Зонной структуры расчеты

Таким образом, в реакторах с движением шаровых твэлов через активную зону (реактор по принципу одноразового прохождения активной зоны) структура и объемная пористость в различных точках могут изменяться по сравнению с таковыми в номинальном начальном состоянии, что необходимо учитывать при расчете гидродинамического сопротивления и теплообмена. [c.51]

В кремнии и германии истинные энергии основного состояния несколько отличаются от приведенных выше приближенных значений из-за анизотропии эффективных масс и сложности реальной зонной структуры. Более точный расчет дает для энергии основного состояния экситонов в кремнии и германии значения 14,7 н 4,17 мэБ. Эти значения превосходно Согласуются с экспериментальными значениями 14,7 й 4,15 мэВ. Для [c.132]

Расчет и анализ прибора исходя из положений электронной физики. Сюда относится изучение механизма переноса электронов и дырок при наличии р— -перехода и зонной структуры. [c.172]

Более строгие расчеты зонной структуры таких металлов и полуметаллов в приближении почти свободных электронов основаны на методе псевдопотенциала, разработанном Хейне и др. (см. [58]). В этом методе взаимодействие электрона проводимости с остовом атома описывается эс )фективным псевдопотенциалом. [c.136]

Мы будем считать, что рассмотрение, в ходе которого мы получили соотношения (10.1) — (10.5), применимо также и к силе Лорентца, действующей на электрон, движущийся в магнитном поле. Трудоемкие расчеты подтвердили это предположение при обычных условиях, когда магнитное поле не настолько велико, чтобы разрушить энергетическую зонную структуру. Итак, уравнение движения электрона с групповой скоростью v в постоянном магнитном поле В запишется в виде [c.341]

Как уже отмечалось в 30, функция а (д) может быть представлена в зоне Бриллюэна -пространства аналогично тому, как зонная структура Е (к) в зоне Бриллюэна Л-пространства. В особенности отметим одинаковую симметрию в обоих случаях. Прежде чем перейти к расчету таких дисперсионных кривых, покажем некоторые существенные результаты на простом примере двухмерной квадратной сетки. [c.144]

Такой общий подход при изучении динамики электронов может быть назван полуклассическим-, мы будем им широко пользоваться при обсуждении явлений переноса. Полученная нами зонная энергия является функцией к и играет в точности ту же роль, что и гамильтониан, в котором импульс равен Як. Таким образом, расчеты зонной структуры дают нам полуклассический гамильтониан <й (р). Далее, можно ввести внешние силы (которые должны медленно меняться на расстояниях порядка межатомных), просто добавив соответствующие потенциалы (или вектор-потенциалы в случае магнитного поля). В результате получим полуклассический гамильтониан <й (р, г), и уравнения (2.5) и (2.8) становятся просто эквивалентными классическим уравнениям Гамильтона [c.83]

Таким образом, начиная расчет энергетической зонной структуры, мы уже знаем состояния сердцевины и потенциал, создаваемый ядрами и электронами внутренних оболочек. Кроме того, зная волновые функции внутренних оболочек, можно написать обменные члены, связывающие валентные состояния и состояния сердцевины атомов. Эти члены существенны и их необходимо учесть. Однако их, по-видимому, можно хорошо аппроксимировать соответствующими обменными членами для свободных электронов. [c.93]

Если известен потенциал, который видят электроны проводимости, то с идейной точки зрения самым простым из всех методов расчета зонной структуры является, вероятно, метод плоских волн. Поэтому на нем стоит остановиться, хотя, как мы увидим, для конкретных расчетов он не очень удобен. [c.96]

Однако, к счастью для нас, матричные элементы очень быстро убывают, когда разность к — к делается достаточно большой. Поэтому можно оборвать сумму по к, оставив в ней только несколько сотен членов. В результате мы получим систему из нескольких сотен уравнений, которые с помощью вычислительной машины можно решить и найти несколько сотен неизвестных. Для каждого вектора к в зоне Бриллюэна существует своя система уравнений. Решив эти уравнения, мы бы получили несколько сотен значений энергии в первых нескольких сотнях зон. В принципе все эти вычисления можно было бы выполнить, и мы нашли бы энергетическую зонную структуру как функцию от к. Мы видим, что этот довольно простой в идейном отношении метод сопряжен с необычайно длинными численными расчетами. Другие методы, которые мы также обсудим, не проще этого, но обладают значительно лучшей сходимостью благодаря выбору в качестве базиса для разложения в ряд более подходящей системы функций. [c.98]

Произведем такое разложение волновых функций по OPW и подставим его в уравнение Шредингера. Мы снова увидим, что связаны между собой только OPW, у которых волновые векторы отличаются на вектор обратной решетки. Соответствующие матричные элементы можно найти, если известен потенциал и волновые функции внутренних оболочек. И снова мы получаем систему уравнений, но на этот раз матричные элементы, связывающие и убывают с ростом к — к значительно быстрее, и можно ограничиться гораздо меньшим числом уравнений. Как будет видно в дальнейшем, для многих применений достаточно только двух или трех OPW для полного расчета зонной структуры необходимо 25—30, а для очень точных расчетов — иногда 50 или 60 OPW. Использование OPW позволяет значительно сократить объем вычислений, необходимых для расчета энергетических зон. Подробнее о методе OPW мы будем говорить несколько позже при обсуждении псевдопотенциалов. [c.100]

Прежде чем говорить о результатах расчетов энергетической зонной структуры, имеет смысл остановиться на вопросе о том, какой отпечаток накладывает симметрия кристаллов на энергетические зоны. Соображения симметрии широко используются как в самих расчетах энергетических зон, так и при формулировке результатов этих расчетов. Для описания зонной структуры мы уже использовали трансляционную симметрию решетки теперь мы попытаемся получить дополнительную информацию из свойств симметрии относительно поворотов и отражений, которые составляют точечную группу или пространственную группу кристалла. [c.102]

Электронные энергетические зоны являются фундаментальными характеристиками электронной структуры твердого тела, подобно тому как значения атомных термов в свободном атоме в основном определяют его электронную структуру. Расчеты энергетических зон — работа для специалиста, однако понимание их результатов существенно для понимания любых процессов в твердом теле. Поэтому мы ниже рассмотрим и обсудим несколько характерных [c.104]

Чтобы ввести псевдопотенциал, нам потребуются только два допущения они уже использовались при расчетах зонной структуры. Во-первых, мы заменим многоэлектронную задачу задачей [c.112]

Вернемся опять к вопросу об энергетической зонной структуре. Как мы уже указывали в п. 2 4 настоящей главы, структурный фактор отличен от нуля, только если вектор ц равен какому-либо вектору обратной решетки. В совершенном кристалле только таким значениям ц и будут отвечать не равные нулю матричные элементы псевдопотеициала. Для простых структур наименьший, отличный от нуля вектор обратной решетки имеет величину где-то около 2кр. Из фиг. 33 хорошо видно, что в этой области волновых векторов формфакторы очень малы, в частности они малы по сравнению с энергией Ферми. Таким образом, сдвиг энергии электронов по отношению к энергии свободных электронов будет очень малым и для многих целей им вообще можно пренебречь. При этом мы возвращаемся прямо к теории свободных электронов. Модель свободных электронов в металле очень стара она успешно использовалась во многих расчетах, но только теперь впервые мы можем ясно понять, почему эта модель так неплохо работает. В некотором смысле причина этого совершенно случайная просто векторы обратной решетки попадают как раз в такую область обратного пространства, где псевдопотенциал очень мал. [c.124]

ТОЧНО хорошо в промежуточных точках. Поэтому, чтобы получить очень точную картину всей ферми-поверхности, необходимо провести полный расчет зонной структуры, учитывающий много плоских волн. [c.151]

К сожалению, не существует сколько-нибудь простого приближенного метода вычисления запрещенной зоны полупроводников. Для получения достаточно полного и обоснованного описания зонной структуры необходимо проводить полный расчет. Если попытаться найти энергетические зоны путем внесения поправок к закону дисперсии свободных электронов, как это мы делали для простых металлов, то выяснится, что матричные элементы псевдопотенциала не просто деформируют ферми-поверхность, а полностью ее уничтожают. Мы не сможем найти электронные состояния полупроводника, используя одну или две OPW. Для этого всегда необходимо рассматривать их несколько, что опять отбрасывает нас, по сути дела, к зонным расчетам. [c.157]

Несмотря на сложную зонную структуру полупроводников, для многих целей бывает достаточно ограничиться рассмотрением окрестности края зон, где справедлива описанная выше простая и ясная картина. Что же касается свойств, для которых необходимо знать зонную структуру вдали от экстремумов, то для их изучения требуются результаты зонных расчетов или приближенное описание, которое дается в п. 3 6 гл. IV. [c.169]

Совсем недавно [49] было доказано, что можно обобщить метод псевдопотеициалов для простых металлов на случай переходных металлов. В п. 1 настоящего параграфа мы для начала набросаем в общих чертах план построения псевдопотеициалов для переходных металлов. В п. 2 мы обсудим более ранние попытки приближенного рассмотрения зонной структуры, оставаясь, однако, в рамках последней новой теории. Как для простых металлов, так и для переходных конечной целью введения псевдопотенциалов является использование их в теории возмущений и непосредственный расчет свойств без расчета самих зонных структур. Поэтому мы вернемся в п. 3 к обсуждению псевдопотеициалов для переходных металлов и их использования в теории возмущений. [c.225]

Зарядовой плотности волна 242 Зондхаймера эффект 219 Зонной структуры расчеты 43, 225, 252, 258, 266, 272, 287, 293, 298, 308 [c.669]

На рис. 6.2 показана зонная структура невырожденного полупроводника. За нулевой уровень OT Heta энергии принимают обычно дно зоны проводимости Ес,. Так как для невырожденного газа уровень Ферми [j, должен располагаться ниже этого уровня, т. е. в запрещенной зоне, то (д, является величиной отрицательной (см. 3.103)). При температуре Т, отличной от абсолютного нуля, в зоне проводимости находятся электроны, в валентной зоне — дырки. Обозначим их концентрацию соответственно через пир. Выделим около дна зоны проводимости узкий интервал энергий dE, заключенный между Е н Е + dE. Так как электронный газ в полупроводнике является невырожденным, то число электронов dn, заполняющих интервал энергии dE (в расчете на единицу объема полупроводника), можно определить, воспользовавшись формулой <3.89) [c.161]

Мнотообразные взаимосвязи между особенностями структуры и электронным строением выявлены для углеродных и других трубчатых структур. В случае однослойных углеродных трубок результаты теоретических расчетов зонной структуры и экспериментальных исследований свидетельствуют о том, что зигзагообразные трубки обладают металлической проводимостью, а все спиралевидные (хиральные) трубки — полупроводники, причем ширина запрещенной зоны коррелирует с радиусом трубок (для узкощелевых полупроводников AEg для широкощелевых AEg Л )- [c.49]

Ом см до полупроводниковых порядка 10 Ом см. Следует отметить также, что расчеты зонной структуры продемонстрировали для углеродных нанотрубок со структурой типа зиг-заг и гофр наличие типичного металлического электронного спектра, а для хиральных трубок — зоны запрещенных энергий шириной около 0,5 эВ, зависящей от диаметра трубки. [c.69]

Зонная структура и ПС а-А120з, согласно неэмпирическим расчетам [19], приводятся на рис. 6.2 и 6.3 некоторые параметры электронной структуры суммированы в табл. 6.2. [c.119]

Критическая величина электронной концентрации выводится из условий заполнения электронами зон дозволенных энергий для данного кристалла. Если имеются две кристаллические структуры Л и 5 и первая зона Бриллюэна (см. гл. И) заполняется раньше для Л, то с этого момента более устойчивой делается структура В. При растворении компонентов с большим числом валентных электронов возрастают электронная концентрация и. соответственно энергия электронов в решетке растворителя. После заполнения первой зоны для кристаллической решетки твердого раствора эта решетка становится неустойчивой и дальнейшее увеличение концентрации электронов должно привести к скачкообразному изменению возникает другая решетка, для которой величина электронной концентрации, отвечающей заполнению зоны, выше. Расчет дает для объекноцентрированного куба Сэл = 1,36, а для гранецентрированного куба Сдл = 1,48. [c.156]

Альтернативным (взаимоисключающим) подходом к вычислению свойств переноса электронов в жидких металлах является вычисление электронных состояний, т. е. зонной структуры для разупорядоченной системы. Несмотря на то что в последние годы в этой области достигли значительного успеха, результаты теоретических расчетов пока невозможно сравнивать с экспериментальными данными. Более детально этим занимался Кьюзак [291]. Большая часть опубликованных работ была проделана с моделью одномерной цепочки жидкости, в которую разупорядочение вносили только, изменяя межатомный промежуток. Такие модели, не способные дать нужные результаты для сравнения с действительной жидкостью, могут помочь найти методы вычисления для использования в более точных аппроксимациях [298, 299, 323, 325]. Результаты, полученные Мейкинзоном и Робертсом [325], показывают, что энергетический разрыв может быть даже при нарушении дальнего и ближнего порядков, но он быстро закрывается, когда степень разупорядочения увеличивается. [c.109]

Кристаллические структуры твердых тел обусловлены межатомными связями, возникающими в результате взаимодействия электронов с атомными остовами. Вывод металлических структур — ОЦК, ГЦК и ПГ — из электронного строения атомов представляет кардинальную проблему физики металлов [1, 21. В основе квантовой теории металлов лежит теория энергетических зон [3 —11]. Она рассматривает поведение электронов в периодическом поле решетки. Кристаллическая структура определяется дифракционными методами и вводится в зонную модель априори как экспериментальный факт, без объяснения ее происхождения. Разрывы непрерывности энергий электронов приводят к образованию зон Бриллюэна, ограниченных многогранниками, форма которых зависит от симметрии кристалла. Характер заполнения зон и вид поверхности Ферми различны для металлов, полупроводников и изоляторов. Расчеты позволяют получить з нергетическую модель, количественно описывающую энергетическое состояние электронов и физические свойства твердых тел. Однако из зонной модели нельзя вывести кристаллическую структуру, поскольку она вводится в основу построения зон как экспериментальный факт. Расчеты зонных структур и физических свойств металлов получили широкое развитие благодаря теории псевдопотенциала 112—19]. Они позволяют оценить стабильность структур металлов, но не вскрывают физическую природу конкретной геометрии решетки. [c.7]

Зонную структуру теллура, полученную таким способо УГ, можно сравнить с электронной структурой кристаллического теллура, полученной с помощью обычных зонных расчетов. Действительно, метод линейной комбинации атомных орбита-лей, являющийся количественным выражением подхода, основанного на рассмотрении молекулярных орбиталей, является одним из методов, использовавшихся при зонных расчетах для теллура и селена [214]. [c.90]

Мы упомянем два других теоретических подхода, применяемых для рассмотрения неупорядоченных систем, которые не вполне точно соответствуют модели молекулярных орбиталей или другим рассмотренным моделям. В одном из этих подходов рассматриваются кластеры из N атомов с заданным расположением. Электронные взаимодействия внутри кластера рассчитываются точно, но взаимодействия с атомами за пределами кластера учитываются приближенными методами [155, 156]. В другом подходе рассматриваются кристаллы с достаточно большим числом атомов N в элементарной ячейке, чтобы таким образом аппроксимировать некоторую область внутри аморфного тела затем используются обычные методы расчета зонной структуры [145]. Оба эти подхода дают более надежные результаты при увеличении числа N. Поскольку объем необходимых вычислений очень быстро возрастает с ростом N, эти подходы ограничиваются экономией машинного времени. Заинтересованному читателю следует обратиться к обзорной статье Торпа и Уэйра [239]. [c.93]

Расчет энергетической зонной структуры кристалла требует знания лишь величин коэффициентов Фурье V С) поте]щиала в точках обратной решетки. Для определения энергетической [c.360]

Рпс. П. 5. Структура Э ергет[[ческих зон германия, построенная па основе расчетов К. Фонга. Основные особенности зонной структуры хорошо согласуются с экспериментальными данными. Заштрихоьанная область соответствует четырем валентным связям. Тонкая структура края валентной зоны обусловлена спин-орбитальным взаимодействием. [c.401]

Для сплавов оказались успешными совсем другие методы. Упомянем здесь только два простых приближения, касающихся композиционной неупорядоченности. Первое — это модель жесткой зоны, уже обсуждавшаяся в ч. I, 41 (ч. I, рис. 54). В ней предполагается заданной не только зонная структура и, следовательно, плотность состояний для различных переходных металлов, но также и для получаемых нз ннх сплавов. Вторая возможность состоит в использовании среднего потенциала У = У + (1—а )У для бинарного сплава АхВ1-,. Оба метода ведут к определенной зонной структуре и, таким образом, не принимают в расчет статистическую неупорядоченность. Несмотря на это, они часто успешно применяются. Более подробные теории сплавов, как и других неупорядоченных фаз, в каждом случав используют теорию многократного рас- [c.141]

В прос1ых металлах рассчитанная плотность валентных электронов оказывается почти однородной, так что обменный потенциал, отвечающий свободным электронам, очень мало отличается от константы, поэтому энергетические зоны существенно не изменяются. Следовательно, зонная структура, учитывающая обменную энергию свободных электронов, очень близка к той, которая получается в приближении Хартри фактически в большинстве расчетов обменной энергией валентных электронов вообще пренебрегают, и результаты обычно хорошо согласуются с экспериментом. В полупроводниках электронная плотность далеко не однородна, поэтому расчеты, учитывающие обменное взаимодействие валентных электронов в приближении свободного электронного газа, оказываются исключительно успешными [6]. В переходных металлах, в частности в меди, попытки использовать приближение Хартри в том виде как это делается для простых металлов, приводят к энергетической структуре, в которой состояния -типа совершенно неправильно расположены относительно состояний 5-типа. Однако если ввести потенциал типа потенциала Ходорова [71, который приближенно имитирует обменное взаимодействие в свободном атоме, то различные энергетические зоны становятся на свои места в согласии с экспериментом 18, 91. Вполне вероятно, что того же эффекта можно было бы достичь, включив обменное взаимодействие свободного электронного газа. Таким образом, во всех случаях сравнение с экспериментом, по-видимому, говорит в пользу аппроксимации обменной энергии взаимодействующих валентных электронов обменной энергией свободного электронного газа. [c.94]

Такой подход был обобщен также на случай расчета других состояний в зоне, однако долгое время считалось, что трудности, связанные с подгонкой волновых функций на границах ячейки, делают результаты неточными. В настоящее время эта проблема, по-видимому, решена. Благодаря работам Алтмана с сотр. в Оксфорде (см., например, [13,14)) метод ячеек можно считать теперь весьма надежным и полезным при расчете энергетической зонной структуры. [c.96]

Именно это и сделал Херринг, воспользовавшись тем, что волновые функции, которые требуется найти, должны быть ортогональны волновым функциям внутренних оболочек (последние считаются известными). Таким образом, полное разложение для волновых функций зоны проводимости можно получить, если пользоваться не просто плоскими волнами, а плоскими волнами, которые предварительно были сделаны ортогональными к волновым функциям внутренних оболочек. В процессе ортогонализации мы учтем осцилляции в области сердцевины ионов, что позволит нам в дальнейшем достаточно хорошо описать и соответствующие осцилляции в волновых функциях, которые мы ищем. Следовательно, метод ортогонализованных плоских волн, или OPW метод ), очень похож на метод плоских волн, но только в нем вместо обычных плоских волн фигурируют ортогонализованные плоские волны. Такой подход оказался очень полезным при расчетах зонных структур на его основе был построен и метод псевдопотенциалов, который мы обсудим несколько позже. [c.99]

Третий метод расчета зонной структуры — это метод функций Грина или метод Корринги — Кона — Ростокера (KKR). Он формулируется совершенно иначе, но, как было установлено, все методы при одном и том же потенциале дают одинаковые результаты. Мы не будем останавливаться на деталях метода KKR читатель сможет найти подробности в работе [181. [c.101]

Как мы уже указывали ранее, результаты расчетов зонных структур обычно представляют в виде зависимостей от волновых векторов, лежащих вдоль линий симметрии. На фиг. 27 изображена зона Бриллюэна для гранецеитрированной кубической структуры [c.105]

Пытаясь выяснить влияние потенциала на волновую функцию электрона, мы сталкиваемся с той же проблемой сходимости, что и при расчете энергетической зонной структуры. Снова приходится разложение по плоским волнам заменять разложением по какой-то другой, более подходящей системе функций. Так же как существует много методов расчета зонной структуры, существует и много способов введения псевдопотенциала. Наша формулировка основывается на методе ортогонализованных плоских волн. [c.111]

Такие фигуры, разумеется, очень близки к тем, которые мы получили бы, если бы выполнили полный расчет энергетической зонной структуры. Учет указанных искажений ферми-поверхности — одномерных и двумерных — должен быть нашим следующим шагом, если мы хотим сравнивать рассчитанную ферми-поверхность с экспериментально наблюдаемой. Из этого сравнения мы смогли бы также выяснить, насколько справедливы наши представления о величине псевдопотеициала. Конечно, если мы хотим детально изучать ферми-поверхность, лучше опять вернуться к схеме приведенных зон. На фиг. 50 для иллюстрации сравниваются изоэнергетические поверхности в А1, рассчитанные в трех- и одноволновом OPW при нижениях. [c.153]

Когда мы перейдем к расчетам других свойств простых металлов, мы увидим, что, как правило, наиболее удобно начинать эти расчеты с матрицы гамильтониана и включать эффекты зонной структуры тогда, когда рассматривается само свойство. Знание истинной зонной структуры часто не очень нужно для расчета данного свойства. Обычно бывает трудно начать расчет и получить разумные результаты, когда стол завален огромной массой прота-булированной информации. Исключениями, вероятно, являются такие специальные случаи, как расчет самой ферми-поверхности. [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...