аналитических решений эталонных задач в удобной для исследования форме. Такие решения позволяют наиболее полно выявить основные закономерности и эффекты волновых процессов, обусловленные движением границ. Необходимость разработки новых подходов вызвана тем, что многочисленные приближенные методы анализа, опирающиеся на известные представления теории колебаний сосредоточенных систем [9,10], удовлетворительно работают лишь при медленных движениях границы и, как правило, не адекватны волновым процессам при сравнимых скоростях движения границы и волны. Наибольшее распространение получил подход, основанный на разложении искомого решения по набору так называемых мгновенных мод [9,10]. Сами мгновенные моды находятся в квазистатическом приближении, когда в каждый момент времени волновое поле имеет такую же структуру, как и в системе с неподвижными границами, имеющей текущие размеры. При этом явно или неявно предполагается, что время перестройки волновых полей много меньше времени характерного изменения размеров системы. При таком описании исследуемой системе навязывается некоторая, заданная априори, структура поля. И поэтому с его помощью в принципе нельзя выявить такие волновые эффекты, как двойной эффект Доплера, излучение Вавилова-Черенкова, и связанную с ними параметрическую неустойчивость второго рода. В этой же главе показано, что системы с движущимися границами обладают динамическими собственными [c.15]

Большинство иолуэмпирических методов основано на валентном приближении, явно учитывающе. г лишь электроны валентной оболочки атомов, входящих в молекулу или кристалл. Можно допустить, что волновые функции остова свободного атома сохраняются без существенного изменения и в кристалле. В то же время волновые функции валентных электронов кристалла можно записать в такой форме, что будет выполняться требование ортогональности собственных состояний. Эта вводимая с самого начала ортогонализация является характерной чертой метода ортогонализированных плоских волн (ОПВ), широко применяемого в теории энергетических зон и стимулировавшего развитие метода псевдопотенциала. Как известно, истинный потенциал можно заменить в области ионного остова более простым эффективным потенциалом (псевдопотенциалом), приводящим вне остова к таким же волновым функциям, какие дает истинный потенциал. Требование ортогональности собственных состояний в методе псевдопотенциала значительно сокращает число членов при разложении волновой функции валентного электрона по плоским волнам. [c.138]

Наличие двух мод неустойчивости конвективного течения впервые было обнаружено в уже цитированной работе [2 ] Для определения границ устойчивости в этой работе использовались первые приближения метода Галеркина, содержавшие в разложениях амплитуд возмущений функции тока и температуры по две базисные функции. Это приближение описывает гидродинамическую моду с погрешностью не более 20%. Качественно правильно описывается и поведение волновой моды (включая асимптотику 1/ Л Р7при Рг Количественные результаты для волновой [c.34]

Чтобы свести систему дифференциальных уравнений (2.63) к системе алгебраических уравнений, производят разложение волновых функций по полному набору базисных волновых функций. Удобнее всего с расчетной точки зрения оказывается базис из штурмовских волновых функций, так как он не содержит непрерывного спектра. Однако он хорошо известен только для атома водорода. Поэтому большинство расчетов в рамках метода Флоке проводится для атома водорода [2.25]. Кроме того, в расчетах удобно заменить радиальную переменную г г ехр(х ) (это так называемый поворот радиальной переменной в комплексной плоскости). Угол поворота выбирается так, чтобы все величины были бы вещественными в решаемых уравнениях. Для обеспечения высокой точности численных расчетов приходится учитывать базис, состоящий из нескольких десятков штурмовских функций [2.25 [c.49]

В данной работе для количественного описания крупномаспЕтабных структур использован метод ортогонального разложения поля турбулентных пульсаций скорости. Описание этого метода можно найти в [3, 4]. Для исследования турбулентных течений он был предложен Ламли [5]. Идея ортогональных разложений естественна и вводилась для разных целей многими авторами (см., например, обзор в [5]). Идея метода заключается в представлении поля скорости в виде комбинации стандартных возмущений (колебаний) со случайными и некоррелированными коэффициентами. В однородной турбулентности таким представлением является разложение мгновенного поля скорости в интеграл Фурье по системе гармонических функций ехр(гкг). Коэффициенты разложения (амплитуды гармоник) оказываются некоррелированными случайными функциями волнового вектора к. В неоднородной турбулентности разложения скорости по гармоническим функциям также возможно, однако коэффициенты разложения коррелиро-ваны между собой. [c.431]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...