Метод псевдопотенциалов

В этой книге в качестве принципиальной основы для понимания взаимодействия между электронами взято приближение самосогласованного поля. Метод псевдопотенциалов используется как принципиальная основа для понимания взаимодействия между электронами и ионами, которое, собственно говоря, и создает твердое тело. При рассмотрении кооперативных эффектов сосредоточено внимание как на параметре порядка, так и на его микроскопической сущности. Я старался выделить физические принципы, а не математические методы, за исключением, правда, тех случаев, когда методы эти оказываются полезными для понимания и анализа свойств твердых тел. Ударение делалось на современных проблемах и новейших принципах, однако изложены и традиционные основы, на которых покоится новейшая теория. [c.8]

Мы сможем здесь остановиться только на основных чертах метода псевдопотенциалов в применении к простым металлам. Подробности и приложения этого метода к широкому спектру свойств металлов читатель найдет в книге [211 ). [c.111]

Мы увидим, что концепция псевдопотенциала и ее приложение к простым металлам исключительно важны для теории твердых тел. Малость псевдопотенциала позволяет нам во многих случаях рассматривать его как возмущение и дает возможность рассчитать для простых металлов значительно более широкий спектр свойств, чем для любых других конденсированных состояний вещества. В 9 этой главы мы покажем, каким образом метод псевдопотенциалов можно обобщить на случай переходных металлов. Концепция псевдопотенциала оказывается также очень полезной при обсуждении свойств (в том числе зонной структуры) других твердых тел. [c.111]

Методу псевдопотенциалов целиком посвящен сборник [62]. См. также [73].— Прим. перев. [c.111]

Подставив разложение (2.20) в уравнение (2.17), мы как раз получим уравнения метода OPW. В методе псевдопотенциалов мы отклонимся от этой процедуры. Заметим, что разложение по OPW довольно быстро сходится иными словами, основной вклад в сумму по к дают только относительно малые к, и функция [c.113]

Можно надеяться, что в результате сходимость разложения теории возмущений окажется наилучшей. Мы будем в дальнейшем пользоваться таким оптимизированным псевдопотенциалом и увидим, что он имеет тот же вид, что и псевдопотенциал (2.23), где вместо Е подставлено значение энергии, полученное в первом порядке теории возмущений. Другой подход состоял в подгонке псевдопотенциала к какому-либо определенному свойству (об этом уже говорилось выше). Каждому из свойств соответствует несколько отличный псевдопотенциал, но, как оказалось, все они очень похожи друг на друга и на оптимизированный псевдопотенциал. Опыт показал, что метод псевдопотенциалов может быть очень чувствительным, но чтобы он был полезным в расчетах, он должен быть приближенным. [c.117]

Следует, однако, помнить, что энергетические зоны переходных металлов сами по себе весьма сложны, поэтому не исключено, что их расчет никогда не будет простым с математической точки зрения. Для переходных металлов расчеты с помощью псевдопотенциалов приводят к секулярным уравнениям того же вида, что и более ранние методы, и поэтому можно считать достижением лишь более строгое обоснование модели. Однако при решении проблем общего характера уравнения метода псевдопотенциалов для переходных металлов позволяют использовать теорию возмущений. Оказывается возможным расчет экранирования, полной энергии, а также анализ широчайшего спектра свойств переходных и благородных металлов. В таких расчетах, как и в случае простых металлов, нам не нужно тратить время на определение самих зонных структур. [c.232]

Теория атомных свойств полупроводников имеет еще более зыбкую основу. Опять проблема состоит не в отыскании самой энергии связи. Даже если мы пренебрежем полупроводниковой природой кремния и будем рассматривать его как простой металл в приближении Вигнера — Зейтца, то мы получим примерно правильные энергию связи и даже равновесный атомный объем (23). Это не позволяет определить ту конфигурационную зависимость энергии, которая возникает целиком из-за небольших изменений энергии при переходе электронов из металлического состояния в сильно связанное. Однако удача с энергией связи наводит на мысль, что в данном случае мы могли бы воспользоваться методом псевдопотенциалов, как мы это делали для простых металлов (241. Подобный подход, очевидно, совершенно неприменим к электронным свойствам, когда главным является исчезновение ферми-поверхности. Кроме того, при рассмотрении экранирования возникает принципиальная ошибка в области длинных волн диэлектрическая функция расходится в области длинных волн вместо того, чтобы стремиться к некоторой константе, как это должно было бы быть. Однако если интересующие нас свойства характеризуются фурье-компонентами потенциала с длинами волн порядка периода решетки, описанный подход может оказаться разумным. Таким образом, в частности, можно получить распределение электронной плотности в кремнии, показанное на фиг. 6, которое, по крайней мере полуколичественно, согласуется с экспериментом. Вместе с тем, определяя наиболее устойчивую структуру, мы не можем [c.499]

И все же такой подход не может сказать ничего сколько-нибудь определенного об атомных свойствах полупроводников. Однако он учитывает одну важную черту полупроводников, которая остается за пределами досягаемости теории простых металлов. Это подчеркивали также Хейне и Джонс. Учет в матричных элементах членов второго порядка привел бы к вкладу в энергию четвертого порядка. В теории металлов такие члены опускаются, но они, по-видимому, существенны в полупроводниках. Их присутствие не позволяет уже определить характеристическую функцию как функцию, не зависящую от конфигурации ионов, а следовательно, выразить энергию через двухчастичные взаимодействия. Тем не менее вполне возможно, что имеет смысл осуществить такого рода расчет, удерживая в энергии эти члены четвертого порядка. Другие члены четвертого порядка, может быть, можно опустить. Такой анализ еще не был проведен, но он представляется весьма многообещающим, к тому же он является довольно непосредственным обобщением метода псевдопотенциалов для простых металлов на случай валентных кристаллов. Обычно ковалентность связывают как раз с наличием поправок более высокого порядка, которые отсутствуют в теории простых металлов. Таким образом, описанная процедура и означала бы учет в этой теории эффектов ковалентности. [c.501]

С точностью до зависящего от спинов множителя перед суммами это выражение имеет ту же форму, что и выражение для непрямого взаимодействия между ионами, получаемое с помощью метода псевдопотенциалов и определяемое выражениями (4.63) и (4.64) в 5 гл. IV. Чтобы убедиться в этом, представим себе, что речь идет [c.550]

Метод псевдопотенциалов в задачах двух тел 301 [c.301]

Чтобы достичь нашей цели, покажем сначала, что при вычислении низколежащих энергетических уровней неидеального газа гамильтониан системы может быть заменен эффективным гамильтонианом, в который явно входят только параметры рассеяния, в частности длина рассеяния. Статистическая сумма неидеального газа вычисляется на основе этого эффективного гамильтониана. Этот метод, впервые предложенный Ферми [21] ), называется методом псевдопотенциалов 2). [c.301]

МЕТОД ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ В ЗАДАЧАХ ДВУХ ТЕЛ [c.301]

Пусть имеется система из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом конечного радиуса действия, не приводящим к образованию связанного состояния. Цель метода псевдопотенциалов состоит в том, чтобы выразить все уровни энергии системы через сдвиги фаз при рассеянии на потенциале. Для конкретности сначала примем, что потенциал соответствует потенциалу твердой сферы диаметром о. Волновую функцию двух частиц можно записать в виде ) [c.301]

Основная идея метода псевдопотенциалов состоит в учете граничных условий типа твердых сфер путем перехода к неоднородному волновому уравнению. Этот метод хорошо известен в электростатике чтобы найти электростатический потенциал в присутствии металлической сферы (при некоторых заданных граничных условиях на бесконечности), мы заменяем сферу соответствующим распределением зарядов по поверхности сферы и находим потенциал этой фиктивной системы зарядов. Далее, можно заменить поверхностные заряды соответствующей системой мультиполей в центре сферы. Решая уравнение Пуассона с источниками, которыми являются указанные мультиполи, получаем точный электростатический потенциал вне сферы. Аналогичным образом в методе псевдопотенциалов граничное условие, налагаемое на ф(г), заменяется соответствующей системой источников в точке г = 0. Однако вместо электростатических мультипольных потенциалов в этом случае источники порождают рассеянные 5-волны, Р-волны, О-волны и т. д. [c.302]

Обратимся теперь к методу псевдопотенциалов для случая двух частиц с общим потенциалом взаимодействия конечного радиуса действия, не приводящим к образованию связанного состояния. В этом случае (13.3) заменяется уравнением [c.304]

МЕТОД ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ЗАДАЧ N ТЕЛ [c.306]

Метод псевдопотенциалов для задач N тел [c.307]

Рис. 2.4. Межатомный потенциал Фьв(г) для А1. Сплошная линия —расчет методом псевдопотенциалов, штриховая — асимптотическое приближение.

Учитывая слабость псевдопотенциалов ионов, будем решать (5.41) методом теории возмущений. Будем считать V(r) величиной первого порядка малости по сравнению с оператором кинетической энергии. Представим также, что волновые функции и энергии могут быть записаны соответственно как [c.115]

Более строгие расчеты зонной структуры таких металлов и полуметаллов в приближении почти свободных электронов основаны на методе псевдопотенциала, разработанном Хейне и др. (см. [58]). В этом методе взаимодействие электрона проводимости с остовом атома описывается эс )фективным псевдопотенциалом. [c.136]

Произведем такое разложение волновых функций по OPW и подставим его в уравнение Шредингера. Мы снова увидим, что связаны между собой только OPW, у которых волновые векторы отличаются на вектор обратной решетки. Соответствующие матричные элементы можно найти, если известен потенциал и волновые функции внутренних оболочек. И снова мы получаем систему уравнений, но на этот раз матричные элементы, связывающие и убывают с ростом к — к значительно быстрее, и можно ограничиться гораздо меньшим числом уравнений. Как будет видно в дальнейшем, для многих применений достаточно только двух или трех OPW для полного расчета зонной структуры необходимо 25—30, а для очень точных расчетов — иногда 50 или 60 OPW. Использование OPW позволяет значительно сократить объем вычислений, необходимых для расчета энергетических зон. Подробнее о методе OPW мы будем говорить несколько позже при обсуждении псевдопотенциалов. [c.100]

Если бы мы воспользовались для расчетов энергетической зон-Hon структуры псевдопотенциалом, мы немедленно пришли бы к секулярному определителю, совершенно эквивалентному тому, который мы получили в методе OPW. При этом псевдопотенциал будет фигурировать в виде матричных элементов по плоским волнам <к 4- q 1 W 1 к ). Теперь же мы будем пользоваться теорией возмущений, но поскольку волновые функции нулевого приближения — плоские волны, псевдопотенциал снова будет входить во все выражения через такие же матричные элементы. Мы примем для псевдопотеициала оптимизированную форму [c.118]

Наибольший интерес представляет использование этого метода для металлов, и его особенно удобно сформулировать на языке приближения псевдопотеициала. К тому же результаты метода проливают новый свет на природу псевдопотеициала. Мы сосредоточим поэтому внимание на простых металлах и вернемся опять к уравнению с псевдопотенциалом, рассмотренному в 5 [c.199]

С увеличением потенциала растет и бо, приближаясь к л. При этом величина волнового вектора к стремится к нулю. Б этих пределах сдвиг энергии остается по-прежнему очень малым, как это было для состояний, рассмотренных выше. Однако если мы будем продолжать увеличивать потенциал и следить за изменением решения, отвечающего дну зоны, которому соответствует фаза, превосходящая я, то обнаружим, что природа этого состояния резко изменится. Оно превращается в экспоненциально убывающее локализованное состояние (чему соответствует мнимое волновое число). Это возможно только в случае притягивающего потенциала (для которого фаза, как можно убедиться, положительна). При этом характерном конечном значении величины потенциала возникает связанное состояние. С дальнейшим ростом величины потенциала энергия связанного состояния быстро падает и становится меньше минимума зоны. Важно подчеркнуть, что, когда потенциал оказывается достаточно сильным, чтобы образовать связанное состояние, поведение волновой функции испытывает качественное изменение. При этом теория возмущений в том виде, в котором мы использовали ее в методе псевдопотеициала, оказывается уже неприменимой. Метод же, основанный на анализе фаз, остается справедливым, и его можно использовать для уравнения как с потенциалом, так и с псевдопотенциалом. [c.205]

Дополнительный псевдопотенциал, возникающий вследствие внесения примеси, оказывается слабым возмущением по тем же причинам, по которым малы сами формфакторы. Различие же в потенциалах примесного и основного ионов в то же самое время может быть большим. Если, например, поместить в алюминий ион галлия, то разница в потенциалах будет настолько большой, что у волновой функции вблизи примеси появится дополнительный узел. Это соответствует тому обстоятельству, что галлий в качестве валентных имеет 45- и 4р-электроны, в то время как валентные электроны алюминия находятся в 35- и Зр-состояниях. Поэтому было бы неправильно рассматривать в качестве возмущения разницу в истинных потенциалах идеальной решетки и решетки с дефектом, так как фазы оказались бы больше я и разложение по ним было бы несправедливым. В методе же псевдопотеициала, с другой стороны, этот дополнительный узел учитывается процедурой ортогонализации и разница в псевдопотенциале оказывается действительно малой. [c.221]

Совсем недавно [49] было доказано, что можно обобщить метод псевдопотеициалов для простых металлов на случай переходных металлов. В п. 1 настоящего параграфа мы для начала набросаем в общих чертах план построения псевдопотеициалов для переходных металлов. В п. 2 мы обсудим более ранние попытки приближенного рассмотрения зонной структуры, оставаясь, однако, в рамках последней новой теории. Как для простых металлов, так и для переходных конечной целью введения псевдопотенциалов является использование их в теории возмущений и непосредственный расчет свойств без расчета самих зонных структур. Поэтому мы вернемся в п. 3 к обсуждению псевдопотеициалов для переходных металлов и их использования в теории возмущений. [c.225]

В последнее время был предлонсен ряд уточнений и новых подходов при рассмотрении задачи о точечном дефекте, решаемой с применением электронной теории металлов. Среди них следует отметить использование метода псевдопотенциалов для решения такого типа задач ). [c.110]

Имя автора этой книги, профессора Стэнфордского университета У. Харрисона, связано с началом широкого и плодотворного использования метода псевдопотенциалов в теории металлов. Оно хорошо известно тем, кто занимается теорией твердого тела. [c.5]

Именно это и сделал Херринг, воспользовавшись тем, что волновые функции, которые требуется найти, должны быть ортогональны волновым функциям внутренних оболочек (последние считаются известными). Таким образом, полное разложение для волновых функций зоны проводимости можно получить, если пользоваться не просто плоскими волнами, а плоскими волнами, которые предварительно были сделаны ортогональными к волновым функциям внутренних оболочек. В процессе ортогонализации мы учтем осцилляции в области сердцевины ионов, что позволит нам в дальнейшем достаточно хорошо описать и соответствующие осцилляции в волновых функциях, которые мы ищем. Следовательно, метод ортогонализованных плоских волн, или OPW метод ), очень похож на метод плоских волн, но только в нем вместо обычных плоских волн фигурируют ортогонализованные плоские волны. Такой подход оказался очень полезным при расчетах зонных структур на его основе был построен и метод псевдопотенциалов, который мы обсудим несколько позже. [c.99]

Рассматривая простые металлы, мы требовали, чтобы состояния сердцевины были собственными состояниями гамильтониана в металле. Для металлов, подобных меди, мы не можем включить атомные d-состояния в число состояний сердцевины , так как они не являются решениями уравнения Шредингера в металле, и в то же время состояния d-типа достаточно сильно локализованы, так что их разложения по плоским волнам сходятся довольно медленно. Таким образом существенное преимущество метода псевдопотенциалов при конструировании состояний d-типа теряется. С точки зрения разложения по переполненной системе функций кажется естественным попытаться описать переходные металлы, используя переполненную систему, включающую не только плоские волны и волновые функции сердцевины , но также и атомные d-функции. Хотя атомные d-состояния и не являются собственными состояниями гамильтониана в металле, но вполне возможно, что они как раз дадут дополнительные члены, которые необходимы для получения быстро-сходящихся разложений волновых функций d-типа. Действительно такой метод был с успехом использован Диганом и Твоузом 1501, которые обобщили метод OPW применительно к расчету зонных структур переходных металлов. [c.226]

Рассмотрев метод псевдопотенциалов для проблемы двух тел, мъжно теперь обсудить обобщение его на проблему N тел. Нижеследующие рассуждения не зависят от типа статистики. [c.306]

Сформулируем проблему бозе-газа из твердых сфер с помощью метода псевдопотенциалов, обсуждавшегося в гл. 13, 2 и 3. Гамильтониан и teмы возьмем в виде [c.452]

За последние 15—20 лет в одноэлектронной теории сложилось понятие псевдопотенциала (нсевдизм), кажущееся на первый взг.ляд искусственным и внутренне противоречивым. Действительно, оказывается (см. ниже, гл. 2), что потенциал взаимодействия электрона с атомом, имеющий кулоновскую сингулярность на ядро, можно заменить несингулярным потенциалом (псевдопотеи-циалом), а электрон этого не заметит Более того, для одного и того же атома можно построить много различных псевдопотенциалов, а картину они все будут давать в общем-то одну и ту же. Вместе с тем свойства кристаллов вполне однозначны они онре-деляются положением элемента в таблице Менделеева, т. е. зарядом того самого ядра, которое в методе псевдопотенциалов отбрасывается . Такая ситуация и кажется противоречивой... [c.5]

Мы доказали, что теория рассеяния переходит в теорию воз-муш ений модели ПСЭ для слабых потенциалов, которые подчиняются условию (2.115). Условия сходимости теории возмущений— те же самые, что и борновского ряда (2.113), т. е. ыы доказа.ли справедливость критерия (2.118) и для теории возмущений в методе псевдопотенциалов для всюду притягивающих потенциалов ряд (1.31) расходится, если эти потенциалы имеют связанные состояния. [c.57]

Большинство иолуэмпирических методов основано на валентном приближении, явно учитывающе. г лишь электроны валентной оболочки атомов, входящих в молекулу или кристалл. Можно допустить, что волновые функции остова свободного атома сохраняются без существенного изменения и в кристалле. В то же время волновые функции валентных электронов кристалла можно записать в такой форме, что будет выполняться требование ортогональности собственных состояний. Эта вводимая с самого начала ортогонализация является характерной чертой метода ортогонализированных плоских волн (ОПВ), широко применяемого в теории энергетических зон и стимулировавшего развитие метода псевдопотенциала. Как известно, истинный потенциал можно заменить в области ионного остова более простым эффективным потенциалом (псевдопотенциалом), приводящим вне остова к таким же волновым функциям, какие дает истинный потенциал. Требование ортогональности собственных состояний в методе псевдопотенциала значительно сокращает число членов при разложении волновой функции валентного электрона по плоским волнам. [c.138]

В третьем методе использовали прямые расчеты с псевдопотенциалами [39, 68]. Вайсер показал, что в случае натрия ошибки, оцененные Гаррисоном для U K), могут изменять величину р более чем в три раза. Санд-стрем [69] рассчитал р с помощью модели потенциала Гейне и Абаренкова, которые определили неэкраниро- [c.68]

Рис. 1. Рассчитанное распределение заряда химически активных валентных электронов [9]. Представлены контуры равной плотности заряда при наличии примесного атома азота в идеальном кристалле алмаза (й) й кремния (б). Будучи более электроотрицательным, чем атомы углерода, атом азота в алмазе притягивает к себе электроны. Распределение заряда на связях между двумя атомами углерода и между атомами углерода и азота имеет характерную двугорбую структуру, которой соответствуют пары замкнутых контуров между атомами. Этого нет в других тетраэдрических полупроводниках, например в кремнии, где ковалентные связи характеризуются одним максимумом заряда между атомами. Обширные междоузельные области фактически пусты и образуют периодическук сетку электронного заряда, характерную для диэлектриков и полупроводникоа. В металлах заряд распределен более равномерно. Расчеты проводились методом функционала локальной плотности с использованием псевдопотенциалов, Для описания дефекта (примесного атома азота) применялся метод рассеяния функций Грина,

Следуя изначальной формулировке метода Эстабрука — Уолквиста [31], перейдем, наконец, непосредственно к отысканию псевдопотенциалов. Для их определения вводится 1-форма вида [c.51]

Все это не означает, что псевдопотенциалы неприменимы при рассмотрении полупроводников — фактически метод псевдопотенциала был развит Филлипсом и Клейнменом [36] именно в применении к полупроводникам. Оказалось, что псевдопотенциальные форм- [c.157]

Так же как и уравнение с псевдопотенциалом, это уравнение, будучи точно решенным, дает правильные (при малых к) собственные значения энергии. Подобно уравнению с псевдопотенциалом, оно приводит к довольно плавной псевдоволновой функции ф. Когда решение имеет вид плоской волны, истинная волновая функция получается путем умножения ф на функцию Блоха (или на ее разложение, включающее первый порядок по к), в то время как в методе псевдопотеициала проводится ее ортогонализация к волновым функциям сердцевины. Если ф нормирована на объем кристалла, й должна быть нормирована на объем элементарной ячейки [c.162]

Не так давно Хейне [54] развил аналогичный подход к зонным структурам переходных металлов с несколько иной точки зрения, используя метод функций Грина, который применили Корринга, Кон и Ростокер о нем мы кратко упоминали в 4 настоящей главы. Как и в методе присоединенных плоских волн (APW), в теории использовался ячеечный потенциал ). При таком подходе вся информация об атомных потенциалах входит только через логарифмические производные волновых функций на поверхностях сфер, описанных около ионов. Эти же величины можно выразить и через фазы. Фазы s- и р-состояний выражают, конечно, с помощью псевдопотенциалов простых металлов для I = 2 фазу берут в резонансной форме [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...