Ортогональность собственных

Условие ортогональности собственных векторов. Рассмотрим два вектора 1оО) и 1оО), которые удовлетворяют уравнению (4.101) [c.102]

С точки зрения краевых условий в правой части (4.112) имеется только два различных слагаемых, например (AQo< -Uo< >) и (АМо< )-<1о< ). При однородных краевых условиях эти скалярные произведения всегда при е=0 и е—1 равны н тю, поэтому из (4.111) получаем условие ортогональности собственных векторов [c.103]

Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю. Пусть и -собственные функции оператора А, принадлежащие различным собственным зна- [c.107]

Коэффициенты разложения Ф (0 получим из (10.3.2), пользуясь условиями ортогональности собственных функций свободной системы [c.334]

Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональности собственных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис. 6.3.1 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в этом случае будет такой [c.183]

Ортогональность собственных форм колебаний нужно понимать в этом случае буквально как ортогональность соответствующих векторов. [c.183]

Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний, установленных для элементарной теории стержневых систем в 6.2. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты Шл всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что toi = = а + г . Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень (02 = а — ф. Соответствующие собственные формы будут также комплексно сопряженными [c.434]

Соотношения (13.2.5) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собственных форм. [c.434]

Ортогональность собственных векторов. Кроме собственных амплитудных векторов смещений введем в рассмотре- [c.149]

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций щ (дг) и у/, (х), соответствующих двум различным собственным значениям Pi и Р/,, выполняются условия 6 6 [c.301]

Остальные собственные формы расчетной модели определяются по формулам (14.44)—(14.46). Если в матрице Q модели (13.10) имеется элемент со, кратности > собственным значением кратности /4 — 1 этой модели. Соответствующие этому собственному значению ортогональные собственные формы можно построить следующим образом [28] [c.238]

Можно свести ряд к единственному члену, сокращая множитель в правой и левой частях уравнения, умножая обе части уравнения на и производя интегрирование по всей системе и используя ортогональность собственных функций для определения амплитуды каждой формы колебаний, получим [c.225]

Математическая особенность задач с неортогональными собственными функциями состоит в том, что параметр X, имеющий физический смысл частоты или постоянной распространения, входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов, а также содержится в выражениях для граничных условий. Такого типа краевые задачи называются обобщенными [4]. Наиболее глубокие результаты в этой области получены в работе Келдыша [5]. В ней исследованы вопросы полноты и ортогональность собственных функций дифференциальных уравнений, содержащих параметр X в виде полинома степени п с граничными условиями, не содержащими этого параметра. [c.6]

Коэффициенты определяются в зависимости от начальных условий. В работе [81 эти коэффициенты определены исходя из ортогональности собственных функций. Если при t = to задано начальное распределение w (х, to), то для можно получить формулу [c.192]

Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности собственных форм. Из выражений (11.217) следуют формулы для постоянных и Вп- [c.125]

Дальнейшие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний. Умножим первое уравнение (IV.86) на Нц, а второе — на а , сложив затем полученные уравнения, найдем [c.252]

Для определения функций времени 5,- ( ) умножим обе части уравнения (IV. 117) на Х,(а ) и проинтегрируем результат по всей длине стержня. При интегрировании в правой части исчезнут все слагаемые, кроме -го (вследствие свойства ортогональности собственных функций), и для 5,- t) получится формула [c.266]

Для определения функций времени 5.(/) умножим обе части равенства (IV. 129) на Х (х) и проинтегрируем результат по всей длине балки ввиду ортогональности собственных функций в правой части остается только одно слагаемое, соответствующее номеру /, так что [c.270]

Подставив (1.70) и (1.71) в (1.69) и учтя условие ортогональности собственных форм [c.47]

При учете ортогональности собственных функций 1 [c.36]

Более точен метод, учитывающий ортогональность собственных форм, на основании которого работа масс до и после переноса на перемещениях по устраняемой 3 п/р. Фролова [c.65]

Из условия ортогональности собственных функций с весом с (М) в правой части этого равенства отличным от нуля и равным согласно [c.164]

Из условия ортогональности собственных функций в правой части этого равенства отличным от нуля и равным единице будет лишь тот из интегралов, для которого т п. Отсюда следует, что Лщ = Тщ (М ( ) и (4.53) переводит решение в изображениях в искомый оригинал, т. е. с учетом (4.52) и выражения для (p. ) получили решение задачи стационарной теплопроводности [c.167]

Таким образом, для рассматриваемых случаев изгиба и кручения граничные условия удовлетворяются, и задача Штурма — Лиувилля поставлена правильно при R н Р, противоположных по знаку S и Q. Отсюда следует, что собственные решения ортогональны, собственные значения %, действительны н положительны и что произвольная функция на интервале (а,Ь) может быть разложена в сходящийся ряд по собственным решениям. [c.352]

Тензор ранга р называется изотропным (гиротропным), если для любого ортогонального (собственно ортогонального) тензора Q выполняется равенство Avq (X) = X, [c.16]

Для того чтобы определить аналитический вид профилей температуры и концентрации целевого компонента в жидкой пленке, используем условие ортогональности собственных функций оператора Штурма—Лиувилля. С этой целью домножим уравнение (8. 4. 31) на 7 , (т ) и проинтегрируем по т [c.323]

Приведем доказательство ортогональности собственных функций, соответствующих разным собственным значениям. Пусть Я.1 и 2—некоторые собственные числа, срДх) и ф2(х) — соответствующие собственные функции [c.43]

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ. Имеет место общая теорема, согласно которой система уравнений (5.3), (5.4), имеющая квадратичный по скоростям интеграл движения, независимый с интегралом энергии, заменой переменных может быть приведена к лиувиллеву виду. Доказательство ее опирается на вычисление собственных значений и подходящую нормировку (ортогональных) собственных векторов квадратичной части второго интеграла относительно ри- [c.189]

Рациональные решения многообразных задач динамики машинных агрегатов базируются на использовании собственных спектров линеаризованных динамических моделей исследуемых систем. Под собственным спектром динамической модели понимается совокупность ее собственных значений (корней характеристического полинома) и соответствующих им ортогональных собственных форм. Сложность и трудоемкость решения полной проблемы собственных спектров определяется размерностью (числом учитываемых степеней свободы) и классом (цепная или с направленными связями) расчетной динамической модели 128, 34]. Кроме того, при автоматизированных расчетах, выполняемых на современных цифровых ЭВМ, от размерности модели существенно зависит точность реализуемых вычислительных процедур. Это приводит к необходимости при расчетах на ЭВМ многомерных моделей использовать вычисления с удвоенной точностью, что обусловливает дополнительные затраты оперативной памяти и снижение эффективности вычислительных процедур. Следует отметить, что при динамических расчетах, выполняемых при помощи новейших средств вычислительной техникн, последние обстоятельства не являются определяющими. [c.226]

Если коэффициент вяэкого трения т] постоянен для всего объема, то, воспользовавшись условием ортогональности собственных функций, получим [c.24]

Отличительным свойством некоторых задач о со. ственных значениях является их самосопряженность [37], из которой непосредственно вытекает ортогональность собственных функций (основных форм колебаний). Еслн, согласно Л. Коллатцу, придать данному дифференциальному уравнению форму M[y]=XN y), где X является параметром, который при нулевых решениях урап-иения приобретает собственные з) ачения, то 7акого рода задачу называют самосопряженной. [c.83]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Ортогональность собственных форм колебаний. При колебаниях системы по первой собственной форме наибольшие отклонения равны Пц и а21, этим отклонениям соответствуют силы инерции тхПцр и Аналогично при колебаниях по второй [c.91]

Как видим, пространственно-временное поведение гармоник температурного распределения в канале с твэлом и теплоносителем определено теперь полностью с помощью соотношений (3.155), (3.157), (3.149), (3.152) и (3.159). В отличие от предыдущего параграфа, где используются самосопряженный оператор уравнения теплопроводности и ортогональные собственные функции, в этом случае для полного решения задачи требуется знание собственных функций -фт(г) и ii3m (r), составляющих биортогонзль-ную систему. [c.103]

Форд Р., Фурд К. Анализ флаттера в вентиляторах авиационных двигателей с использованием пары идентичных взаимно ортогональных собственных форм колебании.—Энергетические машины и установки, 1980, т. 102, jV 2, с. 115—122. [c.221]

В связи с малостью затухания эрмитова часть Д. п. EapS eap, поэтому найти собственные колебания плазмы можно методом теории возмущений. В нулевом приближении в подставляется е р, а в след, приближении, учитывая ортогональность собственных векторов эрмитовой задачи О, находится декремент затухания с помо1ЦЬЮ ф-лы [c.700]

Решение уравнений изгиба гибкого ротора. Балансировка гибкого ротора должна осуществляться с учетом формы его изгиба, а также соотношений между балаиси-ровочиой, рабочей и критически.ми скоростями и собственных форм, соответствующих Этим скоростям. Для этого приходится решать дифференциальные уравнения колебаний гибкого ротора с Дисбалансом или корректирующими массами, распределенными по его длине по тому или ииому закону. Решение этой задачи существенно облегчается благодаря свойству ортогональности собственных форм (см. справочник, т. 1). Распределенную неуравновешенность можно разложить в ряд по собственным формам, каждая из составляющих вызывает колебания только по своей форме, Балансировку гибкого ротора можио проводить раздельно по каждой из со- [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...